Integrales Trigonométricas

Integrales Trigonométricas (II)
Potencias Trigonométricas (I)
He decido que el tı́tulo de este documento sea Integrales Trigonométricas II, por que las integrales
que veremos en esta sección tendrán funciones trigonométricas, la única diferencia (comparadas a
las de Integrales Trigonométricas I ) es que las funciones estarán elevadas a potencias (posiblemente
no tan grandes) y muy posiblemente, tendrás productos de funciones trigonométricas dentro de la
integral. Para resolverlas, tengo algunos trucos que te pueden funcionar.
Antes de comenzar debes saber todas las fórmulas con las que trabajaré.
(1) cos2 (✓) + sen2 (✓) = 1
(2) 1 + tan2 (✓) = sec2 (✓)
(3) 1 + cot2 (✓) = csc2 (✓)
1
(1 + cos(2✓))
2
1
(5) sen2 (✓) = (1 cos(2✓))
2
(4) cos2 (✓) =
Ahora te explicaré que sucede cuando tienes potencias del seno, coseno, tangente, cotangente,
secante y cosecante dentro de una integral. Para permitirte digerir los métodos, escribiré una
sección para cada método y no sobrecargaré el documento.
I.) Potencias del Seno y del Coseno
Antes de resolver una integral que tenga senos y cosenos, debo fijarme en el exponente de estas
funciones. Por ejemplo, si tengo la integral
Z
cos3 (x)sen6 (x)dx
1
o la integral
Z
cos2 (x)sen4 (x)dx
Z
senn (x)cosm (x)dx
en general
1.1 Uno de los exponentes es impar
Si uno de los exponentes (ya sea del seno o del coseno) es impar, entonces le ”robaré” a la función
que tenga el exponente impar. Si tengo el coseno con exponente impar le robaré un coseno, si es el
seno entonces robaré un seno. Si no lo ves aún te lo escribiré en la ecuación
cosn (x) = cosn
1
senn (x) = senn
1
(x)[cos(x)]
(x)[sen(x)]
Asume que n es impar en este caso. Usa la identidad (1) para transformar la función a la que le
hayas quitado algo. Esto es, si le quitaste al coseno, entonces transforma lo que queda del coseno
(no lo que está separado) a seno. Usa el mismo procedimiento si le quitaste algo al seno.
Ejemplo 1: Encuentra la solución a
Z
cos3 (x)sen6 (x)dx
PASO 1: Veo que el coseno tiene un exponente impar, por eso apartaré un coseno y lo pondré al
lado del dx.
Z
cos2 (x)sen6 (x)[cos(x)dx]
PASO 2: Usaré la identidad (1) para transformar el coseno a seno. Siempre transforma la función
a la que le robaste.
2
Z
sen2 (x))sen6 (x)[cos(x)dx]
(1
PASO 3: Hago una sustitución simple u = sen(x) ! du = cos(x)dx. Mira que ya tengo mi
du = cos(x)dx dentro de la integral. Para eso separé en un corchete la expresión cos(x)dx !
Z
(1
u2 )u6 du
PASO 4: ¡El método funciona! Logré reducir la integral de manera que pude utilizar una sustitución simple, ahora solo queda resolverla.
Z
(u6
u8 )du =
u7
7
u9
+K
9
Entonces la solución a mi integral es
Z
cos3 (x)sen6 (x)dx =
Ejemplo 2: Encuentra la solución a la integral
sen7 (x)
7
Z
sen9 (x)
+K
9
sen5 (x)cos2 (x)dx
PASO 1: Miro que el seno es la función con exponente impar. Por eso le robaré un seno y lo
apartaré junto con el dx.
Z
sen4 (x)cos2 (x)[sen(x)dx]
En el siguiente paso verás que será conveniente escribir la integral ası́
Z
(sen2 (x))2 cos2 (x)[sen(x)dx]
PASO 2: Uso la identidad (1) para transformar el seno (no apartado) a coseno.
Z
(1
cos2 (x))2 cos2 (x)[sen(x)dx]
3
PASO 3: Hago la sustitución simple u = cos(x)dx ! du =
Z
(1
sen(x)dx
Z
u2 )2 u2 ( du) =
(1 2u2 + u4 )u2 du
Z
=
(u2 2u4 + u6 )du
PASO 4: Resolviendo
=
u3
2u5
+
3
5
u7
+C
7
La solución a mi integral
Z
sen5 (x)cos2 (x)dx =
Problema Práctico 1: Resuelve
Z
cos3 (x) 2cos5 (x)
+
3
5
cos7 (x)
+C
7
sen5 (y)cos5 (y)dy
Puedes robarle a cualquiera de los dos. Inténtalo de ambas maneras.
Problema Práctico 2: Evalúa
Z
cos5 (t)dt
Aplica la regla igual. Verás que funciona aunque no tengas un seno al lado.
R
cos5 (t)dt =
R
cos4 (t)[cos(t)dt]
1.2 Cuando ambos exponentes son pares
Para resolver potencias del seno y coseno cuando ambos exponente son pares, voy a usar las identidades (4) y (5). Transformaré el seno y el coseno a cosenos de doble ángulo usando las fórmulas.
No hay mas que decir aquı́.
Ejemplo 3: Evalúa
Z
sen2 (x)cos2 (x)dx
4
Uso las identidades (4) y (5)
Z h
1
Mira que 1
cos(2x) ih 1 + cos(2x) i
1
dx =
2
2
4
Z
(1
cos2 (2x))dx
cos2 (2x) = sen2 (2x) (no es necesario pero lo haré para acortar pasos)
=
1
4
Z
sen2 (2x)dx
Usando nuevamente la identidad (5)
1
=
4
Z h
1
cos(4x) i
dx
2
Integrando
=
Ejemplo 4: Evalúa
Z
x
8
sen(4x)
+C
32
cos2 (t)sen4 (t)dt
Se me será conveniente escribir la integral de la siguiente forma
Z
cos2 (t)(sen2 (t))2 dt
Uso las identidades (4) y (5)
Z h
1 + cos(2t) ih 1
=
2
cos(2t) i2
dt =
2
Z h
1 + cos(2t) ih 1
2
5
2cos(2t) + cos2 (2t) i
dt
4
Es un pequeño desastre pero no tengo opción, debo arreglarlo
=
=
1
8
1h
t
8
Z
(1
cos(2t)
Z
sen(2t)
2
cos2 (2t) + cos3 (2t))dt
cos2 (2t)dt +
Z
cos3 (2t)dt
i
Es hora de poner en práctica los métodos de la sección 1.1 y 1.2 para resolver las últimas dos
integrales.
Integral 1:
Z
cos2 (2t)dt
Uso la identidad (4) y resuelvo
Z
Integral 2:
Z
t
sen(4t)
1 + cos(4t)
dt = +
+ C1
2
2
8
cos3 (2t)dt
Robaré un coseno
Z
cos2 (2t)[cos(2t)dt]
Uso la identidad (1) para cambiar el coseno a seno
=
Z
(1
sen2 (2t))[cos(2t)dt]
Hago la sustitución u = sen(2t) ! du = 2cos(2t)dt y llego al resultado
=
sen(2t)
2
sen3 (2t)
+ C2
6
6
Con estas dos integrales resueltas, puedo escribir la respuesta de mi integral original (te dejaré eso
a tı́)
Z
cos2 (t)sen4 (t)dt =
t
6
sen(4t)
64
sen3 (2t)
+C
48
Más sobre potencias trigonométricas en el siguiente documento.
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