Ejercicios resueltos de inecuaciones

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Ejercicios de inecuaciones con valor absoluto
1. Resuelva la inecuación |x + 1| + 3 < |2x + 6|.
solución: Como x + 1 se hace cero en x = −1, 2x + 6 se hace cero
en x = −3 entonces quitamos −1 y 3 de la recta real; de esta forma
nos quedan tres intervalos: ] − ∞, −3[, ] − 3, −1[, ] − 1, ∞[. Miremos que
pasa en cada intervalo:
Si x ∈]−∞, −3[: En este caso tanto x+1 como 2x+6 son negativos.
Por lo tanto |x + 1| = −x − 1 y |2x + 6| = −2x − 6.
Asi, la desigualdad queda: −x−1+3 < −2x−6, la cual al resolver
para x nos da que x < −8, es decir x ∈] − ∞, −8[
Como estamos bajo la restricción x ∈] − ∞, −3[, es decir x < −3,
entonces la solución es dada por todos los x tales que
x
∈ ] − ∞, −3[ ∩ ] − ∞, −8[ = ] − ∞, −8[
Si x ∈] − 3, −1[: En este caso x + 1 es negativo y 2x + 6 es positivo.
Por lo tanto |x + 1| = −x − 1 y |2x + 6| = 2x + 6.
Asi, la desigualdad queda: −x − 1 + 3 < 2x¤+ 6, la £cual al resolver
para x nos da que x > −4/3, es decir x ∈ − 34 , ∞
Como estamos bajo la restricción x
∈] − 3, −1[,
es decir −3 < x < −1, entonces la solución es dada por todos
los x tales que
·
¸
·
¸
4
4
=
− , −1
x ∈ ] − 3, −1[ ∩
− ,∞
3
3
Si x ∈] − 1, ∞[: En este caso tanto x + 1 como 2x + 6 son positivos.
Por lo tanto |x + 1| = x + 1 y |2x + 6| = 2x + 6.
Asi, la desigualdad queda: x + 1 + 3 < 2x + 6, la cual al resolver
para x nos da que x > −2, es decir x ∈ ]−2, ∞[
Como estamos bajo la restricción x ∈] − 1, ∞[,es decir x > −1,
entonces la solución es dada por todos los x tales que
x
∈ ] − 1, ∞[ ∩
]−2, ∞[
=
]−1, ∞[
Uniendo las tres soluciones obtenemos la solución final:
¸
] − ∞, −8[ ∪
4
− , −1
3
1
·
∪
]−1, ∞[
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2. Resuelva la inecuación x + 2 <
√
2x2 + 5x − 12.
solución:
Debemos tener en cuenta primero que para que el problema tenga sentido la cantidad debajo de la raiz debe ser mayor o igual a cero, es decir
2x2 + 5x − 12 ≥ 0. Como las raices de la anterior ecuación son −4 y
3/2 y como el grafico de y = 2x2 + 5x − 12 es una parabola abierta
hacia arriba, tenemos que 2x2 + 5x − 12 ≥ 0 si y solamente si x ≤ −4 o
x ≥ 23 . Por lo tanto la solución a nuestro problema sera restringida a la
condicion de que x ≤ −4 o x ≥ 23 o en otras palabras nuestra solución
final la interceptaremos con el conjunto ] − ∞, −4] ∪ [ 23 , ∞[.
Ahora vemos que x + 2 tiene dos posibilidades: ó bien x + 2 ≤ 0 ó bien
x + 2 > 0. Si x + 2 ≤ 0 es decir si√x < −2 entonces la desigualdad se
cumple siempre, pues x + 2 ≤ 0 ≤ 2x2 + 5x − 12, ası́ el único caso de
interés es cuando x + 2 > 0.
Si tomamos x + 2 > 0 es decir x > −2 podemos tomar la ecuación que
vamos a resolver y elevar a ambos lados al cuadrado, de tal forma que
la ecuación queda:
(x + 2)2 < 2x2 + 5x − 12
es decir x2 + 4x + 4 < 2x2 + 5x − 12, equivalentemente
0 < x2 + x − 16
√
Ahora, la ecuación x2 +x−16 tiene raices x = −1±2 65 y es estrictamente
mayor que cero al lado de dichas raices, es decir
√
√
65
65
−1
−
−1
+
0 < x2 +x−16 si y solamente si x <
ó x >
2
2
para todo x > −2.
Asi, la desigualdadi original
esh cierta para todos los x tales que
√
−1+ 65
, ∞ que además cumplan la restricción
x ∈] − 2, ∞[ ∩
2
x ≤ −4 o x ≥ 23 .
Aplicando la restricción y notando que
a:
√
−1+ 65
2
>
−1+8
2
> 23 , llegamos
"
#
√
√
65
−1
+
,∞
x+2 < 2x2 + 5x − 12 si y solo si x ∈]−∞, −4]∪
2
2
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3. Determinar el conjunto de números reales que satisfacen la desigualdad:
p
√
|x − 2| + 4 − x − 6 < 2
solución:
Primero que nada, para que las raices esten bien definidas es necesario
que x ≥ 6.
Ahora, la desigualdad puede escribirse como
p
√
|x − 2| + 4 < 2 + x − 6
y como ambos lados son positivos, podemos elevar al cuadrado ambos
lados obteniendo
√
|x − 2| + 4 < 4 + (x − 6) + 4 x − 6
Pero como x ≥ 6, (x − 2) es positivo y luego |x − 2| = x − 2. Por lo
tanto la desigualdad anterior se convierte en
√
(x − 2) + 4 < 4 + (x − 6) + 4 x − 6
p
√
la cual simplificando queda 4 < 4 x − 6 es decir 1 < (x − 6). Finalmente elevando de nuevo al cuadrado tenemos 1 < (x − 6), es decir
7 < x.
Como todos estos puntos satisfacen x ≥ 6 tenemos que la solución es
el intervalo ]7, ∞[
4. Encuentre los valores de x para los cuales
¯ 2
¯
¯ x − 2x + 3 ¯
¯
¯
¯ x2 − 5x + 6 ¯ < 1
solución:
¯
¯ 2
2
¯ x − 2x + 3 ¯
¯ < 1 si solo si −1 < x − 2x + 3
¯
¯ x2 − 5x + 6 ¯
x2 − 5x + 6
y
x2 − 2x + 3
<1
x2 − 5x + 6
Asi resolvemos cada desigualdad por separado y luego intersectamos
las soluciones, esto nos dara la solución final.
3
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2
2
2
−2x+3
−2x+3
2x −7x+9
si y solo si xx2 −5x+6
+ 1 > 0 si y solo si (x−2)(x−3)
>0
−1 < xx2 −5x+6
2
Ahora 2x − 7x + 9 > 0 pues su discriminante es igual a
2x2 −7x+9
> 0
72 − 4(2)(9) < 0 y 2 > 0. Luego para resolver (x−2)(x−3)
debo tener (x − 2)(x − 3) > 0, analizando signos vemos que esto
es posible si y solo si
x ∈ ] − ∞, 2[ ∪ ]3, ∞[
x2 −2x+3
x2 −5x+6
2
−2x+3
3x−3
< 1 si y solo si xx2 −5x+6
− 1 < 0 si y solo si (x−2)(x−3)
>0
Ahora 3x − 3 = 0 si solo si x = 1 y (x − 2)(x − 3) = 0 si y solo
si x = 2 o x = 3. Analizando signos vemos que la solución de esta
desigualdad es dada por el conjunto
] − ∞, 1[ ∪ ]2, 3[
Por lo tanto la solución final es ] − ∞, 1[
4