7. El teorema del cambio de variables

Capı́tulo 7
El teorema del cambio de
variables
En este capı́tulo estudiaremos el otro resultado fundamental, aparte del
teorema de Fubini, que nos ayudará a calcular integrales múltiples sobre
recintos de forma no rectangular y que además permitirá simplificar el cálculo de muchas integrales múltiples (de manera parecida a como un caso particular de este resultado, el método de integración por sustitución, simplifica
el cálculo de muchas integrales de funciones de una variable). Primero enunciaremos el teorema del cambio de variables y veremos varios ejemplos de
sus aplicaciones. La demostración de este resultado es larga y complicada, y
en una primera lectura podrı́a omitirse; lo fundamental es comprender bien
su enunciado y saber aplicarlo correctamente.
Antes de enunciar el teorema, recordemos que el (determinante) jacobiano de una aplicación diferenciable f : A −→ Rn (donde A es un abierto
de Rn ) se define como
Jf (x) = det(f 0 (x))
para cada x ∈ A. Un difeomorfismo (de clase C p ) g entre dos abiertos A y B
de Rn es una aplicación g : A −→ B biyectiva y diferenciable (de clase C p ),
tal que su inversa g −1 : B −→ A es también diferenciable (de clase C p ).
Recordemos también que, como consecuencia del teorema de la función
inversa, si A es un abierto de Rn y g : A −→ Rn es una aplicación inyectiva y
diferenciable (de clase C p ) en A tal que Jg(x) 6= 0 para todo x ∈ A, entonces
g(A) es abierto en Rn y g : A −→ g(A) es un difeomorfismo (de clase C p ).
Teorema 7.1 Sean A y B subconjuntos abiertos y con volumen de Rn , y
sea g : A −→ B un difeomorfismo C 1 . Entonces, para toda función integrable
61
62
CAPÍTULO 7. EL TEOREMA DEL CAMBIO DE VARIABLES
f : B −→ R, la función (f ◦ g)|Jg| es integrable en A, y
Z
Z
f = (f ◦ g)|Jg|.
A
B
Observación 7.2 Si denotamos g = (g1 , ..., gn ); y1 = g1 (x), ..., yn = gn (x);
y
∂(g1 , ..., gn )
Jg =
,
∂(x1 , ..., xn )
entonces la conclusión del teorema puede escribirse ası́:
Z
Z
∂(g1 , ..., gn ) dx1 ...dxn .
f (y1 , ..., yn )dy1 ...dyn =
f (g(x1 , ..., xn ))
∂(x1 , ..., xn )
B
A
Es conveniente hacer notar que el hecho de que en este teorema A y B
sean abiertos no supone en la práctica ninguna restricción para el cálculo de
integrales, ya que, al tener A y B volumen, sus fronteras tienen medida cero,
y entonces, por los teoremas 4.1(vii) y 3.6 las integrales sobre la adherencia
y el interior de A (y de B) coinciden, de modo que
Z
Z
Z
Z
f=
f = (f ◦ g)|Jg| = (f ◦ g)|Jg|,
B
B
A
A
incluso si g dejara de ser un difeomorfismo en la frontera de A o Jg no
estuviera bien definido en dicha frontera. Se sigue de estas observaciones
que el enunciado del teorema del cambio de variables sigue siendo válido
si A y B se reemplazan por conjuntos con volumen cuyos interiores son
difeomorfos mediante un difeomorfimo g de clase C 1 . La sección dedicada
al cambio a coordenadas polares (ver más adelante) ilustrará este hecho.
Antes de ver ejemplos y aplicaciones de este teorema, esbozaremos una
justificación intuitiva del mismo. Sea S un rectángulo muy pequeño contenido
en A. Entonces, como g es un difeomorfismo, g es aproximadamente una
aplicación afı́n en las proximidades de S, y g(S) es aproximadamente un
paralelepı́pedo. Si g fuera realmente afı́n sobre S, el volumen de g(S) serı́a
| det g|v(S). Como la aplicación y 7→ g(x) + Dg(x)(y − x) aproxima bien a
g cerca de x y es una aplicación afı́n, tendrı́amos que el volumen de g(S)
serı́a aproximadamente igual a |Jg|v(S), es decir, haciendo S cada vez más
pequeño, tendrı́amos que estas cantidades infinitesimales coinciden:
f (g(x))|Jg(x)|dx = f (y)dy,
63
luego, sumando todas estas cantidades infinitesimales (es decir, integrando),
obtendrı́amos el resultado:
Z
Z
f (y)dy.
f (g(x))|Jg(x)|dx =
B
A
Veamos ahora algunos ejemplos.
Ejemplo 7.3 Usando el teorema del cambio de variables, hallar el volumen
del paralelepı́pedo engendrado por los vectores (1, 1, 1), (2, 3, 1), y (0, 1, 1)
en R3 .
7.4 Usando el cambio de variables x = u + v, y = u − v, calcular
REjemplo
1R1 2
2
0 y (x + y )dxdy.
Hay algunos cambios de variable que son particularmente útiles en multitud de situaciones prácticas y que por ello merecen una atención especial.
Los cambios a coordenadas polares, esféricas o cilı́ndricas son algunos de los
más empleados.
