UNIDAD 6. POLINOMIOS CON COEFICIENTES ENTEROS

IES Prof. Juan Bautista
El Viso del Alcor
Matemáticas 2º (Ver. 3)
Unidad 6: Polinomos con coeficientes enteros.
UNIDAD 6.
POLINOMIOS CON COEFICIENTES ENTEROS
Unidad 6: Polinomios con coeficientes enteros.
Al final deberás haber aprendido... El examen tratará sobre...
•
Expresar
algebraicamente
enunciados sencillos.
•
Extraer enunciados razonables
de
expresiones
algebraicas
dadas.
•
Conocer
el
incógnita de
algebraica.
significado
de
una expresión
•
Identificar
polinomios
como
expresiones
algebraicas
singulares.
•
Operar
correctamente
con
expresiones
algebraicas,
teniendo en cuenta el uso de
paréntesis y las prioridades en la
operativa.
•
Valorar el lenguaje algebraico
como herramienta válida para
resolver problemas del entorno.
•
Simplificar
expresiones
algenraicas mediante el uso de
la operativa adecuada.
•
Operar con polinomios sencillos.
•
Expresar
algebraicamente
enunciados sencillos.
•
Identificar
expresiones
algebraicas equivalentes.
•
Extraer factor común en algunas
expresiones algebraicas.
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Unidad 6: Polinomos con coeficientes enteros.
En Matemáticas se utilizan números para indicar cantidades y signos (+, x, ..) para
las operaciones. Pero hay veces en las que desconocemos alguna(s) cantidad(es),
entonces la(s) representamos con letra(s), que suelen ser las últimas del abecedario. Por
ejemplo, si queremos escribir el triple de un número: como no conocemos ese número le
llamamos “x”, y por tanto su triple será 3x. Esta forma de escribir se llama lenguaje
algebraico. A las expresiones escritas de esta forma (con números, letras y operaciones
de sumar, restar, multiplicar, dividir o potenciación) se les llaman expresiones
algebraicas.
1.- Llamando n a un número natural cualquiera, escribe:
a) Los dos números naturales que le siguen.
b) La suma de los tres.
2.- Completa:
1
2
3
3
9
6
4
5
10
15
...
45
...
n
3.- Llamando n a un número natural cualquiera, escribe:
a) La mitad de n.
b) La mitad de n menos cuatro unidades
c) La mitad de restarle cuatro unidades a n.
d) El doble del resultado de restarle tres unidades a n.
e) El resultado de restarle tres al doble de n.
4.- Utiliza el lenguaje algebraico para expresar:
a) Un múltiplo cualquiera de cinco.
b) Un múltiplo cualquiera de dos.
c) Cualquier número que no sea múltiplo de dos.
d) Cualquier número que deje un resto de tres al dividirlo entre cinco.
5.- Completa con una expresión algebraica la casilla que va emparejada a n.
1
2
3
4
10
n
4
7
10
13
31
?
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En ocasiones es necesario buscar cuánto vale una expresión algebraica. Para ello
se sustituye(n) la(s) letra(s) por la(s) cantidad(es) que nos digan. Por ejemplo Una
persona ve un anuncio en una tienda en el que dice “¡¡Rebajas!! Le descontamos 6 € al
comprar tres prendas iguales” Quiere comprarse 3 pantalones, pero los hay a dos precios
distintos, a 55 y a 65 euros. Para calcular lo que le costará cada clase hay que multiplicar
3 (que son los pantalones que quiere llevarse) por cada uno de los precios y restar los 6 €
al resultado. A esto se le llama calcular el valor numérico:
De forma algebraica quedaría asÍ:
Calcular el valor numérico de 3x – 6 , para x = 55 y x = 65.
3x – 6, para x= 55; 3 · 55 – 6 = 165 – 6 = 159;
3x – 6, para x= 65, 3 · 65 – 6 = 195 – 6 = 189.
En conclusión, si comprara los tres pantalones de 55 € le costarían 159 € en total;
mientras que si comprara los de 65 € le costarían 189.
6.- Calcula el valor numérico que toma cada expresión algebraica para los valores
que se indican:
3
x ; para x = 8
a)
4
b) 2x + 3y ; para x = 5, y = -4
c) a + a2 + a3; para a = 2
1 2
d) 3ab− a ; para a = -3, b = 2
3
Las expresiones algebraicas pueden ser de distintos tipos: Las más fáciles son las
que están formadas por números y/o letras unidos mediante multiplicaciones (o potencias,
ya que también son productos de factores iguales); se llaman monomios. Por ejemplo:
3x5 ;
7
x ;
2
5x3y4z
son tres monomios.
