Tema 10: Derivada y diferencial en campos escalares y vectoriales
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MATEMÁTICAS II. EJERCICIOS TEMA 10 DERIVADA Y DIFERENCIAL EN CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES 1.- Calcular continuidad, existencia de derivadas parciales por la definición, y diferenciabilidad, en el punto (0,0), de las siguientes funciones: 1 x.sen 2 a) f ( x, y ) = x + y2 0 x. y b) f ( x, y ) = x 2 + y 2 0 si ( x, y ) ≠ (0,0) si ( x, y ) = (0,0) si ( x, y ) ≠ (0,0) si ( x, y ) = (0,0) c) f ( x, y ) = x 2 . y 3 2.- Calcular la diferencial de las siguientes funciones: a)f(x,y)= sen2 x + cos2 y b)f(x,y,z)= ln(x2 + y2 +z2 ) 3.- Demostrar, por la definición, que la función c)f(x,y)= x3 +y2-3xy f(x,y)=2x+2y+1 es diferenciable. 4.- a) Calcular la máxima derivada direccional de la función f(x,y)= ex+y en el punto (1,1). b) Calcular la dirección en la que es máxima la derivada direccional de la función f(x,y)=x3+3y2+3 en el punto (2,1). 5.- Sean f:R2→R2 / f(x,y)=(x2+y,y) y g:R2→R / g(s,t)=s+t. Calcular h=gof y dh utilizando la regla de la cadena. 6.- Dada la siguiente función de producción agrícola F(K,L,T)=A.Ka.Lb.Tc (A,a,b,c son constantes), siendo K el capital invertido, L el trabajo y T la superficie de tierra para cultivo. Hallar las productividades marginales e interpretar sus signos. 7.- En un período de tiempo, se ha estimado que la demanda de un país sigue la siguiente función D=0,14Y+76,03(r-2)-0,84 (r>2) donde Y es la renta nacional anual y r el tipo de interés en porcentaje anual. Calcular ∂D/∂Y y ∂D/∂r interpretando sus signos.