Coordenadas polares
Sea g : R2 −→ R2 la aplicación definida por
g(r, θ) = (r cos θ, rsenθ).
Aunque g es diferenciable de clase C ∞ , no es inyectiva en todo R2 . Sin
embargo, si la restringimos al abierto U = {(r, θ) : r > 0, 0 < θ < 2π}
entonces sı́ que es inyectiva (compruébese), y su jacobiano es
cos θ −r senθ = r cos2 θ + rsen2 θ = r > 0
Jg(r, θ) = senθ r cos θ en todo este conjunto U , luego por el teorema de la función inversa g : U −→
g(U ) es un difeomorfismo de clase C ∞ ; se comprueba inmediatamente que
g(U ) = R2 \ ([0, ∞) × {0}). Es decir, g transforma difeomórficamente la
banda abierta U sobre todo el plano excepto los puntos de la recta y = 0
con coordenada x positiva. Como dichos puntos forman un subconjunto de
medida cero de R2 , estos puntos no afectan al valor de las integrales a las que
se aplique el cambio de variables g (ver la observación 7.2) y, para nuestros
propósitos de cálculo de integrales, podemos actuar como si g fuera una
biyección definida de la banda cerrada U = {(r, θ) : r ≥ 0, 0 ≤ θ ≤ 2π}
sobre todo el plano R2 .
64
CAPÍTULO 7. EL TEOREMA DEL CAMBIO DE VARIABLES
De esta manera, si B es cualquier sunconjunto con volumen de R2 , y A =
g −1 (B), al aplicar el teorema del cambio de variables a la transformación g
(y teniendo en cuenta las observaciones anteriores), se obtiene la siguiente
fórmula:
Z
Z
f (x, y)dxdy =
f (r cos θ, rsenθ)rdrdθ
B
A
Ejemplo 7.5 Sea A = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 1}. Aplicar el cambio de
variables a coordenadas polares x = r cos θ, y = rsenθ para hallar
Z
2
2
e−x −y dxdy.
A
Ejemplo 7.6 Calcular
0, a2 ≤ x2 + y 2 ≤ b2 }.
R
D
log(x2 + y 2 )dxdy, donde D = {(x, y) : x ≥ 0, y ≥
Ejemplo 7.7 Hallar el área de un cı́rculo de radio r usando el cambio a
coordenadas polares.
Coordenadas esféricas
Sea ahora g : R3 −→ R3 la aplicación definida por
g(r, ϕ, θ) = (r senϕ cos θ, r senϕsenθ, r cos ϕ).
Como sucedı́a en el caso de las coordenadas polares, g es C ∞ pero no es
inyectiva en todo R3 . No obstante, restringiéndola al abierto U = {(r, ϕ, θ) :
r > 0, 0 < θ < 2π, 0 < ϕ < π}, g sı́ es inyectiva (no es difı́cil comprobarlo),
y su jacobiano es
senϕ cos θ r cos ϕ cos θ −r senϕsenθ Jg(r, ϕ, θ) = senϕsenθ r cos ϕsenθ r senϕ cos θ = r2 senϕ > 0
cos ϕ
−r senϕ
0
en cada (r, ϕ, θ) ∈ U , luego por el teorema de la función inversa g : U −→
g(U ) es un difeomorfismo de clase C ∞ . Se ve fácilmente que g(U ) = R3 \
{(x, y, z) : y = 0, x ≥ 0}. Es decir, g transforma difeomórficamente la banda
abierta U sobre todo el espacio R3 excepto los puntos del plano y = 0 con
coordenada x positiva. Pero dichos puntos forman un subconjunto de medida
cero de R3 , luego estos puntos no afectan al valor de las integrales a las que
se aplique el cambio de variables g y, como en el caso de las coordenadas
65
polares, para calcular integrales podemos hacer como si g fuera una biyección
definida de B = {(r, ϕ, θ) : r ≥ 0, 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ ϕ ≤ π} sobre todo R3 . En
este caso, si B es cualquier sunconjunto con volumen de R3 , y A = g −1 (B),
aplicando el teorema del cambio de variables a g, obtenemos la siguiente
fórmula:
Z
Z
f (r cos θsenϕ, rsenθsenϕ, r cos ϕ)r2 senϕdrdϕdθ.
f (x, y, z)dxdydz =
A
B
Ejemplo 7.8 Sea B la bola unidad de R3 . Calcular las integrales
Z
Z
dxdydz
2
2
2 3/2
p
y
e(x +y +z ) dxdydz.
2
2
2
2+x +y +z
B
B
Coordenadas cilı́ndricas
El cambio a coordenadas cilı́ndricas consiste en hacer un cambio a polares en
las coordenadas x, y de cada punto (x, y, z) ∈ R3 , mientras que la coordenada
z permanece fija. La transformación adecuada es pues
g(r, θ, z) = (r cos θ, rsenθ, z),
donde g está definida en el abierto U = {(r, θ, z) : r > 0, 0 < θ < 2π}, y su
imagen es todo R3 excepto los puntos del plano y = 0 con coordenada x ≥ 0
(puntos que forman un subconjunto de medida cero de R3 ). El jacobiano de
g es en este caso Jg(r, θ, z) = r > 0 en U . Ası́, si B es cualquier sunconjunto
con volumen de R3 , y A = g −1 (B), tenemos la siguiente fórmula de cambio
de variables:
Z
Z
f (x, y)dxdydz =
f (r cos θ, rsenθ, z)rdrdθdz.
