JC TP Funciones Exponenciales y Logarítmicas, 4°3°, 2013

1
TP "Funciones Exponenciales y Logarítmicas"
Función Exponencial
Llamaremos "función exponencial" a toda función de reales en reales, cuya fórmula sea de la forma:
f ( x ) = k.a x −b + c
Ej: f ( x ) = 1.3 x −0 + 0
con
k ∈ℜ ∧k ≠ 0 ∧b∈ℜ ∧ c ∈ℜ
Ej: g( x) = 1 .5 x +1 − 3
2
(función madre de base"3")
Ej: h( x) = −2.a x −1 + 2
Función logarítmica
Llamaremos "función logarítmica" a toda función de reales en reales, cuya fórmula sea de la forma:
f ( x ) = k. log a (x − b ) + c
con
k ∈ ℜ ∧ k ≠ 0 ∧ a ∈ ℜ+ ∧ a ≠ 1 ∧ b ∈ ℜ ∧ c ∈ ℜ
Ej: f ( x ) = 1. log(x − 0 ) + 0 (función madre de base"10")
Ej: g( x ) = 1 . log (x − 1)
3
2
Ej: h(x) = −2. ln(x + 3) + 2
Dominio Funcional o Campo de Existencia (Df)
Se trata del "máximo" conjunto numérico que admite la variable independiente (la "x") para su cálculo en la fórmula que la
define.
En el caso de todas las exponenciales su dominio es: Df =
En el caso de las funciones logarítmicas "madres" (k=1; b=0; c=0) su dominio es: Df =
1) Determinen el dominio de las siguientes funciones:
f ( x ) = 3.5 (x − 4 ) + 1
m( x ) =
(
3.
ln x − 2
5
)
g( x ) = 3. log 3 (x − 4 )
1
n( x ) =  
3
(x +5 )
− 2
h( x) = −5 (x +5 )
j( x ) = − log(x + 2 )
p( x ) = log 1 (− x )
q( x ) = 5 (− x ) − 2
2
Asíntotas (A H o A V)
Son rectas a las cuales una curva se acerca indefinidamente pero sin tocarla nunca. Cuando esto ocurre decimos que la
curva es "asintótica" respecto de la recta asíntota.
Las funciones exponenciales tienen asíntotas horizontales (A H); coinciden con el valor de "c", es la recta: y = c
Ej: f (x) = 1.3 x −0 + 0
tiene asíntota horizontal en y = 0
Ej: g( x) = 1 .5 x +1 − 3
tiene asíntota horizontal en y = -3
2
Ej: h(x ) = −2.a x −1 + 2
tiene asíntota horizontal en y = 2
Las logarítmicas tienen asíntotas verticales (A V); coinciden con el extremo numérico de su dominio.
Ej: f ( x ) = 1. log(x − 0 ) + 0
Ej: g( x ) = 1 . log (x − 1)
tiene asíntota vertical en x = 1
Ej: h(x) = −2. ln(x + 3) + 2
tiene asíntota vertical en x = -3
2
tiene asíntota vertical en x = 0
3
2) Determinen las asíntotas – según corresponda- de cada una de las siguientes funciones:
f ( x ) = 3.5 (x − 4 ) + 1
m( x ) =
(
3.
ln x − 2
5
)
g( x ) = 3. log 3 (x − 4 )
1
n( x ) =  
3
(x +5 )
TP "Funciones Exponenciales y Logarítmicas"; 4° año
− 2
h( x ) = −5 ( x +5 )
j( x ) = − log(x + 2 )
p( x ) = log 1 (− x )
q( x ) = 5 (− x ) − 2
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Prof: Marcelo Stigliano
2
Ordenada al Origen (OO)
Llamamos "ordenada al origen" de una función al punto por donde la curva corta al eje Y.
Las funciones exponenciales SIEMPRE tienen ordenada al origen. En cambio, las funciones logarítmicas pueden tener una
raíz o no.
En ambos casos usamos la misma idea: todo punto sobre el eje Y tiene coordenada en x = 0 Con lo cual, lo único que
hay que hacer en ambos casos es reemplazar a la "x" por cero y después despejar "y" para calcular la OO.
3) Determinen la ordenada al origen –si existe- de cada una de las siguientes funciones:
g( x ) = 3. log 3 (x − 4 )
f ( x ) = 3.5 ( x − 4 ) + 1
m( x ) =
(
3.
ln x − 2
5
1
n( x ) =  
3
)
(x +5 )
− 2
h( x ) = −5 ( x +5 )
j( x ) = − log(x + 2 )
p( x ) = log 1 (− x )
q( x ) = 5 (− x ) − 2
2
Raíces (C0)
Llamamos "raíz" de una función al punto donde la curva corta al eje "X".
