Problema PTC0004-30 Una señal triangular de 1 Khz y 1 voltio de

Problema PTC0004-30
Una señal triangular de 1 Khz y 1 voltio de amplitud modula en amplitud una portadora
senoidal de 10 Khz y 5 voltios de amplitud. El índice de modulación es 1. Determinar:
a) El espectro de la señal original.
b) El espectro de la señal modulada.
c) Repetir el apartado anterior para distintas amplitudes de la señal modulante.
Solución PTC0004-30
Apartado a)
Sabemos que la señal modulante puede representarse genéricamente mediante una
función periódica f(t), que admite un desarrollo en serie de Fourier de acuerdo con la
expresión
f (t ) =
1 ∞
∑ c fne jωnt
T n =−∞
en la que los coeficientes se calculan de acuerdo con:
c fn = ∫
T /2
−T / 2
f (t )e − jωn t dt
Según se puede calcular (ver problema PTC0004-09)
 π
c fn = ATSa 2  n  − ATSa ( nπ )
 2
siendo A la amplitud de la señal triangular. Cada armónico vale
M fn =
c fn
T
+
c− fn
T
∀n > 0
y sustituyendo
 π
M fn = 2 ASa 2  n 
 2
∀n > 0
El espectro de amplitud se refleja en la figura siguiente
1
0.8
0.6
0.4
0.2
-10
-5
5
10
Para obtener los valores de los armónicos en dB sobre voltios RMS los valores
esperados serán
M
M fndBVRMS = 20 log fn ∀n > 0
2
Los resultados son los siguientes
Frecuencia
Armónico
(en Khz.)
(en dBV)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-∞
-4.83
-∞
-23.92
-∞
-32.79
-∞
-38.64
-∞
-43.00
-∞
Apartado b)
Llamando g(t) a la señal modulada sabemos que
g (t ) = Ap [1 + m ⋅ f (t ) ] cos (ω p t )
siendo m el índice de modulación. Su representación gráfica es la siguiente
7.5
5
2.5
0.5
-2.5
-5
-7.5
1
1.5
2
2.5
3
Para calcular su espectro escribimos
g (t ) = Ap cos (ω p t ) + Ap m f (t ) cos (ω p t )
G (ω ) = F [ g (t ) ] = F  Ap cos (ω p t ) + Ap m f (t ) cos (ω p t ) 
G (ω ) = F  Ap cos (ω p t )  + F  Ap m f (t ) cos (ω p t ) 
El primer sumando corresponde a la portadora senoidal y su espectro será
P(ω ) = F  Ap cos (ω p t ) 
de donde
G (ω ) = P(ω ) + F  Ap m f (t ) cos (ω p t ) 
Por otra parte, el segundo sumando vale
G2 (ω ) = F  Ap m f (t ) cos (ω p t )  =
G2 (ω ) =
∞
∫ A m f (t )
e
∞
∫ A m f (t ) cos (ω t ) e
p
Ap m
jω p t
p
2
∞
∫
f (t )e
(
)
− j ω −ω p t
+e
2
dt +
−∞
G2 (ω ) =
Ap m
G2 (ω ) =
2
dt
−∞
−∞
G2 (ω ) =
− jωt
p
F (ω − ω p ) +
− jω p t
∞
Ap m
2
Ap m
2
e − jωt dt
∫
f (t )e
(
)
− j ω +ω p t
dt
−∞
F (ω + ω p )
Ap m
 F (ω − ω p ) + F (ω + ω p ) 
2 
Por lo tanto, finalmente, el espectro de una señal modulada en amplitud vale
Am
G (ω ) = P(ω ) + p  F (ω − ω p ) + F (ω + ω p ) 
2
Análogamente
cgn = c pn +
Ap m
2
c fn ,ω p +
Ap m
2
c fn ,−ω p
donde cfn,ωp corresponde a los coeficientes del desarrollo en serie de la señal original,
desplazados en frecuencia en la magnitud fp; mientras que cfn,-ωp corresponde a los
coeficientes del desarrollo en serie de la señal original, desplazados en frecuencia en la
magnitud -fp.
En las figuras siguientes se reflejan respectivamente cada uno de los dos sumandos del
espectro de amplitud de la señal modulada, cfn,-ωp y cfn,ωp.
-20
2.5
2.5
2
2
1.5
1.5
1
1
0.5
0.5
-10
10
20
-20
-10
10
20
El espectro de amplitud completo de la señal modulada, cgn, se refleja en la figura
siguiente
2.5
2
1.5
1
0.5
-20
-10
10
20
Análogamente, para los armónicos podemos escribir
Am
Am
M gn = M pn + p M fn ,ω p + p M fn ,−ω p
2
2
expresión en la que Mfn,ωp representa a los armónicos (bilaterales) correspondientes al
espectro de la modulante centrado en ωp.
Los valores numéricos de los armónicos son los siguientes
Frecuencia
Armónico
(en Khz.)
(en dBV)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
-∞
-30.59
-∞
-28.47
-∞
-23.92
-∞
-15.69
-∞
3.15
10.97
3.14
-∞
-15.81
-∞
-24.49
-∞
-30.11
-∞
-34.25
-∞
Apartado c)
En la figura se representan las señales moduladas y sus espectros cuando la amplitud de
la modulante es, respectivamente, de 0.5V y de 0.1V.
2.5
6
2
4
2
1.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
1
-2
0.5
-4
-6
-20
-10
10
20
2.5
4
2
2
1.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
1
-2
0.5
-4
-20
-10
Los valores numéricos de los armónicos son
Frecuencia
Armónico (en dBV)
(en Khz.)
A=1V
A=0.5V
0
-∞
-∞
1
-30.59
-36.61
2
-∞
-∞
3
-28.47
-34.49
4
-∞
-∞
5
-23.92
-29.94
6
-∞
-∞
7
-15.69
-21.71
8
-∞
-∞
9
3.15
-2.87
10
10.97
10.97
11
3.14
-2.88
12
-∞
-∞
13
-15.81
-21.83
14
-∞
-∞
15
-24.49
-30.51
16
-∞
-∞
17
-30.11
-36.14
18
-∞
-∞
19
-34.25
-40.27
20
-∞
-∞
10
A=0.1V
-∞
-50.59
-∞
-48.47
-∞
-43.92
-∞
-35.69
-∞
-16.85
10.97
-16.86
-∞
-35.81
-∞
-44.49
-∞
-50.11
-∞
-54.25
-∞
20