B
A
Ejemplo 7.9 Calcular
1, 0 ≤ z ≤ 1}.
−x2 −y 2
R
Ejemplo 7.10 Calcular
x2 + y 2 ≤ 2, 1 ≤ z ≤ 2}.
D
ze
dxdydz, donde D = {(x, y, z) : x2 +y 2 ≤
z
p
x2 + y 2 dxdydz, donde D = {(x, y, z) : 1 ≤
R
D
Ejemplo 7.11 Hallar el valor de
Z Z Z √
1
0
1−y 2
1
−1
−
√
1−y 2
z(x2 + y 2 )dxdydz.
66
CAPÍTULO 7. EL TEOREMA DEL CAMBIO DE VARIABLES
Demostración del teorema 7.1
La demostración del teorema del cambio de variables es necesariamente larga
y complicada técnicamente. Seguiremos estos pasos:
Paso 1: Si L : Rn −→ Rn es una aplicación lineal y A un conjunto con
volumen entonces v(L(A)) = | det L|v(A).
Paso 2: Si C es un conjunto con volumen tal que C ⊂ A, entonces
g(C) también tiene volumen.
Paso 3: Si C ⊂ A es un conjunto cerrado y con volumen, entonces
Z
v(g(C)) ≤
|Jg|.
C
Paso 4: Sea C un subconjunto cerrado y con volumen de A. Entonces,
para toda f : g(C) −→ R integrable,
Z
Z
f = (f ◦ g)|Jg|.
g(C)
C
Paso 5: El teorema es cierto, incluso si x 7→ |Jg(x)| o x 7→ 1/|Jg(x)|
no están acotadas sobre A y las integrales son impropias.
Paso 1. Comenzamos por probar el teorema en el caso más sencillo, aunque
no del todo trivial: suponiendo que g es lineal, f = 1 y A es un conjunto
con volumen:
Lema 7.12 Sean L : Rn −→ Rn una aplicación lineal, y A ⊂ Rn un conjunto con volumen. Entonces L(A) tiene volumen, y
v(L(A)) = | det L|v(A),
es decir,
Z
Z
| det L|.
1=
L(A)
A
Demostración: Nos bastarı́a con probar esto en el caso que L es isomorfismo
lineal (es todo lo que se requiere para demostrar el teorema del cambio de
variable), pero como el enunciado de este lema es cierto incluso cuando L no
es isomorfismo, discutiremos también este caso. Si det L = 0 entonces L(A)
está contenido en L(A), que es compacto y a su vez está contenido en un
67
hiperplano de Rn , luego L(A) tiene medida y contenido cero, y la igualdad
v(L(A)) = | det L|v(A) es trivial en este caso. Podemos suponer entonces
que det L 6= 0, es decir, L es un isomorfismo lineal.
Veamos primero que L(A) tiene volumen si A lo tiene. Por el ejercicio
2.24 sabemos que una aplicación de clase C 1 entre dos abiertos de Rn transforma conjuntos de medida nula en conjuntos de medida nula. En particular
esto es cierto para una aplicación lineal L : Rn −→ Rn . Por tanto, si A
tiene volumen, ∂A tiene medida cero y L(∂A) también. Pero, como L es
isomorfismo lineal, ∂L(A) = L(∂A), de modo que ∂L(A) tiene medida cero
y ası́ L(A) tiene volumen.
Para establecer la igualdad v(L(A)) = | det L|v(A), recordemos que si
L : Rn −→ Rn es una aplicación lineal, entonces existen aplicaciones lineales
L1 , ..., LN : Rn −→ Rn tales que L = L1 ◦ ... ◦ LN y cada Lk opera sobre
cualquier vector x ∈ Rn de una de las maneras siguientes:
(a) Una coordenada de x se multiplica por una constante, y las demás
coordenadas permanecen invariables;
(b) Para ciertos i, j (fijos para cada Lk ), se reemplaza la coordenada xi por
xi + xj , mientras que las otras coordenadas permanecen invariables.
Esto es equivalente a afirmar que cualquier matriz n × n se descompone
como producto de matrices n × n cada una de las cuales es de uno de los dos
tipos siguientes: o bien se obtiene de la matriz identidad sustituyendo un 1
de la diagonal por una constante c, o bien se obtiene a partir de la matriz
identidad poniendo un uno en vez de un cero en cualquier lugar fuera de la
diagonal principal.
Puesto que det L = det L1 ... det LN , basta probar el resultado para cada
una de las Lk anteriores. Es decir, podemos suponer que L es de una de
las formas (a) o (b) anteriores. En efecto, si v(Lj (A)) = | det Lj |v(A) para
cada Lj y cada conjunto con volumen A entonces, aplicando este hecho
reiteradamente, obtenemos que
v(L(A)) = | det L1 || det L2 |...| det LN |v(A) = | det L|v(A).