Si dos monomios están unidos mediante una suma o resta forman un binomio; si
son tres los monomios unidos mediante sumas o restas forman un trinomio; en general,
si son varios, forman un polinomio.
En un monomio, el número que multiplica se denomina coeficiente y lo demás,
parte literal. A la suma de todos los exponentes de la parte literal se le llama grado del
monomio, o lo que es lo mismo, grado es la cantidad de letras que tiene el monomio. Por
ejemplo: En el monomio 3/5 x2y, el coeficiente es 3/5; la parte literal es x2y; el grado es 3,
ya que se suman el 2 de la x con el 1 de la y (¡recuerda que cuando no lleva exponente es
como si tuviera un 1!).
En un polinomio, el grado es el mayor de todos los grados de sus diferentes
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monomios. Por ejemplo: El grado del polinomio 2 x2 + 3xy3 – xy2z2 es 5 (ya que ése es el
mayor de los grados de sus tres monomios; el primero es de grado 2, el segundo es de 4º
grado y el tercero es de 5º grado)
Operaciones con monomios.Para sumar o restar monomios sólo se podrá hacer si la parte literal de ambos
son idénticas (a estos monomios se les denominan semejantes). Entonces se suman sus
coeficientes y se deja la misma parte literal. Por ejemplo: Sumemos los monomios 3x2 ;
5x2 ; 2x2 . Se hará así:
3x2 + 5x2 – 2x2 = 6x2.
Pero si queremos sumar 3x y 2x3 no se puede hacer porque su parte literal son
diferentes (no son semejantes). Entonces se deja indicada la suma de ambos monomios
formando así un polinomio.
7.- Indica el grado de cada monomio:
2
2x
-5a3
xy3
3
¿Hay algún par de monomios semejantes?
1 2 2
ab
5
8.- Indica el grado de cada monomio:
5 x2
3
x
4
-7 xy
3 5
a
4
a 2b 4
−
1 3 3
ab
2
9.- Indica el grado de cada polinomio:
a) x4 – 1
b) 3x + 5
c) 1 + x + x2
10.- Reduce las siguientes expresiones:
a) 7a – 5a
b) 3x + 5x – 4x
d) 6x2 – 3x2 + 4x – 5x
e) 3a – (1 + 2a)
g) 3x + 2x + x
h) 5x2 + 2x2
2
2
j) x + x + x + x
k) 3x2- x2 + 5 – 7
c) 5x – 2 + 3x + 7
f) (a + 1) – (a – 1)
i) 3x – 5 + 2x + 4
l) 3x + x2 - 2x - x2 + 3
El resultado de multiplicar monomios es otro monomio en el que su coeficiente
será el producto de los coeficientes anteriores (¡cuidado con los signos!) y su parte literal
estará formada por todas las letras de los monomios anteriores pero con el exponente de
las letras iguales sumados. Veámoslo con un ejemplo:
Queremos multiplicar el monomio –3x2y con 4x3y2z; el resultado será:
–3x2y · 4x3y2z = -12x5y3z
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El –12 sale de multiplicar –3 por 4; x5 sale de x3 por x2, ya que para multiplicar
potencias de la misma base se deja la misma base y se suman los exponentes; y 3 viene
de multiplicar y por y2; y la z se deja igual porque en el segundo monomio no hay otra letra
igual.
Para dividir monomios se hace igual, variando tan sólo que se dividen los
coeficientes y se restan (en lugar de sumar) los exponentes de las letras iguales. Pero no
siempre se pueden dividir dos monomios cualesquiera; el monomio dividendo debe tener
por lo menos las mismas letras y con exponentes iguales o mayores que el divisor, ya que
si no es así no se podrían restar (en cursos posteriores ya verás como sí se podrán hacer
esas operaciones, pero por ahora tan solo haremos operaciones en las que el dividendo
sea de mayor grado que el divisor).
Un ejemplo:
Dividir –3x4y : 5x2
−3 2
x y Observa que la x se ha quedado con grado 2
5
ya que hemos restado 4 – 2, mientras que la y se ha quedado igual porque no había
ninguna y en el divisor.
