Pauta de Corrección - Universidad de Atacama

UNIVERSIDAD DE ATACAMA
FACULTAD DE INGENIERÍA / DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES
PAUTA DE CORRECCIÓN PRUEBA N◦ 2
Profesor: Hugo S. Salinas.
Segundo Semestre 2010
1. Supongamos que una persona pasa tres semáforos cada mañana en su camino al trabajo. Los
semáforos operan independientemente y debido a que la distancia entre ellos es grande, también
operan independientemente respecto a una persona que camina de uno hacia otro. La probabilidad de una luz roja es 0.4, 0.8 y 0.5, respectivamente, para cada uno de los semáforos. Sea
X el número de luces rojas que la persona encuentra en su camino de ida. Considerar que la
persona, durante un año hace 250 viajes a su trabajo. Sea X la media del número de luces rojas
que la persona encuentra en cada uno de estos viajes.
a) Calcular el recorrido de la variable X.
Solución
Sea X: número de luces rojas que la persona encuentra en su camino de ida
Rango X = {0, 1, 2, 3}
(3 ptos.)
b) Calcular la distribución de probabilidad de X.
Solución
Para el cálculo de la distribución de probabilidades de X, definimos los siguientes eventos:
Rj : el j-ésimo semáforo está en rojo, con Rj independientes para j = 1, 2, 3. Del enunciado
tenemos P (R1 ) = 0.4, P (R2 ) = 0.8 y P (R3 ) = 0.5. Entonces:
P (X = 0) = P (R10 ∩ R20 ∩ R30 ) = (0.6)(0.2)(0.5) = 0.06,
P (X = 1) = P ({R1 ∩ R20 ∩ R30 } ∪ {R10 ∩ R2 ∩ R30 } ∪ {R10 ∩ R20 ∩ R3 })
= (0.4)(0.2)(0.5) + (0.6)(0.8)(0.5) + (0.6)(0.2)(0.5) = 0.34
P (X = 2) = P ({R1 ∩ R2 ∩ R30 } ∪ {R1 ∩ R20 ∩ R3 } ∪ {R10 ∩ R2 ∩ R3 })
= (0.4)(0.8)(0.5) + (0.4)(0.2)(0.5) + (0.6)(0.8)(0.5) = 0.44
P (X = 3) = P (R1 ∩ R2 ∩ R3 ) = (0.4)(0.8)(0.5) = 0.16,
Por lo tanto:
x
P (X = x)
0
0.06
1
0.34
2
0.44
3
0.16
(7 ptos.)
PAUTA DE CORRECCIÓN PRUEBA 2
1
c) Calcular E(X) y V ar(X).
Solución
E(X) = 0(0.06) + 1(0.34) + 2(0.44) + 3(0.16) = 1.7
E(X 2 ) = 02 (0.06) + 12 (0.34) + 22 (0.44) + 32 (0.16) = 3.54
V ar(X) = 3.54 − (1.7)2 = 0.65
(7 ptos.)
d ) Calcular P (X ≤ 1.8).
Solución
Sea Xk : número de luces rojas que la persona encuentra en el k-ésimo viaje, con k =
1, 2, . . . , 250. Por ejemplo, X5 : número de luces rojas que la persona encuentra en el quinto
viaje. Tenemos que
250
1 X
X=
Xk ,
250 k=1
q
q
V ar(X)
= 0.65
. Por Teorema Central del Lı́mite
luego E(X) = 1.7 y V ar(X) =
250
250
!
r
0.65
X ∼ N 1.7,
250
Por lo tanto:
P (X ≤ 1.8) = P
!
√
(1.8 − 1.7) 250
√
= P (Z ≤ 1.96) = 0.975
Z≤
0.65
(7 ptos.)
2. Supongamos que Y1 , Y2 , . . . , Yn son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con función de densidad dada por:
(α + 1)y α ,
0 < y < 1,
f (y; α) =
0,
en otros casos,
donde α > 0.
a) Calcular el estimador de α por el método de momentos.
Solución
Por método de momentos, E(Y ) = y. Para eso calculamos el valor esperado:
Z 1
(α + 1)y α+2 1 α + 1
α
E(Y ) =
y(α + 1)y dy =
|0 =
α+2
α+2
0
Luego:
α+1
= y
α+2
α + 1 = (α + 2)y
α − αy = 2y − 1
2y − 1
α
bM M =
1−y
PAUTA DE CORRECCIÓN PRUEBA 2
2
(8 ptos.)
b) Calcular el estimador de α por el método de máxima verosimilitud.
Solución
n
Y
L(α) =
(α + 1)yjα ,
l(α) =
0
l (α) =
j=1
n
X
0 < yj < 1, α > 0,
[log(α + 1) + α log yj ]
j=1
n X
j=1
1
+ log yj = 0
α+1
n
X
n
0 =
+
log yj
α + 1 j=1
n
X
n
= −
log yj
α+1
j=1
n
−1
α
b M V = − Pn
j=1 log yj
(8 ptos.)
c) Evaluar ambos estimadores usando los siguientes datos:
0.2 0.2 0.2 0.45 0.65 0.65 0.8 0.8 0.8
Solución
De los datos, y =
4.75
9
= 0.53, luego
α
bM M =
2(0.53) − 1
= 0.13
1 − 0.53
(4 ptos.)