Veamos pues que si L es una aplicación lineal del tipo (a) o (b) anteriores
y A es un conjunto con volumen entonces v(L(A)) = | det L|v(A). A tal fin,
comenzamos considerando el caso especial en que A es un rectángulo,
A = [a1 , b1 ] × [a2 , b2 ] × ... × [an , bn ].
Si L es del tipo (a), es decir,
L(x1 , ..., xn ) = (x1 , ..., cxi , ..., xn ),
68
CAPÍTULO 7. EL TEOREMA DEL CAMBIO DE VARIABLES
donde c es una constante, entonces es claro que det L = c, y
L(A) = [a1 , b1 ] × ... × [ca2 , cb2 ] × ... × [an , bn ],
si c > 0, y
L(A) = [a1 , b1 ] × ... × [cb2 , ca2 ] × ... × [an , bn ],
cuando c < 0, luego v(L(A)) = |c|v(A) en ambos situaciones, y el resultado
se cumple para aplicaciones del tipo (a). Supongamos ahora que L es del
tipo (b), es decir
L(x1 , ..., xn ) = (x1 , ..., xi−1 , xi + xj , xi+1 , ..., xn ),
entonces es obvio que det L = 1, y por tanto sólo hay que probar que v(A) =
v(L(A)) en este caso. Como
L(A) = {(x1 , ..., xi−1 , xi + xj , xi+1 , ..., xn ) : xk ∈ [ak , bk ]},
entonces, utilizando el teorema de Fubini, obtenemos que
Z
n
Y
v(L(A)) =
1D dxi dxj
(bk − ak ),
D
k=1,k6=i,k6=j
donde D = {(xj , xi + xj ) ∈ R2 : xj ∈ [aj , bj ], xi ∈ [ai , bi ]}. Por tanto,
tendremos lo que deseamos si probamos que
Z
1D dxi dxj = (bj − aj )(bi − ai ).
D
Es decir, en realidad basta con demostrar esto en el caso de R2 , cuando
A = [a, b] × [c, d] y L : R2 −→ R2 está definida por
L(x, y) = (x, x + y).
Pero esto es ya un sencillo ejercicio que se deja al cuidado del lector (hágase
un dibujo para convencerse de que v(L(A)) = (b − a)(d − c) = v(A) si no se
tiene ganas de calcular).
Este argumento prueba que v(L(A)) = | det L|v(A) cuando A es un
rectángulo y L es una aplicación lineal del tipo (a) o (b). Veamos por último
que esta igualdad sigue siendo cierta en el caso de que A es un conjunto
cualquiera con volumen (y L sigue siendo de uno de esos dos tipos).
Sea S un rectángulo que contiene a A y tomemos ε > 0 cualquiera. Como
A tiene volumen existe una partición P de S tal que
ε
ε
, y v(A) − L(1A , P ) ≤
.
U (1A , P ) − v(A) ≤
| det L|
| det L|
69
S
S
Sean entonces V = Vε = {Q ∈ P : Q ⊆ A}, y W = Wε = {Q ∈ P :
Q ∩ A 6= ∅}. Por lo anterior se tiene que
X
X
v(L(V )) =
v(L(Q)) =
| det L|v(Q) =
Q∈P,Q⊆A
Q∈P,Q⊆A
| det L|L(1A , P ) ≥ | det L|v(A) − ε,
y análogamente v(L(W )) ≤ | det L|v(A) + ε. Ahora, como V ⊆ A ⊆ W ,
tenemos que L(V ) ⊆ L(A) ⊆ L(W ), y como ya sabemos que L(A) tiene
volumen, esto impone que
| det L|v(A) − ε ≤ v(L(V )) ≤ v(L(A)) ≤ v(L(W )) ≤ | det L|v(A) + ε,
y en particular | det L|v(A) − ε ≤ v(L(A)) ≤ | det L|v(A) + ε. Como ε > 0
es arbitrario se deduce de aquı́ que v(L(A)) = | det L|v(A). 2
Paso 2. Veamos ahora que los difeomorfismos transforman conjuntos con
volumen en conjuntos con volumen.
Lema 7.13 Sea g : A −→ B un difeomorfismo C 1 entre dos abiertos de Rn .
Si C es un conjunto con volumen tal que C ⊂ A, entonces g(C) también
tiene volumen.
Demostración: Como g es un difeomorfismo, ∂g(C) = g(∂C). Por el ejercicio 2.24 sabemos que una aplicación de clase C 1 entre dos abiertos de
Rn transforma conjuntos de medida nula en conjuntos de medida nula. Entonces, como ∂C tiene medida nula (puesto que C tiene volumen), resulta
que ∂g(C) = g(∂C) tiene también medida nula, lo que significa que g(C)
tiene volumen. 2
Paso 3. Veremos que si C ⊂ A es un conjunto cerrado y con volumen,
entonces
Z
|Jg|.
v(g(C)) ≤
C
A tal fin, probaremos primero una versión aproximada de este hecho para
el caso en que C es un cubo, de lo cual deduciremos el caso general.
Recordemos que la norma k · k∞ : Rn −→ R definida por
kxk∞ = sup |xi |
1≤i≤n
tiene la propiedad de que para todos x ∈ Rn y r > 0,
B∞ (x, r) = {y ∈ Rn : ky − xk∞ ≤ r} = [x1 − r, x1 + r] × ... × [xn − r, xn + r],
70
CAPÍTULO 7. EL TEOREMA DEL CAMBIO DE VARIABLES
es decir, la bola B∞ (x, r) es un cubo de centro x y lados de longitud 2r.