Se hará así: –3x4y : 5x2 =
11.- Reduce:
a) 3x · 2x
d) 2ab · 3a
g) 2x · 7x
3 2
j) (-5x) · − x 
5
3
m) 15 x : 3x
p) 4ab2 : 4a2b
s) (-6x5 ) : (2x)
b) 5x · x2
e) 3ab · (-5ab)
1
h) 12x ·
x2
4
c) (-2x) · 4x2
f) a2b · b2a
k) 8a : 4a
l) 6x2 : 3x
n) 8ab : 2ab
q) x8 : x6
2 4
1 2
t) (
x ):(
x )
3
3
o) 3a2b3 : 6ab
r) 6x4 : 3x3
1 3
u) (-x8 ) : (
x )
4
12.- Opera y reduce:
a) [(2x) · (-5x)] · (3x)
c) (x2 : x) · x
e) [(4x) · (3x)] : (6x2 )
i) 2x · 3x · (-x)
b) (2x) · [(-5x) · (3x)]
d) x2 : (x · x)
f) (5x) · [(6x2 ) : (3x)]
Operaciones con polinomios.Para sumar polinomios se suman sus monomios semejantes. Por ejemplo, si
queremos sumar el polinomio 3x3 -2x2 + x –2 con el 2x4 + 5x2 – 3x – 6 , se hará así:
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(3x3 -2x2 + x –2) + (2x4 + 3x3 + 3x2 – 2x – 8) = (quitamos paréntesis)
3x3 -2x2 + x –2 +2x4 + 3x3 + 3x2 – 2x – 8 = (juntamos los monomios semejantes y los
ordenamos de mayor a menor grado)
2x4 +3x3 +3x3 -2x2 + 3x2 + x –2x –2 - 8 = (reduciendo los semejantes)
2x4 + 6x3 + x2 - x – 10
También se puede hacer como hacíamos con los números “normales”, en las que
para sumar, por ejemplo 427 + 21, tenemos que colocar las cifras adecuadamente con el
objeto de sumar las unidades con las unidades; las decenas, con las decenas, etc.. En el
caso de polinomios se colocarán los monomios semejantes entre sí, unos debajo de otros.
Veámoslo con el ejemplo anterior:
3x3 - 2x2 + x – 2
2x4 + 3x3 + 3x2 - 2x – 8
2x4 + 6x3 + x2 - x – 10
Para restar polinomios se hace igual, pero teniendo el cuidado de que al quitar los
paréntesis que tienen delante el signo negativo hay que cambiar cada uno de los signos
que había dentro de ese paréntesis. Por ejemplo, vamos a restar los dos polinomios de
antes:
(3x3 -2x2 + x –2) - (2x4 + 3x3 + 3x2 – 2x – 8) =(quitamos paréntesis)
3x3 -2x2 + x –2 - 2x4 - 3x3 - 3x2 + 2x + 8 = (juntamos los monomios semejantes y los
ordenamos de mayor a menor grado)
-2x4 +3x3 - 3x3 - 2x2 - 3x2 + x + 2x – 2 + 8 = (reduciendo los semejantes)
- 2x4 - 5x2 + 3x + 6
Si lo hacemos colocándolos, tendremos que hacer lo mismo que en la suma, con la
única salvedad de que al polinomio que está restando hay que cambiarle los signos. En
nuestro caso sería así:
Restar los monomios 3x3 -2x2 + x –2 y el 2x4 + 3x3 + 3x2 – 2x – 8
3x3 - 2x2 + x – 2
- 2x - 3x3 - 3x2 + 2x + 8
- 2x4
- 5x2 + 3x + 6
4
13.- Quita paréntesis y reduce:
a) (x – 1) – (x – 5)
b) 2x + (1 + x)
d) (3x – 4) + (3x + 4)
e) (1- x) – (1 – 2x)
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c) 5x – (3x – 2)
f) (2 – 5x) – (3 – 7x)
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14.- Reduce las siguientes expresiones:
a) 2 - 5x2 + 7x2 – 2x + 6
b) (x + 1) – (x – 1) + x
2
2
c) (2x – 3x – 8) + (x – 5x + 10)
d) (2x2 – 3x – 8) - (x2 – 5x + 10)
e) (5x2 – 6x + 7) - (4x2 – 5x + 6)
f) (x2 – 4x – 5) + (x2 + 3x – 1)
2
2
2
g) (2x – 5x + 3) + (3x + 5x) + (x + x – 3)
h) (x2 – 4) + (x + 5) - (x2 – x)
i) (2x2 – 5x + 6) – 2(x2 – 3x + 3)
j) 2(5x2 – 4x + 2) - (8x2 – 7x + 4)
k) 3(x – 2) – 2(x – 1) – (x + 1)
l) 2(x2 – 1) + 4(2x – 1) - 11x
15.- Dados los polinomios A = 2x3 - 3x2 + 4 y B = x3 - 4x2 + 3x + 2, calcula:
a) A + B
b) A – B
16.- Dados los polinomios M = 3x3 - 5x2 – 6x + 9 y N = 4x2 - 7x - 5, calcula:
a) M + N
b) M – N
c) 2M – N
17.- Considera los polinomios A = x3 – 5x + 4; B = 3x2 + 2x + 6, y C = x3 – 4x – 8.
