ACT-11302: Cálculo Actuarial III –Notas de Clase

ACT-11302: Cálculo Actuarial III
–Notas de Clase–
Juan Carlos Martı́nez-Ovando
ITAM
1 de septiembre de 2016
Agenda
Frecuencia de severidades
Distribuciones univariadas
Frecuencia de severidades
Distribuciones univariadas
Binomial
Quizás, el modelo más intuitivo para N consiste en:
I Suponer que I(Yj > 0) ∼ Be(θ), donde θ ∈ (0, 1) es la probabilidad de siniestro
I La ocurrencia de siniestros entre integrantes del portafolio es mutuamente
independiente
I Ası́, tiene una distribución
(N = n)
∼
Bin(n|J, θ)
∝ θn (1 − θ)J−n I{0,1,...,J} (n),
(1)
donde J es la suscripción del portafolio de seguros.
Se sigue,
I E(N |J, θ) = Jθ
I Var(N |J, θ) = Jθ(1 − θ)
Ejercicio
Encuentra el EMV para θ. Encuentra la distribución inicial conjugada para θ, ası́ como
la distribución actualizada con un conjunto de datos. Se puede estimar J, si fuese
desconocido?
Distribuciones univariadas
Binomial
Quizás, el modelo más intuitivo para N consiste en:
I Suponer que I(Yj > 0) ∼ Be(θ), donde θ ∈ (0, 1) es la probabilidad de siniestro
I La ocurrencia de siniestros entre integrantes del portafolio es mutuamente
independiente
I Ası́, tiene una distribución
(N = n)
∼
Bin(n|J, θ)
∝ θn (1 − θ)J−n I{0,1,...,J} (n),
(1)
donde J es la suscripción del portafolio de seguros.
Se sigue,
I E(N |J, θ) = Jθ
I Var(N |J, θ) = Jθ(1 − θ)
Ejercicio
Encuentra el EMV para θ. Encuentra la distribución inicial conjugada para θ, ası́ como
la distribución actualizada con un conjunto de datos. Se puede estimar J, si fuese
desconocido?
Distribuciones univariadas
Poisson
Un modelo bastante útil consiste en
I Suponer que N tiene soporte numerable
I Suponer que I(Yj > 0) ∼ Bernoulli
I La ocurrencia de siniestros entre integrantes del portafolio es mutuamente
independiente
I Ası́,
(N = n)
∼
Po(n|θ)
∝ exp{−θ}θn I{0,1,2,...} (n),
(2)
donde θ > 0 es la intensidad de siniestros correspondiente al perido dado.
Se sigue que,
I E(N |θ) = θ
I Var(N |θ) = θ
Ejercicio
Encuentra el EMV para θ. Encuentra la distribución inicial conjugada para θ, ası́ como
la distribución actualizada con un conjunto de datos.
Distribuciones univariadas
Poisson
Un modelo bastante útil consiste en
I Suponer que N tiene soporte numerable
I Suponer que I(Yj > 0) ∼ Bernoulli
I La ocurrencia de siniestros entre integrantes del portafolio es mutuamente
independiente
I Ası́,
(N = n)
∼
Po(n|θ)
∝ exp{−θ}θn I{0,1,2,...} (n),
(2)
donde θ > 0 es la intensidad de siniestros correspondiente al perido dado.
Se sigue que,
I E(N |θ) = θ
I Var(N |θ) = θ
Ejercicio
Encuentra el EMV para θ. Encuentra la distribución inicial conjugada para θ, ası́ como
la distribución actualizada con un conjunto de datos.
Distribuciones univariadas
Poisson - Agregación
Supongamos que N1 , . . . , Nq son variables aleatorias independientes con distribución
Poisson, Po(Nj = nj |λj ), respectivamente, con λj s posiblemente diferentes. Se sigue,
P
I N = qj=1 Nj se distribuye Poisson
P
I N tiene tasa de intensidad λ = qj=1 λj
Poisson - Desagregación
Supongamos que N ∼ Po(n|λ), con λ > 0, y consideremos que los eventos pueden
clasificarse en m tipos distintos independientes, con probabilidades p1 , . . . , pm . Se
sigue,
I Nj s, que son los números de eventos en cada clase, son mutuamente
independientes
I Cada Nj tiene distribución Po(n|λj ), con λj = pj λ
Distribuciones univariadas
Poisson - Agregación
Supongamos que N1 , . . . , Nq son variables aleatorias independientes con distribución
Poisson, Po(Nj = nj |λj ), respectivamente, con λj s posiblemente diferentes. Se sigue,
P
I N = qj=1 Nj se distribuye Poisson
P
I N tiene tasa de intensidad λ = qj=1 λj
Poisson - Desagregación
Supongamos que N ∼ Po(n|λ), con λ > 0, y consideremos que los eventos pueden
clasificarse en m tipos distintos independientes, con probabilidades p1 , . . . , pm . Se
sigue,
I Nj s, que son los números de eventos en cada clase, son mutuamente
independientes
I Cada Nj tiene distribución Po(n|λj ), con λj = pj λ
Distribuciones univariadas
Binomial negativa
Un modelo bastante útil consiste en
I Suponer que N tiene soporte numerable
I La ocurrencia de siniestros entre integrantes del portafolio es mutuamente
independiente
I Ası́,
(N = n)
∼
BinN(n|r, θ)
r n
1
θ
∝
I{0,1,2,...} (n),
1+θ
1+θ
(3)
donde r, θ > 0 son dos parámetros.