Obviamente, todo cubo C en Rn puede expresarse de esta manera para
ciertos x y r. El siguiente lema nos da la clave de la demostración de este
paso:
Lema 7.14 Sea g : A −→ B un difeomorfismo C 1 entre dos abiertos de Rn
y K un compacto contenido en A. Entonces, para todo ε > 0 existe un δ > 0
tal que, si Q es un cubo de lados menores o iguales que δ y x ∈ Q ∩ K, se
tiene
v(g(Q)) ≤ (1 + ε)n | det g 0 (x)|v(Q).
Demostración: Como g 0 y (g −1 )0 son continuas en el compacto K, ambas
aplicaciones están acotadas en K, y por tanto existe una constante M > 0
tal que, para todo x ∈ K, los isomorfismos lineales g 0 (x) satisfacen que
1
kzk∞ ≤ kg 0 (x)(z)k∞ ≤ M kzk∞ ,
M
para todo z ∈ Rn , lo cual equivale a decir que, para todo x ∈ K, y para
todos y ∈ Rn , r > 0,
B∞ (g 0 (x)(y),
r
) ⊆ g 0 (x)(B∞ (y, r)) ⊆ B∞ (g 0 (x)(y), M r).
M
(1)
Por otra parte, como g es de clase C 1 en el compacto K ⊂ A, g es uniformemente diferenciable en K (ver problema 7.29), es decir, dado ε > 0, existe
δ1 > 0 tal que
kg(y + h) − g(y) − g 0 (y)(h)k∞ ≤
ε
khk
2M
(2)
para todos y ∈ K, khk ≤ δ1 . Además, como g 0 es uniformemente continua
en el compacto K, existe δ2 > 0 tal que
kg 0 (x) − g 0 (y)k ≤
ε
2M
para todos x, y ∈ K con kx − yk∞ ≤ δ2 , lo que conlleva
kg 0 (x)(h) − g 0 (y)(h)k∞ ≤
ε
khk
2M
(3)
para todos x, y ∈ K, h ∈ Rn , con kx−yk∞ ≤ δ2 y khk ≤ δ2 . Ahora, tomando
δ = mı́n{δ1 , δ2 } y combinando las desigualdades (2) y (3), tenemos que
kg(y + h) − g(y) − g 0 (x)(h)k∞ ≤
ε
khk,
M
(4)
71
es decir, para todo x, y ∈ K con kx − yk ≤ δ y khk ≤ δ, se tiene que
g(y + h) − [g(y) + g 0 (x)(h)] ∈ B∞ (0,
ε
khk) ⊆ g 0 (x)(B∞ (0, εkhk)),
M
lo que implica que
g(B∞ (y, r)) ⊆ g(y) + g 0 (x)(B∞ (0, r)) + g 0 (x)(B∞ (0, εr))
⊆ g(y) + g 0 (x)(B∞ (0, r(1 + ε)))
para todo x, y ∈ K con x ∈ B∞ (y, r), r ∈ (0, δ), y por tanto, tomando
volúmenes y teniendo en cuenta el paso 1,
v(g(B∞ (y, r))) ≤ v(g(y) + g 0 (x)(B∞ (0, r(1 + ε)))) =
v(g 0 (x)(B∞ (0, r(1 + ε)))) = | det g 0 (x)|v(B∞ (0, r(1 + ε))),
y, como v(B∞ (z, t)) = (2t)n para todo z ∈ Rn y t > 0, esto equivale a
v(g(B∞ (y, r))) ≤ | det g 0 (x)|(2r)n (1 + ε)n =
(1 + ε)n | det g 0 (x)|v(B∞ (y, r))
para todo y ∈ K, x ∈ K ∩ B∞ (y, r), r ∈ (0, δ). Esto prueba que, para todo
ε > 0 existe un δ > 0 tal que para todo cubo Q de centro y ∈ K cuyos lados
midan menos que δ, y para todo x ∈ K ∩ Q, se tiene
v(g(Q)) ≤ (1 + ε)n | det g 0 (x)|v(Q).
Ahora ya podemos deducir el resultado principal del paso 3:
Lema 7.15 Sea g : A −→ B un difeomorfismo C 1 entre dos abiertos de Rn
y sea C un cerrado con volumen contenido en A. Entonces,
Z
v(g(C)) ≤
|Jg(x)|dx.
C
Demostración: Sea s = dist∞ (C, ∂A). Como C es un compacto contenido
en el abierto A, se tiene s > 0. Sea K = {x ∈ A : dist∞ (x, C) ≤ s/2};
claramente K es un compacto contenido en A. Además, cualquier cubo Q
de lados menores que δ1 := s/2, y cuya intersección con C sea no vacı́a,
estará contenido en K.
Ahora, aplicamos el lema anterior (7.14) a nuestro compacto K: fijado
un ε > 0 arbitrario, existe δ2 > 0 tal que, si Q es un cubo de lados menores
o iguales que δ2 y x ∈ Q ∩ K, se tiene
v(g(Q)) ≤ (1 + ε)n | det g 0 (x)|v(Q).
