Ejemplo

Algebra Lineal
Tarea No 5: Introducción a matrices
Solución a algunos problemas de la tarea (al 29 de junio de 2014)
1. Indique cuales opciones contienen matrices con 3 renglones:
"
1.
−5
−3
5.

4

−1 
1

0
−2
−3
−1

 −1
−4
"
7.
−5
−6
−6

 6
4

3.
3
−5
3
4
2.

−2

−6 
−3

−4


 4 
−3

#
4.
h
−5
4
6.
h
−4
−3
"
1
−6
0
4
#
8.
Una matriz escalar es de la forma c I, es decir, es
una matriz como la identidad pero en lugar de unos
en la diagonal principal tiene una misma constante.
Ejemplo
c
 0

 0
0

i
−3

0 0 0
c 0 0 

0 c 0 
0 0 c
i
#
Solución
Basta recordar que las alineaciones horizontales son los
renglones y las verticales las columnas: las opciones 2, 3 y
5 contienen matrices con 3 renglones 2. Liste en orden los elementos (3, 2), (1, 2), y (2, 1) de la
matriz:


1 −3
3
 −1
0 −4 
1 −2 −4
Una matriz diagonal es una matriz similar a una
escalar pero los elementos de la diagonal pueden ser
diferentes. Ejemplo
c1
 0

 0
0

0
c2
0
0
0
0
c2
0

0
0 

0 
c1
Note que una matriz escalar es también una matriz
diagonal.
Solución
Basta recordar que el elemento (i, j) de una matriz es el
que está en el renglón i y en la columna j 3. Indique cuáles opciones contienen matrices del tipo escalar:
"
#
"
#
1.
"
3.
"
5.
"
7.
Solución
Basta recordar que
3
0
0
−6
0
5
5
0
#
6
0
3
0
#
2
1
0
3
#
6
4
0
0
"
5
0
0
5
#
"
0
2
6
1
#
"
1
5
4
0
#
2.
4.
6.
8.
Una matriz triangular superior es una matriz
cuadrada cuyos elementos debajo de la diagonal principal son cero. Ejemplo
8
 0

 0
0

−1
3
0
0
0
1
−3
0

0
0 

0 
0
Note que no se requiere que los elementos de la diagonal sean diferentes de cero. Inclusive, no se requiere
que los que están arriba de la diagonal principal sean
diferentes de cero. Asi una matriz diagonal es también una matriz triangular superior Ma1019, Tarea No 5: Introducción a matrices
2
4. Indique cuáles opciones contienen operaciones indefinidas:
"
1.
2.
h
−3
−1
−2
3
#
−2
3
i
+
"
3.
−8
"
4.
4
"
5.
0
0
0
−3
−2
1

6.
1

 −3
0
2
3
"
#
−3
−2
+
"
−2
−3
0
3
−2
3
#
−2
−3
#
#
"
2
−1
"
1
−2
3
0
#
−7
+
0
1
 
−1
−1
 
−3  −  −3
−3
−3
#
2
1
#

−3

0 
−3
Solución
6. Indique cuáles opciones contienen operaciones indefinidas:
Basta recordar que para que la suma de matrices se pueda
realizar, las dimensiones deben ser iguales 
1.