Se sigue que,
I E(N |r, θ) = rθ
I Var(N |r, θ) = rθ(1 + θ)
Noten que la distribución geométrica, Geo(·|θ) es un caso particular, con r = 1.
Observación
Encuentra el EMV para θ. Encuentra la distribución inicial conjugada para θ, ası́ como
la distribución actualizada con un conjunto de datos.
Distribuciones univariadas
Binomial negativa
Un modelo bastante útil consiste en
I Suponer que N tiene soporte numerable
I La ocurrencia de siniestros entre integrantes del portafolio es mutuamente
independiente
I Ası́,
(N = n)
∼
BinN(n|r, θ)
r n
1
θ
∝
I{0,1,2,...} (n),
1+θ
1+θ
(3)
donde r, θ > 0 son dos parámetros.
Se sigue que,
I E(N |r, θ) = rθ
I Var(N |r, θ) = rθ(1 + θ)
Noten que la distribución geométrica, Geo(·|θ) es un caso particular, con r = 1.
Observación
Encuentra el EMV para θ. Encuentra la distribución inicial conjugada para θ, ası́ como
la distribución actualizada con un conjunto de datos.
Distribuciones univariadas
Binomial negativa - Mezcla
Es bastante útil en la prUn modelo bastante útil consiste en la práctica representar la
distribución binomial-negativa como una mezcla de una distribución Poisson y una
distribución gamma, i.e.
N |λ
∼
Po(n|λ)
λ
∼
Ga(λ|a, b).
(4)
De esta forma,
∞
Z
P(N = n)
Po(n|λ) Ga(λ|a, b)dλ.
=
0
Al representar la distribución binomial negativa como una mezcla puede hacerse
inferencia (bayesiana o frecuentista) de manera más simple. Para esto, invocamos la
noción de verosimilitud extendida.
Ejercicio
Verifica la identidad de la distribución binomial negativa como la mezcla dada.
Distribuciones univariadas
Binomial negativa - Mezcla
Es bastante útil en la prUn modelo bastante útil consiste en la práctica representar la
distribución binomial-negativa como una mezcla de una distribución Poisson y una
distribución gamma, i.e.
N |λ
∼
Po(n|λ)
λ
∼
Ga(λ|a, b).
(4)
De esta forma,
∞
Z
P(N = n)
Po(n|λ) Ga(λ|a, b)dλ.
=
0
Al representar la distribución binomial negativa como una mezcla puede hacerse
inferencia (bayesiana o frecuentista) de manera más simple. Para esto, invocamos la
noción de verosimilitud extendida.
Ejercicio
Verifica la identidad de la distribución binomial negativa como la mezcla dada.
Distribuciones univariadas
Clase (a, b, 0)
Las distribuciones anteriores pueden expresarse como una clase de distribuciones más
general, con decrementos exponenciales, conocida como la clase (a, b, 0).
Esta clase define las probabilidades de P(N = n) = pn de manera recursiva, tales que
pn
pn−1
=
a+
b
,
n
para n = 1, 2 . . ..
El valor p0 := P(N = 0) es un parámetro adicional dado.
Ejercicio
Encuentra las identidades de a, b y p0 para las distribuciones Poisson, binomial y
binomial negativa.
(5)
Distribuciones univariadas
Clase (a, b, 0)
Las distribuciones anteriores pueden expresarse como una clase de distribuciones más
general, con decrementos exponenciales, conocida como la clase (a, b, 0).
Esta clase define las probabilidades de P(N = n) = pn de manera recursiva, tales que
pn
pn−1
=
a+
b
,
n
para n = 1, 2 . . ..
El valor p0 := P(N = 0) es un parámetro adicional dado.
Ejercicio
Encuentra las identidades de a, b y p0 para las distribuciones Poisson, binomial y
binomial negativa.
(5)
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