(5)
72
CAPÍTULO 7. EL TEOREMA DEL CAMBIO DE VARIABLES
Por otro lado, como la aplicación x 7→ |Jg(x)| es continua en el compacto
C, que tiene volumen, |Jg| es integrable en C. Sea S un cubo que contenga
a C. Al ser |Jg| integrable en C, dado ε > 0 existe δ3 > 0 tal que para
cualquier partición P de S en cubos Q1 , ..., QN cuyos lados miden menos
que δ3 , y x1 ∈ S1 , ..., xN ∈ SN cualesquiera, se tiene que
Z
|Jg| −
N
X
C
|Jg(xi )|1C (xi )v(Qi ) ≤ ε,
i=1
y por tanto
N
X
Z
|Jg(xi )|1C (xi )v(Qi ) ≤
|Jg| + ε.
(6)
C
i=1
Sea ahora δ = mı́n{δ1 , δ2 , δ3 }. Fijemos P una partición cualquiera de S en
cubos de lados menores o iguales que δ, y sea
Pc = {Q ∈ P : Q ∩ C 6= ∅}.
Para cada Q ∈ P escojamos xQ ∈ Q de tal manera que xQ ∈ Q ∩ C cuando
Q ∈ Pc . Como δ ≤ δ1 = s/2, se tiene xQ ∈ Q ⊆ K para todo Q ∈ Pc , y
entonces, por (5) y (6),
Z
X
n
|Jg(xQ )|v(Q) ≤
|Jg| + ε
v(g(Q)) ≤ (1 + ε) |Jg(xQ )|v(Q), y
C
Q∈Pc
para todo Q ∈ Pc .
Entonces, aplicando el paso 3 y el teorema 4.1(vii), obtenemos que
[
X
X
v(g(C)) = v(
g(C ∩ Q)) =
v(g(C ∩ Q)) =
v(g(C ∩ Q))
Q∈P
≤
X
v(g(Q)) ≤
Q∈Pc
Q∈P
X
Q∈Pc
n
(1 + ε) |Jg(xQ )|v(Q)
Q∈Pc
n
= (1 + ε)
X
n
Z
|Jg(xQ )|1C (xQ )v(Q) ≤ (1 + ε)
|Jg| + ε ,
C
Q∈P
es decir
v(g(C)) ≤ (1 + ε)n
Z
|Jg| + ε .
(8)
C
Finalmente, teniendo en cuenta que en todo este razonamiento ε > 0 es
arbitrario e independiente de C, haciendo tender
R ε a cero en la desigualdad
(8), obtenemos lo que deseabamos: v(g(C)) ≤ C |Jg|.
73
Paso 4. Lo más duro de la demostración del teorema del cambio de variables
ya ha pasado, y estamos en condiciones de probar el teorema para cualquier
subconjunto cerrado y con volumen de A:
Lema 7.16 Sea g : A −→ B un difeomorfismo C 1 entre dos abiertos de Rn
y sea C un subconjunto cerrado y con volumen de A. Entonces, para toda
función f : g(C) −→ R integrable,
Z
Z
f = (f ◦ g)|Jg|.
C
g(C)
Demostración: Como las aplicaciones x 7→ |Jg(x)| y x 7→ 1/|Jg(x)| son
continuas en los compactos C y D = g(C) respectivamente, ambas están
acotadas en dichos conjuntos, que además tienen volumen (paso 2), y por
tanto |Jg| es integrable en C y |Jg −1 | = 1/|Jg| es integrable en D. Además,
si S es un rectángulo que contiene a C y D(f ) es el conjunto de discontinuidades de la extensión canónica de f a S, es claro que D(f ) ⊂ B y D(f )
tiene medida cero (por ser f integrable en g(C)), luego, como g −1 : B −→ A
es de clase C 1 , se tiene que g −1 (D(f )) tiene medida cero (ejercicio 2.24).
Pero, como g es un difeomorfismo, g −1 (D(f )) es precisamente el conjunto
de discontinuidades de f ◦ g, denotado por D(f ◦ g). Por tanto D(f ◦ g) tiene
medida cero, y ası́ f ◦ g es integrable en C.
Sea S un rectángulo que contenga a g(C), y extiéndase f a S poniendo
f = 0 en S \ g(C) como de costumbre. Sea P una partición cualquiera de
S en subrectángulos S1 , ..., SN . Utilizando el resultado del paso anterior y
el hecho evidente de que m(f, Si ) = m(f ◦ g, g −1 (Si )), ası́ como el teorema
4.1(vii), tenemos que
L(f, P ) =
N
X
m(f, Si )v(Si ) =
i=1
≤
=
N
X
Z
m(f, Si )
i=1
N Z
X
Zi=1
g −1 (Si )
|Jg| =
g −1 (Si )
N
X
i=1
N
XZ
i=1
g −1 (S)
g −1 (Si )
m(f ◦ g, g −1 (Si ))|Jg| ≤
m(f, Si )|Jg|
N Z
X
i=1
(f ◦ g)|Jg| =
g −1 (Si )
Z
Z
(f ◦ g)|Jg| =
=
m(f, Si )v(g(g −1 (Si )))
(f ◦ g)|Jg| =
g −1 (g(C))
es decir,
Z
L(f, P ) ≤
(f ◦ g)|Jg|.