"
−3
 −3
−1 
0
1
2

 −3
−2
3
−1
#
0
0
5. Si
A =
B
=
C
=
5
5
−1
−2
5
4
3
4
2
−3
"
2.
6.
−2
3
#"
−2
0
0
0
"
2
−1
−1
−2
"
2
2
5.
6 X + B = −6 A + C
h
1
−3
4.
Resuelva para X la ecuación:
#
"
3.
4
3
0
−3
h
0
0
−1
−3
"
0
−2
#"
1
2
2
−1
i
i
−1
−3
−2
−1
3
0
3
−2
−2
2
#"
0
1
3
−1
#
#
−1
1
#
#
Como comprobación dé el elemento x1,1 .
Solución
Recuerde que la aritmética de matrices con operaciones de
Solución
Recuerde que el producto de matrices se puede realizar si
el número de columnas de la matriz a la izquierda es igual
al número de renglones de la matriz a la derecha:
suma de matrices,
resta de matrices,
multiplicación de un escalar por una matriz
An×m · Bm×q
1. 3 × 2 por 2 × 3, se puede y dará una 3 × 3
2. 2 × 1 por 1 × 2, se puede y dará una 2 × 2
se rige por las leyes básicas del álgebra que usted conoce.
3. 2 × 2 por 2 × 4, se puede y dará una 2 × 4
Ma1019, Tarea No 5: Introducción a matrices
3
4. 2 × 3 por 2 × 2, no se puede
Para sumar los elementos de un vector o matriz se
debe primeramente convertir a una lista por medio
de la función matIlist y después aplicar la función
sum
4. 2 × 4 por 2 × 2, no se puede
5. 1 × 2 por 2 × 1, se puede y dará una 1 × 1 7. Determine el elemento (2, 1) de:
"
−2
3
"
3
1
1.
2.
0
2
#"
0
1
−3
−2
#"
1
−1
3

 1
−1
#
−1
0
3
0

"
1
 −3
−2 
2
1

3.
−3
−3
1
0
#
−3
−1
#
Solución
Recuerde que el elemento (i, j) de la matriz resultante de
An×m · Bm×q
se obtiene multiplicando los elementos correspondientes
del renglón i de la matriz de la izquierda por los de la columna j de la matriz a la derecha y sumando resultados.
Para calcular el elemento (2, 1) de
−2 0
0
C=
3 2
1
−3
−3
9. Si
A
=
B
=
C
=
requerimos el renglón 2 de la matriz a la izquierda < 3, 2 >
y la columna 1 de la matriz a la derecha < 0, 1 >:
3
−1
3
2
−3
1
4
−2
1
−3
3
1
c2,1 = (3) · (0) + (2) · (1) = 0 + 2 = 2 8. Si

A =
5
 2
2

B
=
0
 −2
4
4
2
5

4
3 
−2
Resuelva para X la ecuación:

3 1
0 0 
−2 5
4 X + B = C −4 A + CT
Como comprobación determine el renglón 1.
Calcule la suma de los elementos del renglón 1 de
Solución
1 AB
2 BA
Solución
En la TI el orden de escritura del producto corresponde al
orden matemático, ası́ que podemos hacer la operación en
ella. Para tomar ventaja completa:
Si c es una variable que contiene una matriz, c[i] entrega el renglón de la posición i.
Hacer este problema en la calculadora es simple; basta colocar los elementos en orden de escritura adecuado, usar
paréntesis para agrupar como se hace en fórmulas matemáticas y saber que la transpuesta de una matriz es
una función que viene en la TI y que se puede obtener
del catálogo. Los cálculos que se ilustran hacen uso de la
variable ans de la calculadora que contiene el cálculo más
reciente: por ejemplo en la lı́nea de comando 5 se escribió b − ans.
Ma1019, Tarea No 5: Introducción a matrices
4
Productos
1A 1B
Insumos
a
b
c
3
4
5
2
2
4
y su matriz de requerimiento queda:

2
2 
4

3
E1 =  4
5
similarmente las matrices de la segunda (E2 ) y tercera
etapa (E3 ) quedan:
Solución
Recuerde que una de las aplicaciones de las matrices es
precisamente a sistemas de manufactura: las matrices de
insumo-producto o matrices de requierimiento son muy
utilizadas. En ellas por cada insumo hay un renglón y por
cada producto va una columna. Lo que va en cada columna
corresponde al desgloce de las cantidades requeridas para
generar uno o una unidad del producto dado. Los datos
de la etapa 1 son:
3
4
4
2
4
4
2
3
E2 =
10. Suponga una maquiladora con tres tipos de piezas como
materia prima: tipo a, tipo b, y tipo c. En una primera
etapa de ensamble se producen dos tipos de armados. El
tipo A que requiere 3 piezas del tipo a, 4 piezas del tipo
b, y 5 piezas del tipo c. El tipo B que requiere 2 piezas
del tipo a, 2 piezas del tipo b, y 4 piezas del tipo c. En
una segunda etapa de ensamble se producen nuevos tipos
de armados. El tipo C que requiere 3 armados del tipo A
y 4 armados del tipo B. El tipo D que requiere 4 armados
del tipo A y 2 armados del tipo B. En una tercera etapa
de ensamble se producen otros nuevos tipos de armados.
El tipo E que requiere 4 armados del tipo C y 4 armados
del tipo D. El tipo F que requiere 2 armados del tipo C
y 3 armados del tipo D. Determine la matriz que permite
calcular el número de piezas tipo a, b, y c que requieren
x armados tipo E y y armados tipo F. Enmarque en su
hoja de procedimientos esta matriz. Como comprobación,
reporte el total de piezas tipo a, b y c que se requieren
para ensamblar 4 armados tipo E y 6 armados tipo F.
E3 =
La ventaja de las matrices de requerimiento es que si se
desea obtener la matriz de requerimiento del conjunto de
varias etapas encadenadas basta hacer un producto de las
matrices en el orden correspondiente. Ası́ la matriz de requerimiento de los productos E y F en los insumos iniciales
a,b y c es:

132
E = E1 · E2 · E3 =  160
236

82
100 
146
Una aplicación directa de estas matrices es para obtener
los totales de insumos para obtener una cierta cantidad de
productos dados, para ello basta hacer el producto. Por
ejemplo, para productir 4 armados tipo E y 6 armados
tipo F se requieren 1020 a’s, 1240 b’s y 1820 c’s:
E·
4
6

1020
=  1240 
1820

Observe que en los cálculos de la TI, es más conveniente
capturar las matrices de requerimiento por columna (es
decir, por producto) y después transponer.
Ma1019, Tarea No 5: Introducción a matrices
5
Para determinarlas obtendremos ecuaciones usando los
primero datos: por el uso que se le da a la matriz de requerimiento:
E2 ·
3
2
=
3x + 2y
2w + 3z
22
24
=
y
E2 ·
1
6
=
x + 6y
6w + z
=
34
24
al igualar componentes de los vectores y resolver obtenemos:
E2 =
x y
z w
=
4
6
5
3
11. Suponga una maquiladora con dos tipos de piezas como
materia prima: tipo A y tipo B. En una primera etapa de
ensamble usando As y Bs se producen los tipos de armados M y N. En una segunda etapa de ensamble usando los
tipos M y N se producen los tipos de armados X y Y. Se
sabe que para armar 3 Xs y 2 Ys se requirieron en total 22
Ms y 24 Ns y que para armar 1 Xs y 6 Ys se requirieron
en total 34 Ms y 24 Ns. Además, se sabe que para obtener
un M se requieren 2 As y 2 Bs y para un N se requieren
1 As y 3 Bs. Indique, en orden, cuántas piezas A y B se
requieren para armar un X y cuántas para armar un Y.
Solución
Observe que en la segunda parte del enunciado nos dan la
matriz de requerimiento para la primera etapa:
2 1
E1 =
2 3
pero no nos dan en forma directa la matriz de requerimiento de la segunda etapa (requerde que la matriz de requerimiento requiere el desglose por producto individual)
Lo que haremos es plantear la matriz de requerimiento E2
como una matriz de incógnitas:
x y
E2 =
z w
Por lo tanto la matriz de las dos etapas encadenadas es:
E = E1 · E2 =
14
26
13
19
Ma1019, Tarea No 5: Introducción a matrices
6
13. Considere una matriz 3 × n descrita en renglones


