CAPITULO II
CALCULO II
FUNCIONES VECTORIALES DE VARIABLE ESCALAR
2.1
CONCEPTOS BÁSICOS
Una función vectorial (o a valores vectoriales) de una variable real (escalar), es una función del
en la cual, a cada número real t de algún subconjunto I de R (el dominio de la
función) le asigna un (y solamente un) valor de
.
en el espacio
Puesto que
es un punto del espacio
éste tiene n coordenadas, las cuales son, en
general funciones de la variable t. Así podemos escribir:
donde :
son funciones de la variable real t, llamadas funciones
coordenadas de la función f.
Como siempre, cuando solamente se proporciona la regla de correspondencia (como suele
ocurrir)
y no se hace explícito el dominio I de la función, se entiende
que éste es el mayor subconjunto de la recta para la cual
tiene sentido para toda i = 1,2,...,
n, es decir el mayor subconjunto I de R para el cual la función f(t) tiene sentido.
Esquemáticamente se tiene,
Las funciones
que nos interesan estudiar son las que son continuas en su
dominio I. Para establecer el concepto de continuidad antes tendremos que referirnos al
concepto de límite.
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2.2
LIMITES
DEFINICIÓN: Sea :
una función definida en el intervalo abierto I de R y sea un
punto de I o un punto de su frontera. Se dice que el límite de la función f cuando t tiende a
es
, lo cual se escribe como
Si dado cualquier e > 0 existe un δ >0 tal que si
donde
. es la norma euclideana de vectores en
y
.
El siguiente teorema nos dice que el estudio de los límites de las funciones :
está íntimamente relacionado con el estudio de los límites de las funciones coordenadas de
Teorema:
Sea
sólo si
una función vectorial, entonces
sí y
donde
.
Ejemplo 1: Sea la función dada por
. Las funciones coordenadas de f(t) son
. Puesto que
y , se tiene que, según el teorema anterior:
Por ejemplo, si t =1 , se tiene que
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.
Una situación análoga ocurrirá con la continuidad de la función f(t); se verá que ésta es continua
sí y sólo si sus funciones coordenadas lo son.
DEFINICIÓN:
Sea :
una función definida en el subconjunto abierto I de R y sea
dice que f(t) es continua en si:
Teorema: Sea
funciones coordenadas
una función definida en el intervalo abierto I de R de la forma
y sea
, la función f(t) es continua en sí y sólo si sus
lo son.
Ejemplo 2: La función
dada por
sus funciones coordenadas son polinomios y, por tanto, continuas.
Ejemplos 3: La función
, se
es continua, pues
dada por
es discontinua en t =0 pues
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2.3
DIFRENCIABILIDAD DE CURVAS REGULARES
Sea :
derivada de
un camino definido en el intervalo abierto I de R y sea
en , denotada por
, se define la
, como el límite
cuando éste existe. En tal caso se dice que el camino es diferenciable en
. Si
es
diferenciable en todos los puntos de I, decimos que es diferenciable en I.
La primera observación que debemos hacer, es que la derivada de un camino :
en un punto
es un vector en el espacio . De hecho, viendo la siguiente cadena de
igualdades, en donde
podemos concluir que el camino
es diferenciable en
coordenadas lo son, y en tal caso, la derivada
es el vector de
las derivadas
. de las funciones coordenadas de
sí y sólo si sus funciones
cuyas coordenadas son
DEFINICIÓN: Sea
un camino diferenciable el vector
se llama vector
velocidad del camino en el punto
.
Un hecho geométrico relevante del vector
de un camino diferenciable, es que éste es
tangente a la curva correspondiente en el punto donde se calcula la derivada y que apunta en la
dirección al recorrido de la curva. Veamos por ejemplo, el caso de un camino diferenciable en
. En la siguiente figura están marcados los puntos de la curva
correspondientes a
cualquier
, el vector
. El vector
. es aquel que va de P a Q. Para
es un vector paralelo a . Siguiendo la posición
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del vector para h cada vez más pequeño, resulta que, en la posición límite, cuando 0 h à0, el
vector se vuelve tangente a la curva en P.
Ejemplo 4: Sea
el camino
pues sus funciones coordenadas
. Éste es un camino diferenciable,
, lo son. La derivada de
es:
Ejemplo 5: Consideremos el camino
es diferenciable, y la función
que es diferenciable, para t >0 se tiene
. Así que
. existe para todo
dado por
Ciertamente la función
también lo es, pues para t<0 se tiene
que también es diferenciable y para t = 0 es
.
Además observe como
, de modo que la curva descrita por este
camino es la gráfica de la función
Este ejemplo nos muestra que la diferenciabilidad de un camino nada tiene que ver con la forma
geométrica de la curva que describe. El hecho de que en el origen esta curva tenga un pico, no
afecta a la diferenciabilidad del recorrido.
Los ejemplos anteriores nos muestran que la diferenciabilidad de un camino “no detecta” picos
de la curva que representa. Por supuesto que este punto representa un problema geométrico al
no poder asociar ahí, una recta tangente a la curva.
La propiedad de las curvas referente a la posibilidad de trazar rectas tangentes a ellas se llama
regularidad. Ésta es una propiedad que definiremos para caminos de Clase C1 (son aquellos que
además de ser diferenciables, tienen continua su función derivada).
DEFINICIÓN: Sea :
un camino de clase C1 se dice que éste es un camino regular si
(el vector nulo de R n ) para toda
2.3.1 REGLAS DE DERIVACIÓN DE FUNCIONES VECTORIALES
Para las funciones vectoriales diferenciables, valen reglas de derivación similares a las funciones
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escalares a saber:
1.
2.
donde a y ß son constantes reales
, donde
. es una función escalar.
3.
4.
5.
6.
, luego derivando ambos miembros se tiene
.O
sea, si
, es una función vectorial de módulo constante, su derivada es un vector
perpendicular a él.
7. Si u es una función vectorial de t, y t es una función escalar de s la regla de la cadena se
escribe :
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