C
(f ◦ g)|Jg|,
C
74
CAPÍTULO 7. EL TEOREMA DEL CAMBIO DE VARIABLES
Como esto vale para cualquier partición P de S y f es integrable en g(C),
se deduce que
Z
Z
(9)
f ≤ (f ◦ g)|Jg|.
g(C)
C
Por supuesto, todo lo que se ha hecho hasta ahora, y en particular esta
última desigualdad, se puede aplicar al difeomorfismo g −1 : B −→ A en lugar
de g, y a cualquier función integrable h : C = g −1 (g(C)) −→ R. Ası́ pues, si
ponemos g −1 en lugar de g y h = (f ◦ g)|Jg| en lugar de f en la desigualdad
(9), obtenemos
Z
Z
Z
−1
−1
−1
(f ◦ g)|Jg| ≤
(f ◦ g ◦ g )(|Jg| ◦ g )|Jg | =
f,
(10)
C
g(C)
g(C)
ya que g ◦ g −1 = I, luego I = (g 0 ◦ g −1 ) ◦ (g −1 )0 , donde I es la aplicación
identidad, y tomando determinantes, 1 = (|Jg| ◦ g −1 )|Jg −1 |.
Finalmente, combinando las desigualdades (9) y (10) obtenemos el resultado que buscábamos:
Z
Z
f = (f ◦ g)|Jg|.
g(C)
C
Paso 5. Para terminar este capı́tulo veremos que el teorema del cambio
de variables es cierto tal y como está enunciado, incluso si x 7→ |Jg(x)| o
x 7→ 1/|Jg(x)| no están acotadas sobre A y las integrales son impropias.
Sea (Kn ) una sucesión cualquiera de compactos con volumen tales que
Kn ⊆ Kn+1 para todo n, y A =
∞
[
Kn .
n=1
Por el teorema 6.3),
R para probarRque (f ◦ g)|Jg| es integrable en A (quizás
impropia) y que A (f ◦ g)|Jg| = B f , basta ver que
Z
Z
lı́m
(f ◦ g)|Jg| =
f.
n→∞ K
n
B
Ahora bien, como g : A −→ B es un difeomorfismo, (g(Kn )) es una sucesión
de compactos con volumen tales que
g(Kn ) ⊆ g(Kn+1 ) para todo n, y B =
∞
[
n=1
g(Kn ).
75
Entonces, como f es integrable (quizás impropia) sobre B, esto implica (otra
vez por el teorema 6.3) que
Z
Z
f;
f=
lı́m
n→∞ g(K )
n
B
pero, por el resultado del paso anterior,
Z
Z
= (f ◦ g)|Jg|;
f=
Kn
g(Kn )
luego, combinando estas dos últimas igualdades obtenemos lo que deseamos:
Z
Z
lı́m
(f ◦ g)|Jg| =
f.
n→∞ K
n
B
Problemas
7.17 Determinar el área de la región acotada por las curvas xy = 1, xy = 2,
y = x2 e y = 2x2 , por medio del cambio de variables u = xy, v = y/x2 .
7.18 Hallar el volumen de la región determinada por la intersección del
cono sólido z 2 ≥ x2 + y 2 y la bola x2 + y 2 + z 2 ≤ 1.
7.19 Usar coordenadas cilı́ndricas para hallar el volumen del sólido T limitado superiormente por el plano z = y e inferiormente por el paraboloide
z = x2 + y 2 .
7.20 Demostrar que el volumen de un cono circular de radio de la base r
y altura h es 31 πr2 h.
7.21 Calcular
Z
D
1+
x2
1
dxdydz,
+ y2 + z2
donde D es la bola unidad de R3 .
7.22 Utilizando coordenadas polares, calcular las integrales:
R
(a) D sin(x2 + y 2 )dxdy, siendo D = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 ≤ 1}.
R
(b) D |x + y|dxdy, siendo D = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 ≤ 1}.
76
CAPÍTULO 7. EL TEOREMA DEL CAMBIO DE VARIABLES
log(x2 + y 2 )dxdy, siendo D = {(x, y) ∈ R2 | a ≤ x2 + y 2 ≤ b2 , x ≥
0, y ≥ 0}.
R
(d) D (x2 + y 2 )−3 dxdy, siendo D = {(x, y) ∈ R2 | 1 ≤ x2 + y 2 ≤ 4, 0 ≤
y ≤ x}.
(c)
7.23
R
D
(a) Hallar el área limitada por las curvas en polares: ρ = a cos θ y
ρ = a(1 + cos θ); (a > 0).
(b) Hallar el área limitada por la curva en polares: ρ = a| sin 3θ|; (a > 0).
(c) Hallar el área limitada por la lemniscata: (x2 + y 2 )2 = 2a(x2 − y 2 );
(a > 0).
7.24 Se considera la transformación φ(u, v) = (u2 − v 2 , 2uv); sea D =
{(u, v) ∈ R2 | 1 ≤ u2 + v 2 ≤ 9, u ≥ 0, v ≥ 0}. Determinar el conjunto φ(D) y
calcular su área. Indicación: ¿Qué es φ(z) cuando z = u + iv es un número
complejo?
