2.3 Teorema de existencia y unicidad de solución única Teorema

2.3 Teorema de existencia y unicidad de solución única
68
2.3 Teorema de existencia y unicidad de solución única
Teorema 2.3.1 Siendo an ( x) , an −1 ( x) ,..., a1 ( x) , ao ( x) y g ( x) , funciones contínuas en un
intervalo I , siendo an ( x) ≠ 0 , para cualquier valor de x en el intervalo I , si x = x0 en
cualquier punto del intervalo , existe una solución en dicho intervalo y ( x) del problema de
valor inicial representado por la ecuación
dn y
d n −1 y
dy
an ( x) n + an −1 ( x) n −1 + ... + a1 ( x) + ao ( x) y = g ( x) , y es única.
dx
dx
dx
(1)
Donde esas funciones son los coeficientes de y y sus n derivadas, una vez obtenida la
forma estándar de la ecuación diferencial, es decir el coeficiente de la derivada más alta se
hace 1 . [13]
an ( x) d n y an −1
a ( x) dy ao ( x)
d n −1 y
g ( x)
( x) n −1 + ... + 1
y=
+
+
n
an ( x) dx
an ( x)
an ( x) dx an ( x)
an ( x)
dx
(2)
Visto de otra manera
dn y
d n −1 y
dy
P
x
+
(
)
+ ... + R( x) + S ( x) y = f ( x)
n
n −1
dx
dx
dx
(3)
Donde P ( x), Q( x),...S ( x) son funciones dadas.
Si x0 es cualquier punto en [ a, b ] y si y0 , y´0 son números arbitrarios, entonces la
ecuación tiene una única solución y ( x) sobre el intervalo completo tal que
y ( x0 ) = y0 y y´( x0 ) = y´0
(4)
Bajo estas hipótesis, en cualquier punto x0 del intervalo [ a, b ] podemos determinar los
valores de y ( x) y y´( x) , donde debe existir una solución que tome esos valores en el punto
dado; Es decir, tiene una única solución en [ a, b ] que pasa por un punto específico ( x0 , y0 )
con pendiente determinada y´0 .
Un ejemplo de una ecuación diferencial lineal de segundo orden es la ecuación que expresa
el movimiento de una masa acoplada a un resorte
Instituto Tecnológico de Chihuahua / C. Básicas
Amalia C. Aguirre Parres
2.3 Teorema de existencia y unicidad de solución única
69
my´´+cy´+ ky = F (t )
(5)
m, c, k son constantes y F es un función determinada. [1]
Instituto Tecnológico de Chihuahua / C. Básicas
Amalia C. Aguirre Parres