e
A= c 
d
para los diferentes vectores renglón x con tres componentes:
a) [1, 1, 1]
b) [1, 0, 0]
12. Considere una matriz n × 3 descrita en columnas
A = [c, d, a]
para los diferentes vectores columna x con tres componentes:
c) [2, 4, 5]
d) [0, 1, 0]
e) [3, 0, 4]
indique la opción que contiene el resultado del producto
x A dentro de las lista de opciones siguiente:
1) c
a) < 1, 0, 1 >
2) e
b) < 0, 0, 1 >
3) 4 d + 3 e
c) < 0, 1, 1 >
4) c + d + e
d) < 0, 1, 0 >
5) c + e
e) < 0, 2, 3 >
6) c + d
indique la opción que contiene el resultado del producto
A x dentro de las lista de opciones siguiente:
1) a + d
2) d
3) a
4) a + c + d
5) 3 a + 2 d
6) a + c
7) 4 a + 4 c + 5 d
Solución
Lo que debe tener en mente es que una posible interpretación del producto de una matriz por un vector columna es
una combinación lineal de las columnas de la matriz donde
los coeficientes de la combinación lineal son las componentes del vector:


c1
 c2 


A u = [a1 a2 · · · an ]  .  = c1 a1 + c2 a2 + · · · + cn an
 .. 
cn
7) 4 c + 5 d + 2 e
Solución
Lo que debe tener en mente es que una posible interpretación del producto de un vector renglón (a la izquierda) por
una matriz es una combinación lineal de los renglones de
la matriz donde los coeficientes de la combinación lineal
son las componentes del vector renglón:


r1
 r2 


uA = [c1 c2 · · · cn ]  .  = c1 r1 + c2 r2 + · · · + cn rn
 .. 
rn
ası́


e
[2 4 5]  c  = 2 e + 4 c + 5 d d
14. Considere una matriz n × 3 descrita en columnas
A = [c, b, d]
para las diferentes matrices X:


0 0
a)  1 0 
0
1
1
b)  0
0
0
0
1
ası́


1
[c d a]  0  = 1 c + 0 d + 1 a = a + c 1

1
0
0

1
0 
0
Ma1019, Tarea No 5: Introducción a matrices

0 0 1
c)  0 1 0 
1 0 0


0 1 0
d)  1 0 1 
0 0 0


0 0
e)  0 1 
1 0

7
los resultados obtenidos serán las columnas de
la matriz resultante del producto
A · B = A·[b1 b2 · · · bk ] = [A · b1 A · b2 · · · A · bk ]
Por ejemplo, para calcular

1
A · B = [c b d] ·  0
0
indique la opción que contiene el resultado del producto
A X dentro de las lista de opciones siguiente:
0
0
1
1
0
0

1
0 
0
Tenemos las columnas que forman B son los vectores
2) [d, b]

 
 
 
0
1
1
1
b1 =  0  , b2 =  0  , b3 =  0  , b4 =  0 
1
0
0
0
3) [c, d, c, c]
y los resultados de multiplicar A por cada uno de ellos es:
1) [b, c, b]
4) [b, c, d]



1
A · b1 = [c b d] ·  0  = 1 · c + 0 · b + 0 · d = c
0
5) [b, c, d, c]
6) [d, c, c]
7) [d, b, c]

8) [b, d]
Solución
Lo que usted debe tener en mente es que una manera de
realizar el producto de dos matrices A B consiste en
Suponer que la matriz a la derecha del producto
está formada por columnas
B = [b1 b2 · · · bk ]
Con esto, para hacer la multiplicación, la matriz
a la izquierda A multiplicará cada columna bi ;

0
A · b2 = [c b d] ·  0  = 0 · c + 0 · b + 1 · d = d
1
 
1
A · b3 = [c b d] ·  0  = 1 · c + 0 · b + 0 · d = c
0
 
1
A · b4 = [c b d] ·  0  = 1 · c + 0 · b + 0 · d = c
0
Por tanto,
A · B = [c d c c]