Ampliacionunidad3 107KB Apr 05 2015 04:44:33 AM

ACTIVIDADES DE AMPLIACIÓN
3
La divisibilidad en números naturales
1.
Cinco aviones de una misma compañı́a aérea hacen escala en el mismo aeropuerto. Uno de ellos lo hace cada
8 dı́as, otro cada 10 dı́as, el tercero cada 20 dı́as, el cuarto hace escala cada 15 dı́as y un último avión llega
cada 5 dı́as. Si coinciden un dı́a los cinco aviones en dicho aeropuerto, ¿al cabo de cuántos dı́as volverán a
coincidir?
2.
Se tienen cuatro piezas de tela de 90 cm, 135 cm, 120 cm y 270 cm. Estas piezas se quieren dividir en trozos
de igual longitud.
a) ¿Cuál es la mayor longitud que puede tener cada trozo?
b) ¿Cuántos trozos se obtendrán de cada pieza?
3.
䊐
䊐
Averigua la cifra ? que falta, para que el número 1 48 ? sea:
a) Divisible por 5, pero no por 3.
b) Divisible por 3, pero no por 5.
c) Divisible por 3, por 5 y por 11.
4.
El número de personas que asisten a una competición de atletismo es tal que si se agrupan de 2 en 2 sobra 1;
si lo hacen de 3 en 3 sobran 2; si lo hacen de 5 en 5 sobran 4, y si lo hacen de 7 en 7 no sobra ninguno. Si
son más de 105 y menos de 125, ¿cuál es el número de asistentes?
5.
Busca el número más pequeño que, multiplicado por 2 520, es un cuadrado perfecto. ¿Sabrı́as calcular su raı́z
cuadrada sin efectuarla? Di cómo lo haces.
6.
Observa los números capicúas: 4 774, 5 555 y 6 006. ¿Son divisibles por 11? Explica por qué todo número
capicúa de cuatro cifras es siempre divisible por 11.
7.
Si la descomposición de un número en factores primos es 23 ⫻ 32 ⫻ 5, ¿cuál serı́a la descomposición de un
número 20 veces mayor?
8.
¿Cuál es el mayor número por el que se tiene que dividir a los números 1 401 y 762 para que los restos de
las divisiones sean 15 y 6, respectivamente?
9.
El número 247 742 es un número capicúa de seis cifras. ¿Es divisible por 11? ¿Todos los números capicúas
de seis cifras son divisibles por 11? Explica las respuestas.
10.
Las dimensiones de una caja son: 1,65 m, 2,1 m y 3 m. Se quieren construir cajas cúbicas del mayor tamaño
posible, cuyo lado sea un número exacto de centı́metros y con las cuales se pueda llenar completamente la
caja. Halla la arista de estas cajas cúbicas.
2,1 m
3m
Gauss 1.o ESO
5m
1,6
Actividades de ampliación
SOLUCIONES
1.
2.
3.
El número de dı́as que se precisan para que los cinco
aviones vuelvan a hacer escala en ese aeropuerto ha
de ser múltiplo del número de dı́as que tardan en
volver a hacer escala cada uno; por tanto, dicho número de dı́as es el m.c.m.(5, 8, 10, 15, 20).
Descomponiendo en factores:
8⫽2
10 ⫽ 2 ⫻ 5
15 ⫽ 3 ⫻ 5
20 ⫽ 22 ⫻ 5
m.c.m.(5, 8, 10, 15, 20) ⫽ 22 ⫻ 3 ⫻ 5 ⫽ 60
Coincidirán a los 60 dı́as.
a) Como los cuatro trozos de tela han de dividirse
en trozos iguales, la longitud de cada trozo
ha de ser un divisor común de las tres longitudes dadas y como dicha longitud ha de ser la
mayor posible, entonces su valor ha de ser el
m.c.d.(90, 135, 120, 270). Descomponiendo en
factores:
90 ⫽ 2 ⫻ 32 ⫻ 5
135 ⫽ 33 ⫻ 5
3
270 ⫽ 2 ⫻ 33 ⫻ 5
120 ⫽ 2 ⫻ 3 ⫻ 5
m.c.d.(90, 135, 120, 270) ⫽ 3 ⫻ 5 ⫽ 15 cm
b) De la pieza de 90 centı́metros se obtienen
90 : 15 ⫽ 6 trozos, de la tela de 135 cm se
obtienen 135 : 15 ⫽ 9 trozos. Análogamente, de
la pieza que mide 120 cm se obtienen 8 trozos
y de la de 270 cm se obtienen 18 trozos.