Calcula:
a) A + B
b) A – B
c) A – C
d) B + C
e) A + B + C
f) A – B – C
Para multiplicar polinomios se multiplica cada uno de los monomios del primero
por cada uno de los monomios del segundo y después se reducen los monomios
semejantes.
Ejemplo: Vamos a multiplicar el polinomio 3x2 – 2 por el –x2 + 2x – 4. Se hace así:
(Fíjate como los separamos con paréntesis para saber que son dos polinomios)
(3x2 – 2) · (–x2 + 2x – 4) = (multiplicamos 3x2 por cada uno de los monomios del segundo
polinomio) –3x4 + 6x3 – 12x2 (y seguimos escribiendo el resultado de multiplicar –2 por el segundo
polinomio) + 2x2 - 4x + 8 = (ahora reducimos los monomios con igual parte literal)
– 3x4 + 6x3 2
10x – 4x + 8
Todo seguido sería así:
(3x2 – 2)·(–x2 + 2x – 4)= –3x4 + 6x3 – 12x2 + 2x2 – 4x + 8 = – 3x4 + 6x3 – 10x2 – 4x + 8
Si los colocamos quedaría así:
- 3x4
- 3x4
- x2 + 2x - 4
3x2 - 2
2x2 - 4x + 8
3
+ 6x - 12x2
.
3
2
+ 6x - 10x - 4x + 8
Para dividir un polinomio por un monomio se hace igual que con el producto,
pero ahora se dividen los coeficientes y se restan los exponentes de las letras iguales.
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18.- Calcula:
a) 3 · (x + 4)
d) 5 · (3x2 – 5x – 7)
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b) 5x · (x – 1)
c) 3x2 · (x + 2)
2
4
3
2
e) 2x · (x - 2x - 5x + 6x + 1)
19.- Efectúa:
a) (x + 1) · (2x – 3)
b) (3x – 1) · (2x + 2)
c) 3 · (x + 2) · (x – 1)
d) (x + 3) · (x2 – x + 1)
e) 3x · (x2 – 2x + 5)
f) (x +2) · (x – 5)
g) (x2 – 2) · (x2 – 3x + 1)
h) x · (5x – 4) – 2 · (x2 – x)
i) (2x + 1) · x2 - (x – 1) · x2
j) (3x – 1) · ( x + 1) – (x + 1) · (2x – 1)
k) (2x – 3) · (x + 1) - (x2 – x – 4) l) (2x2 + 3) – (x – 1) · (2 + 2x)
m) (x2 + 5x + 3) · (x4 - 2x2 + 6x – 1)
20.- Calcula:
a) (15x – 10) : 5
c) (x4 + 5x2 – 6x) : x
e) (2x3 - 6x2 + 8x) : 2x
g) 12x2 : (6x · 2x)
i) (24x3 ) : [(4x2 ) : (2x)]
k) [x3 - (x3 - x2 )] : x2
b) (12x2 – 18x + 6) : 6
d) (2x4 + 5x3 ) : x2
f) (5x3 - 10x2 + 15x) : 5x
h) (12x2 : 6x) · 2x
j) [(24x3 ) : (4x2 )] : (2x)
l) (18x2 ) : [6 – 3(3x + 2)]
Al igual que en las sumas o restas de números, también podemos sacar factor
común ya que los polinomios no son más que sumas de monomios. Sacar factor común
de una suma es extraer de cada uno de los sumandos el factor (cantidad que está
multiplicada) que es común (que está “repe”), dejando dentro de un paréntesis todo
aquello que no es común. Veamos un ejemplo:
Sacar factor común de:
12x3 + 6xy – 2xy2. = 2x · (6x2 + 3y – y2) (Fíjate que hemos escrito fuera del paréntesis, que es
el factor común, un 2 y una x porque todos los coeficientes son múltiplos de 2 y porque en todos los
monomios hay una x. Dentro del paréntesis hemos escrito lo que queda de cada monomio al dividirlos por
ese factor común, o sea, 2x)
21.- Extrae factor común en cada una de las siguientes expresiones:
a) 5a + 5b
b) 5a + 10
c) 4a2 +12a
2
2