7.25 Se considera la transformación φ(u, v) = (x = u + v, y = v − u2 ); sea
D el triángulo de vértices (0, 0), (2, 0) y (0, 2) en el plano (u, v). Comprobar
que φ es un cambio de variables alrededor de D. Determinar el conjunto
φ(D) y calcular su área.
7.26 Utilizando cambios de variable, calcular:
R
(a) D (x2 + y 2 )dxdy, siendo D = {(x, y) ∈ R2 | 1 ≤ x2 − y 2 ≤ 9, 2 ≤ xy ≤
4}.
R
(b) D 4x2x+y2 dxdy, siendo D = {(x, y) ∈ R2 | 1 ≤ 4x2 + y 2 ≤ 16, x ≥
0, y ≥ 0}.
R
(c) D (x2 + y 2 )dxdy, siendo D = {(x, y) ∈ R2 | x2 − y 2 ≤ 1, |y| ≥ 1}.
7.27 Calcular:
R
(a) V (x2 + y 2 )dxdydz, donde V = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 ≤ 2z ≤ 4}.
R
(b) V zdxdydz, donde V = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 + z 2 ≤ 1, x ≥ 0, y ≥
0, z ≥ 0}.
R
(c) V z(x + y)dxdydz, donde V está limitado por: z = 0, z = a, xy = a2 ,
2(x + y) = 5a, (a > 0).
77
(d)
R
(e)
R
(f)
R
(g)
R
V
ex dxdydz, donde V = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 + z 2 ≤ 1}.
2
2
V z sin(x + y )dxdydz,
2
1/2
y ) }, (R > 0).
V
donde V = {(x, y, z) ∈ R3 | o ≤ (R2 − x2 −
|z|dxdydz, donde V = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 ≤ 1, z 2 ≤ x2 }.
2
2
V (x + y
2
2
z ≤ b }.
+ z 2 )−2 dxdydz, donde V = {(x, y, z) ∈ R3 | a2 ≤ x2 + y 2 +
7.28 Calcular el volumen de los cuerpos siguientes:
(a) El cuerpo limitado por los cilindros x2 + y 2 = 1 y x2 + z 2 = 1.
(b) El cuerpo limitado por la superficie z = x2 + y 2 y los planos z = 2 y
z = 4.
(c) El cuerpo limitado por una esfera de radio R y un cono de ángulo en
el origen 2α, si el vértice del cono está en el centro de la esfera.
(d) El cuerpo limitado por la esfera x2 + y 2 + z 2 = a2 y el cilindro (x −
a/2)2 + y 2 = a2 /4.
(e) El cuerpo limitado por las superficies x+y = z; xy = 1, y = x, y = 2x,
z = 0.
7.29 Se dice que una aplicación g : A ⊆ Rn −→ Rm es uniformemente
diferenciable en U ⊆ A si es diferenciable y además, para todo ε > 0 existe
δ > 0 tal que
kg(y) − g(x) − g 0 (x)(y − x)k ≤ εky − xk
para todos x, y con x ∈ U , ky − xk ≤ δ.
Probar que si g : A ⊆ Rn −→ Rm es de clase C 1 entonces, para todo
subconjunto compacto K ⊂ A, g es uniformemente diferenciable en K.
Indicación: Reducirlo al caso de una función que g que tome valores escalares. Utilizar el teorema del valor medio y que la derivada g 0 es uniformemente continua en el compacto K.
7.30 Calcular, mediante una transformación previa de coordenadas, las
integrales:
R 2 R √2x−x2 R a p
2
2
(a) 0 0
0 z x + y dzdydx (a cilı́ndricas).
R 2R R √2Rx−x2 R √R2 −x2 −y2 2
(b) 0 −√2Rx−x2 0
(x + y 2 )dzdydx (a esféricas).
78
CAPÍTULO 7. EL TEOREMA DEL CAMBIO DE VARIABLES
7.31 Hacer un cambio de variables a coordenadas
y usar los teoR polares
2 −y 2
−x
remas sobre integrales impropias para calcular R2 e
dxdy. Después,
utilizar el teorema de Fubini para probar que
Z ∞
√
2
e−x dx = π.
−∞
7.32 Enunciar y probar una versión del teorema del cambio de variables
para difeomorfismos C 1 entre abiertos posiblemente no acotados e integrales
impropias.
7.33 ¿Para qué valores de p es la función
f (x, y, z) = (x2 + y 2 + z 2 )p
integrable sobre B, donde B es la bola unidad euclidea de R3 ? ¿Para cuáles
lo es sobre R3 \ B?
7.34 Sea A = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 < 1} la bola unidad abierta en el
plano. Hallar el valor de las siguientes integrales impropias:
p
p
R (a) A 1 − x2 + y 2 dxdy, para p < −1.
R
(b) A √ 21 2 dxdy.
x +y
7.35 Deducir fórmulas para el volumen de cuerpos de revolución en R3 .
Después calcular el volumen del toro engendrado al girar una circunferencia
de radio r y centro (a, 0, 0) situada en el plano y = 0 alrededor del eje z (se
supone 0 < r < a).