5.
Su raı́z cuadrada es 420.
6.
䊐
䊐
䊐
7.
8.
Actividades de ampliación
En toda división entera se cumple que D ⫽ d · c ⫹ r
y, por tanto, D ⫺ r ⫽ d · c, luego el divisor (d)
divide al dividendo menos el resto (D ⫺ r).
Ası́ que el número buscado es:
m.c.d.(1 401 ⫺ 15, 762 ⫺ 6) ⫽
⫽ m.c.d.(1 386, 756) ⫽
⫽ m.c.d.(2 ⫻ 32 ⫻ 7 ⫻ 11, 22 ⫻ 33 ⫻ 7) ⫽
⫽ 2 ⫻ 32 ⫻ 7 ⫽ 126
9.
El número 247 742 es divisible por 11 dado que
(2 ⫹ 7 ⫹ 4) ⫺ (4 ⫹ 7 ⫹ 2) ⫽ 0.
Si u, d y c representan cifras, el número udccdu
también es divisible por 11, dado que verifica
también:
䊐
9 ⫺ (4 ⫹ 䊐
? )⫽0
Al dividir el número de asistentes por 2 sobra 1, luego
el número de asistentes será múltiplo de 2 más 1.
Asimismo, el número de asistentes será múltiplo de
3 más 2, y múltiplo de 5 más 4. Teniendo en cuenta
que:
Múltiplos de 2 más 1 ⫽ {..., 115, 117, 119, 121, ...}
Múltiplos de 3 más 2 ⫽ {..., 113, 116, 119, 122, ...}
Múltiplos de 5 más 4 ⫽ {..., 109, 114, 119, 124, ...}
El número de asistentes es 119, que cumple todas
las condiciones, ya que además es divisible por 7.
El número 23 ⫻ 32 ⫻ 5 ⫻ 20 es 20 veces mayor
que el número dado, y como la descomposición en
factores de 20 es: 20 ⫽ 22 ⫻ 5, la descomposición
en factores del número buscado es:
23 ⫻ 32 ⫻ 5 ⫻ 22 ⫻ 5 ⫽ 25 ⫻ 32 ⫻ 52
(u ⫹ d ⫹ c) ⫺ (c ⫹ d ⫹ u) ⫽ 0
Luego ? ⫽ 5. El número es el 1 485, ya que
además es divisible por 5 y por 3.
4.
Los tres números dados: 4 774, 5 555 y 6 006 verifican el criterio de divisibilidad por 11, luego los
tres son divisibles por 11.
Cualquier número capicúa de cuatro cifras es de la
forma uddu tal que la diferencia entre la suma de
las cifras de unidades y centenas y la suma de las
cifras de decenas y millares es cero; por tanto, todos
los capicúas de cuatro cifras son múltiplos de 11.
䊐
䊐
a) Para que sea divisible entre 5, ? debe valer
0 ó 5. Para que no sea divisible por 3, como
1 ⫹ 4 ⫹ 8 ⫽ 13, la suma 13 ⫹ ? no debe
ser múltiplo de 3, luego no puede valer 5. El
número es el 1 480.
b) De lo anterior, no puede valer 0 ni 5, y del resto
de cifras posibles, solo se cumple para ? ⫽ 2
o ? ⫽ 8. El número podrı́a ser el 1 482 ó el
1 488.
c) Para que sea divisible por 11, se tiene que verificar que (8 ⫹ 1) ⫺ (4 ⫹ ? ) ⫽ 0, es decir:
Descomponemos el número 2 520 en factores, se tiene: 2 520 ⫽ 23 ⫻ 32 ⫻ 5 ⫻ 7 completando los factores a potencias de exponente par, el número buscado es 24 ⫻ 32 ⫻ 52 ⫻ 72 ⫽ (22 ⫻ 3 ⫻ 5 ⫻ 7)2
de valor 4202 ⫽ 176 400.
por tanto, todos los números capicúas de 6 cifras
son divisibles por 11.
10.
Las dimensiones de la caja en centı́metros son,
respectivamente:
165, 210 y 300
La medida en centı́metros del lado de las cajas cúbicas tiene que ser el mayor divisor común a los
tres números anteriores; por tanto, dicha medida es:
m.c.d.(165, 210, 300) ⫽
⫽ m.c.d.(3 ⫻ 5 ⫻ 11,2 ⫻ 3 ⫻ 5 ⫻ 7, 22 ⫻ 3 ⫻ 52) ⫽
⫽ 3 ⫻ 5 ⫽ 15 centı́metros
Gauss 1.o ESO