EXAMEN : SEGUNDO EXAMEN FINAL (2001-2)

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE MÉXICO
FACULTAD DE INGENIERIA
EXAMEN : SEGUNDO EXAMEN PARCIAL (2013-2).
PROFESOR : ING. GUILLERMO CASAR MARCOS.
MATERIA : PROBABILIDAD (GRUPO 31).
NOMBRE DEL ALUMNO : ___________________________________
1. Un negocio de computadoras que atiende pedidos por correo tiene seis líneas telefónicas.
Denotemos por x el número de líneas en uso en un momento especificado. Supongamos que la
función de distribución de probabilidad de x esta dada en la tabla siguiente:
x
P(x)
0
1
2
3
0.10
0.15
0.20
0.25
Calcule la probabilidad de que:
a) A lo sumo 3 líneas están en uso
b) Entre 2 y 4, inclusive, no están en uso
4
0.20
5
0.06
6
0.04
Solución:
a) P ( x < 3 ) = P ( x = 0 ) + P ( x = 1 ) + P ( x = 2 ) + P ( x = 3 ) = 0.1(0) + 0.15(1) + 0.2(2) + 0.25(3)=
= 0 + 0.15 + 0.4 + 0.75 = 1.3
b) P (2 < x < 4) = P (x = 2) + P (x = 3) + P (x = 4) = 0.2(2) + 0.25(3) + 0.2(4) = 0.4 + 0.75 + 0.8 = 1.95
2. ¿Cuál es la ganancia promedio por automóvil del distribuidor, si la ganancia en cada uno está
dada por g(x) = x2, donde x es una variable aleatoria que tiene la siguiente función de
densidad?
2(1–x)
; para 0 < x < 1
f(x)=
0
; en cualquier otro caso
E
=
=2
=2
–2
=
=2
-2
=
= 1/6 = 0.1667 = 16.67%
3. Se debe elegir entre dos procesos para la fabricación de pernos cuya longitud sigue una
distribución continua, con funciones de densidad dadas por f y g para el proceso 1 y el
proceso 2 respectivamente:
3/x4 ; si x > 1
4/x5
; si x > 1
f(x) =
g(x) =
0
; si x < 1
0
; si x < 1
Si solo se aceptan pernos con longitudes entre 1.1 y 2 cm, ¿qué proceso produce mayor
porcentaje de pernos aceptables?
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P(1.1 < X1 < 2) =
dx = 0.62631 = 62.631% de pernos aceptables
P (1.1 < X2 < 2) =
dx = 0.62051 = 62.051% de pernos aceptables
Por tanto el proceso 1 produce un mayor porcentaje de pernos aceptables.
4. La probabilidad de que un paciente se recupere de una rara enfermedad sanguínea es 0.4, si
se sabe que 15 personas contraen tal enfermedad, ¿cuál es la probabilidad de que:
a) sobrevivan de 3 a 8 ?
b) sobrevivan exactamente 5 ?
Solución:
Distribución Binomial
p = 0.4 ; q = 0.6 ; N = 15
a) P ( 3 < x < 8 ) = 15C3 (0.4)3 (0.6)15-3 + … + 15C8 (0.4)8 (0.6)15-8 = 0.8779 = 87.79%
b) P ( x = 5 ) = 15C5 (0.4)5 (0.6)15-5 = 0.1859 = 18.59%
5. La probabilidad de recibir de manera errónea un bit enviado por un canal de transmisión
digital es 0.1, supóngase que las transmisiones son eventos independientes, y sea la variable
aleatoria x el número de bits transmitidos hasta que se presente el primer error.
Solución:
Distribución Geométrica
P = ( x = n ) = qn p
p = 0.1 ; q = 0.9 ; n = 5
P ( x = 5 ) = (0.9)5 (0.1) = 0.059049 = 5.91%
6. Cierto tipo de batería de almacenamiento dura, en promedio 3 años, con una desviación
estándar de 0.5 años. Suponiendo que las duraciones de la batería se distribuyen
normalmente, encuentre la probabilidad de que una batería dada dure:
a) menos de 2.3 años
b) entre 2.8 y 3.3 años
Solución
Distribución Normal Estándar
µ = 3 años ; σx = 0.5 años
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a) P ( x < 2.3 ) = P ( z < 1.4 ) = 0.08075 = 8.075%
z=
=
=
= - 1.4
b) P (2.8 < x < 3.3 ) = P ( -0.4 < z < 0.6 ) =
z1 =
=
=
z2 =
=
=
= - 0.4
= 0.6
= 0.38115 = 38.115%