d) 2ab + a b
e) 2x + 4x
f) 4x2 + 2x3
g) 3xy + 6xz + 3x
h) xy + x2 y + xy2
i) 5a + 5b – 5c
2
j) 3a -4ab + 2ac
k) x + 2x
l) 2x – 4y
m)3x + 6y + 9
n) 6x - 3x2 + 9x3
o) 3x - 6x2 +9x3
2
4
8
2
2
p) x - 10x + 2x
q) 6a b + 4ab
r) x2 y - y2 x
s) 15x2 + 5x2 + 10x2
t) 10x3 y2 - 2x2 y + 4y4 x
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22.- Simplifica las siguientes fracciones extrayendo factor común donde se pueda:
5a5b
6x3
xx 2
a)
b)
c)
5a10
4x 2 12x3
x 2 x 3
4−6x
2x 24xy
5x2 10x
d)
e)
f)
6x2 −9x 3
x2
4x 2 2xy
3
2
3
2
x x
3x −x
a ab−a
g)
h) 3
i)
3
2
2
2x −3x
x 2x
b2 ab−b
j)
x 3 −x
5x2 −5
k)
x 2 x
2x3 2x 2
l)
x 2 y−x 3 y 2
x2 y2
Algunas operaciones con polinomios son muy usuales y por eso hay que saberse
de memoria cómo se desarrollan. Estas expresiones reciben el nombre de expresiones
notables. Son éstas:
- Cuadrado de la suma: El cuadrado de la suma de dos monomios es igual al
cuadrado del primero, más el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del
segundo.
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
- Cuadrado de la diferencia: El cuadrado de la diferencia de dos monomios
es igual al cuadrado del primero, menos el doble del primero por el segundo, más el
cuadrado del segundo.
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
- Suma por diferencia: La suma de dos monomios por su diferencia es igual a
la diferencia de sus cuadrados.
(a + b) (a – b) = a2 - b2
23.- Calcula:
a) (x+1)2
d) (x–3)2
g) (2a–1)2
j) (x+6)2
m) (ba–3)2
p) (2x–3)2
s) (2x+1)·(2x–1)
b) (x–1)2
e) (2x+3)2
h) (a+2b)2
k) (8+a)2
n) (x+4)·(x–4)
q) (3a–5b)2
2
t) (
–x)2
3
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c) (x+y)2
f) (3x–5)2
i) (–b+2a)2
l) (3–x)2
o) (y–a)·(y+a)
r) (3x–5)2
u) (x2+y)2
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24.- Transforma cada expresión en un cuadrado:
a) x2 – 4x + 4
b) x2 + 8x + 16
2
d) 9 – 12x + 4x
e) x2 + 6x + 9
1
g) x2 + 2x + 1
h) x2 + x +
4
c) x2 + 12x + 36
f) x2 – 10x + 25
i) 4x2 – 4x + 1
25.- Utiliza los productos notables y la extracción de factores comunes para
descomponer en factores las siguientes expresiones:
a) x2 + 2xy + y2
b) 4a2b4 – 4ab2 + 1
c) 4x2 – 4x + 1
d) 3x2 – 3x
e) 6x2 – 9x3
f) 5x2 + 10x – 5
2
6
5
4
g) 4x – 25
h) 16x – 64x – 64x
i) 5x4 – 10x3 + 5x2
j) x4 – x2
k) 3x2 – 27
l) 3x3 – 18x2 + 27x
4
4
2
m) x – 1
n) x – 2x + 1
26.- Saca factor común en el numerador y en el denominador y después
simplifica:
4−6x
5x 2 10x
a)
b)
6x2 −9x3
x2
3
2
3
x x
3x −x 2
c)
d)
2x3 −3x2
x 3 2x 2
x 3−x
a2 aba
e)
f)
5x 2 −5
b2 abb
x 2 x
x 2 y−x 3 y 2
g)
h)
2x3 2x 2
x2 y2
27.- Descompón en factores los numeradores y los denominadores, teniendo en
cuenta los productos notables, y después simplifica:
x 22x1
x 2−4
a)
b)
x2 −1
x 2−4x4
x2 −y 2
2x2 −8
c)
d)
x2
x 2−2xyy 2
2x1
x 4−2x3
e)
f)
4x 24x1
4x 4−4x 2
g)
3x 4 −9x2
x 2 −3
h)
- Unidad 6. Página 11/11 -
3x 2 3x−3
x3 x 2 x