TPpolinomios 2014

Álgebra y geometría analítica.
Prof.: Gisela Saslavsky
Trabajo Práctico: Polinomios
1) Operar con los siguientes polinomios: p(x) = x³ - 5x² + 3x - 2, q(x) = 2x⁴ – x + 3,
r(x) = - x² + x + 2 .
a) p(x) + 2 q(x) – r(x)
b) p(x) (q(x) + r(x))
c) p(x) – r(x) q(x)
d) r²(x)
2) Si x³ + x² + k x + k + 3 = (x + 2) (x² – x + 1), ¿cuánto vale k?
3) Sean p(x) y q(x) dos polinomios no nulos de grados n y m respectivamente.
a) Mostrar con ejemplos que el grado del producto p(x) q(x) es la suma de los grados.
b) Mostrar con ejemplos que si la suma p(x) + q(x) es no nula, su grado es menor o
igual que el máximo(n, m).
4) Hallar el cociente y el resto de las divisiones:
a) (x⁵ + 2x³ – 2x² + 4x – 1) : (x² - 1)
b) (3x⁶ + x⁵ – x³ – 3) : (x² -x + 2)
c) (x⁶ + x⁵ + x³ – x² – 3) : (x - 1)
5) a) Evaluar el polinomio p(x) = -x³ + 2x +1/2 en 2; -1; t+2
b) Al evaluar el polinomio x² – k x + 1 en -1 obtenemos -2. ¿Cuánto vale k?
6) a) ¿Cuál es el resto de la división (x³ – x + 2) : (x + 1)?
b) Al dividir (x⁴ + k x² + 1) : (x - 1) obtenemos resto -1. ¿Cuánto vale k?
7) a) Sin efectuar la división, averiguar si el polinomio 5x³ – 14 x + 3 es divisible por
x - 2 y justificar la respuesta.
b) Demostrar que x - 1 es factor de x⁵ – 1 y de x⁶ - 1. Hallar los cocientes.
c) Demostrar que x + 1 es factor de x⁵ + 1 , pero no es factor de x⁶ + 1. Efectuar las
divisiones.
8) a) ¿Para qué valores de k el número -1 es raíz del polinomio x³ + k x – (k + 1) x +1?
b) ¿Para qué valores de r y s el polinomio x⁴ +r x² + t x - 2 tiene a 1 y -2 como raíces?
9) Hallar todas las raíces de los siguientes polinomios y factorizarlos en R[x] y en C[x]:
a) x³ – x² - 2x
b) x³ + x² – 4x – 4 c) x⁴ – 4x³ + 2x² + 8x – 8 d) 2x³ 3x² – 8x – 3
e) 2.5x³ + x² + 0.6x + 0.1
f)x⁴ + x² + 2x
g) x⁵ + 2x⁴ – x³ – 5x² – 4x – 1
h)x³ + x² – x + 2
10) ¿Cuál es el polinomio de grado mínimo que tiene a 1, 2, -3 por raíces y evaluado en
-1 vale 3?
11) a) Verificar que 2 + i es una raíz de (1 + i)x² – 7x + 15
¿Es el conjugado de 2 + i otra raíz? ¿Contradice esto el teorema de raíces
conjugadas?
¿Cuál es la otra raíz?
b) Calcular las raíces de x² + 2i x – 1 y factorizarlo.
c) Calcular las soluciones de la ecuación z + z-1 = k para distintos valores de k.
12) Sabiendo que el polinomio x⁴ + 3x³ – 2x² – 15x - 15 tiene dos raíces reales de signos
opuestos ± a , hallar todas sus raíces. (Sugerencia: dividir el polinomio por x²- a² y
observar que el resto debe ser cero.)
13) Dados los polinomios:
Álgebra y geometría analítica.
T ( x ) =x³ −( 2 /5 ) x²+ ( 1/ 2 ) x+1
Prof.: Gisela Saslavsky
y S ( x ) =( 1/2 ) x⁴ −( 1/ 2 ) x³− x²+x
¿Cómo podrían aplicar el criterio de Gauss para encontrar las raíces racionales de
esos polinomios? Para cada polinomio anoten las raíces obtenidas con el criterio de
Gauss.
¿Podemos asegurar que T(x) tiene una raíz real? Enuncien el teorema que lo afirma.
¿Y en el caso de S(x)?
¿Sirve el criterio de Gauss para encontrar todas las raíces reales de un polinomio?
14) Expresen los siguientes polinomios reales como producto de polinomios irreducibles
en R[x] y en C[x]:
R ( x ) =x⁴−6x²−8x +24
y Q ( x ) =x⁶−x
¿Qué grado puede tener como máximo un polinomio irreducible en R[x]? ¿Y en C[x]?