Inversamente a lo que sucedía con la ordenada al origen, las funciones exponenciales pueden tener o no una raíz. En
cambio, las funciones logarítmicas SIEMPRE tienen raíz.
Para hallarla –si existe- usamos un concepto parecido al anterior: todo punto sobre el eje X tiene coordenada en y = 0
Con lo cual, lo único que hay que hacer en ambos casos es reemplazar a la "y" por cero ("igualar a cero") y después
despejar la "x" para calcularla.
4) Determinen la raíz –si existe- de cada una de las siguientes funciones:
g( x ) = 3. log 3 (x − 4 )
f ( x ) = 3.5 ( x − 4 ) + 1
m( x ) =
(
3.
ln x − 2
5
1
n( x ) =  
3
)
(x +5 )
− 2
h( x ) = −5 ( x +5 )
j( x ) = − log(x + 2 )
p( x ) = log 1 (− x )
q( x ) = 5 (− x ) − 2
2
Gráfico Aproximado
Con todo lo visto es posible trazar un gráfico aproximado de las funciones vistas, lo único que hay que hacer es dibujar un
par de ejes cartesianos y ubicar en ellos todos los valores conocidos. A veces, es necesario calcular la imagen de algún
valor de "x" para poder terminar de definir su traza.
5) Determinen el dominio (Df) de cada una de las funciones y, según corresponda, calculen: asíntota vertical (A.V.),
asíntota horizontal (A.H.), ordenada al origen (O.O.), raíz (C0). Con estos valores tracen un gráfico aproximado de cada
una.
1
. log (x − 2 )
2
f ( x) = 2 (x ) − 1
g( x ) =
m( x ) = 3 ln(− x )
1
n( x ) =  
3
(x −1 )
−3
h( x ) = −3 ( x )
j( x ) = − log(x + 2 ) + 2
p( x ) = − log 1 (− x )
1 
q( x ) = − 
2
2
(− x )
−2
Comportamiento
Crecimiento
(C ) o Decrecimiento C
↑
↓
Se refiere a la descripción de sus intervalos del dominio en el que los valores de sus imágenes presentan crecimiento o
decrecimiento. En el caso de las funciones exponenciales y logarítmicas sólo se produce estrictamente uno de los dos: o la
función es creciente en todo su dominio o, de lo contrario, es decreciente.
Gráficamente, si a medida que los valores de "x" crecen obtenemos valores mayores de "y" (imagen de "x") diremos
que la función es creciente, de lo contrario diremos que es decreciente.
Positividad y Negatividad
Se refiere a la descripción de los intervalos del dominio en el que sus imágenes se encuentran por sobre el eje "X" (es
+
decir, son positivas) o por debajo (negativas). A los intervalos de positividad se lo indica con la notación: C ; a los de
negatividad: CEn ambos casos (exponenciales y logarítmicas) tendremos, por lo menos, una de las dos situaciones. Lo que definirá esto es
la existencia o no de raíz. Los intervalos serán de positividad o negatividad según la función sea creciente o decreciente.
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6) Analicen en los gráficos del punto anterior el comportamiento de cada una de las funciones.
Conjunto Imagen (If)
Es un conjunto numérico que indica el "rango" de variación de las imágenes de toda la función; nos informa entre qué
valores puede variar.
Todas las funciones logarítmicas como las descriptas tienen como conjunto imagen a todos los reales: ℜ
En cambio, en el caso de las exponenciales, esto dependerá de la asíntota horizontal. El valor de dicha asíntota será
extremo inferior o superior. Las posibilidades son que si AH toma el valor "h", entonces If = (h; +∞) , o bien If = (-∞; h)
7) Determinen el conjunto imagen (If) de las funciones graficadas en el punto anterior.
Nota:
Para encarar un examen deberían estar en condiciones de hacer un estudio completo de cualquiera de los dos tipos de
funciones vistas: exponenciales y logarítmicas. Es decir, deben poder responder a una consigna como la siguiente:
"Dadas las siguientes funciones hallá, si existen: dominio de la función (Df), asíntota vertical (A.V.),
asíntota horizontal (A.H.), ordenada al origen (O.O.), raíz (C0). Luego, con los valores obtenidos, trazá
un gráfico aproximado y determiná: intervalo de crecimiento (C↑), intervalo de decrecimiento (C↓),
intervalo de positividad (C+), intervalo de negatividad (C-), e imagen de la función (If)"
Y
ESTO
SERÍA
TODO POR ESTE AÑO
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Prof: Marcelo Stigliano