Temario para exámenes finales

Temario para exámenes finales
Importante: Los exámenes tendrán una parte teórica y otra práctica;
para aprobar el examen es necesario aprobar cada una de estas partes.
Esta es una guı́a para estudiar para los exámenes finales de Algebra 1.
Describe los contenidos teórico-prácticos dictados en el curso que serán evaluados en los exámenes. La parte práctica constará de ejercicios y problemas
similares a los ejercicios y problemas de los prácticos.
1
Números reales
• La suma, el producto y el orden de los reales.
• Axiomas de los números reales. Unicidades del neutro, de la identidad,
de los opuestos y de los inversos.
• Propiedades aritméticas de la suma y el producto.
• Propiedades aritméticas del orden.
• Valor absoluto.
• Aritmética de fracciones.
2
Números naturales e inducción
• Axiomas de los números naturales.
• El Principio de Inducción. Enunciado y demostración.
• Inducción corrida. Enunciado y demostración.
• Inducción fuerte. Enunciado.
• Conjuntos inductivos.
• El Principio de buena ordenación. Enunciado y demostración.
• Definiciones recursivas. Sumatoria, productoria, la potenciación, el
factorial.
• Sucesiones definidas por recurrencia.
• Sumas sumables: enteros consecutivos, impares, cuadrados y cubos.
• Suma de potencias.
• Progresiones aritméticas y geométricas. Sumas de progresiones aritméticas y geométricas.
1
3
Aritmética entera
• Suma y producto de enteros. Propiedades. Inversibles en Z.
• Divisibilidad. Divisores y múltiplos. Propiedades.
• Los conjuntos de divisores y los conjuntos de múltiplos.
• Números primos.
• División entera. Enunciado y demostración.
• Máximo común divisor y mı́nimos común múltiplo.
• Números coprimos y divisibilidad.
• Máximo común divisor y combinaciones lineales enteras.
• El Algoritmo de Euclides.
• El Teorema fundamental de la aritmética.
Enunciado y demostración.
Existencia y unicidad.
• Factorización de enteros, divisores, mcd y mcm.
• La función φ de Euler.
• Representación decimal de enteros.
• Representación binaria.
• Representaciones s-ádicas.
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Aritmética modular
• La congruencia de enteros. Congruencia, suma y producto.
• Clases de congruencia. Enteros modulares Zm ; suma y producto,
buena definición.
• Tablas de suma y producto de Zm . Cálculo de potencias.
• Propiedades aritméticas.
• Unidades y divisores de cero. Definición.
• Caracterización de unidades y divisores de cero. Enuncidado y demostración.
• Cálculo de inversos.
2
• Reglas de divisibilidad.
• Ecuaciones de congruencia. Propiedade y reducciones.
• Solución de ecuaciones lineales generales. Enunciado y demostración.
• Teorema de Euler-Fermat. Enunciado y demostración. Aplicación al
cálculo de inversos.
• Pequeño Teorema de Fermat y Teorema de Wilson. Enunciados y
demostraciones.
• Sistemas de ecuaciones lineales de congruencia.
• Teorema chino del resto. Enunciado y aplicaciones.
5
Números complejos
• Definición. Parte real y parte imaginaria. Suma y producto. Propiedades.
• Representación cartesiana.
• Conjugación y módulo. Inversos.
• eiθ . Fórmula de De Moivre. Enunciado y demostración.
• Representación polar.
• S 1 y el producto.
• Interpretación en el plano de la suma y el producto.
• Potencias e inversos.
• Las raı́ces de la unidad.
• Soluciones de ecuaciones de segundo grado.
6
Principios de combinatoria y conteo
• Principios de adición, multiplicación y complemento. Principios de
inyección y biyección.
• Ordenar. Formas de ordenar. Enunciado y demostración.
• Ordenar en cı́rculo o cı́clicamente. Formas de ordenar cı́clicamente.
Enunciado y demostración.
• Elegir. Definición del número combinatorio. Formas de elegir. Enunciado y demostración.
3
• Combinaciones, permutaciones y arreglos.
• Problemas de equipos y comités.
• Ordenar con repetición.
• Distribuir.
7
Números combinatorios
• Definición y cálculo de valores particulares.
• Simetrı́a. Enunciado. Demostración aritmética y demostración combinatoria.
• Identidad de Pacal. Enunciado, demostración aritmética y demostración
combinatoria.
• El cardinal de partes de un conjunto de n elementos. Enunciado y
demostración.
• El binomio de Newton. Enunciado y demostración. Aplicaciones.
• El triángulo de Pascal.
8
Funciones y combinatoria
• Teorema sobre la no existencia de funciones inyectivas. Enunciado y
demostración.
• Definición de cardinalidad y demostración de buena definición.
• Principio de adición y principio de multiplicación. Enunciados y demostraciones.
• El Principio del palomar. Enunciado y aplicaciones.
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