Por otro lado tenemos que
9
X
log yj = −3.11, entonces
j=1
α
bM V =
−9
9
−1=
− 1 = 1.89
−3.11
3.11
.
(4 ptos.)
3. La duración (en horas) de cierto transistor de televisor es una variable aleatoria continua T ,
cuya función de densidad es:
150
,
t > 150,
t2
f (t) =
0, en otros casos,
a) Si un televisor determinado todavı́a funciona después de 200 horas. ¿Cuál es la probabilidad de que dicho transistor dure a lo más 300 horas?
PAUTA DE CORRECCIÓN PRUEBA 2
3
Solución
P ({T < 300} ∩ {T > 200})
P (T > 200)
P (200 < T < 300)
=
P (T > 200)
P (T < 300|T > 200) =
Donde:
Z
300
P (200 < T < 300) =
Z
200
∞
P (T > 200) =
200
150
150 150
150 300
|200 = −
+
= 0.25
dt = −
2
t
t
300 200
150
150
150 ∞
|200 = 0 +
= 0.75
dt = −
2
t
t
200
Por lo tanto:
P (T < 300 | T > 200) =
0.25
= 0.33
0.75
(6 ptos.)
Se instalan 3 de tales transistores en un televisor.
b) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno tenga que ser sustituido en las primeras 200 horas
de uso?
Solución
Primero calculamos
Z 200
150
150 200
150 150
P (T < 200) =
dt
=
−
|
+
= 0.25
=
−
150
t2
t
200 150
150
Sea V : número de transistores entre 3 que deben ser sustituidos durante las 200 primeras
horas.
V ∼ Bi(3, 0.25)
Por lo tanto:
3
P (V = 0) =
(0.25)0 (0.75)3 = 0.421875
0
(6 ptos.)
c) ¿Cuál es la probabilidad de que los tres transmisores tengan que ser sustituidos durante
las 200 primeras horas?
Solución
3
P (V = 3) =
(0.25)3 (0.75)0 = 0.0156250
3
(6 ptos.)
d ) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 1 tenga que ser sustituido en las 200 primeras
horas de uso?
Solución
3
P (V = 1) =
(0.25)1 (0.75)2 = 0.421875
1
(6 ptos.)
PAUTA DE CORRECCIÓN PRUEBA 2
4
4. Se desean rodamientos de un centı́metro de radio, con tolerancia de 0.5 milı́metros. El fabricante
gana 0.10 dólares por cada rodamiento aceptado. Si el radio es menor de lo permitido, el
rodamiento se debe refundir, produciendo una pérdida de 0.05 dólares; por otra parte, si el
radio es mayor de lo aceptado se debe rebajar el rodamiento, con una pérdida de 0.03 dólares.
Supongamos que el radio de los rodamientos tiene una distribución normal con media 1.01
centı́metro y una varianza de 0.0009 centı́metros cuadrados.
a) ¿Cuál es la utilidad esperada?
Solución
Consideremos los siguientes eventos:
A: el rodamiento es aceptado
B: el rodamiento debe ser refundido
C: el rodamiento debe ser rebajado
Sea X el radio del rodamiento (en centı́metros), X ∼ N (1.01, 0.03). Con esto,
P (A) = P (1 − 0.05 < X < 1 + 0.05) = P (0.95 < X < 1.05)
1.05 − 1.01
0.95 − 1.01
<Z<
= P
0.03
0.03
= P (−2 < Z < 1.33) = P (Z < 1.33) − P (Z < −2)
= 0.9082 − 0.0228 = 0.8854
1.05 − 1.01
P (C) = P (X > 1 + 0.05) = P (X > 1.05) = P Z >
0.03
= P (Z > 1.33) = 1 − P (Z < 1.33) = 1 − 0.9082 = 0.0918
Sea U la utilidad de un rodamiento. Entonces:
u
P (U = u)
0.10
0.8854
−0.05
0.0228
−0.03
0.0918
Por lo tanto, la utilidad esperada está dada por:
E(U ) = 0.10(0.8854) − 0.05(0.0228) − 0.03(0.0918) = 0.084646
(10 ptos.)
b) ¿A cuánto se deberı́a modificar la ganancia por cada rodamiento aceptado si se espera
ganar 0.07 dólares por cada rodamiento?
Solución
Sea g la ganancia por rodamiento aceptado. Luego,
E(U ) = 0.8854g − 0.05(0.0228) − 0.03(0.0918) = 0.07
0.8854g = 0.07 + 0.003894
0.8854g = 0.073894
0.073894
g =
= 0.08346
0.8854
(6 ptos.)
PAUTA DE CORRECCIÓN PRUEBA 2
5
c) Se seleccionaron 5 rodamientos. ¿Cuál es la probabilidad de que tres o más cumplan las
especificaciones?
Solución
Sea Y número de rodamientos entre 5 que cumplen las especificaciones, entonces:
Y ∼ Bi(5, 0.8854)
5 X
5
P (Y ≥ 3) =
(0.8854)y (0.1146)5−y
y
y=3
= 10(0.00912) + 5(0.07042) + 0.5441
= 0.0912 + 0.3521 + 0.5441 = 0.9874
(4 ptos.)
d ) Se necesitan cuatro rodamientos de diámetro mayor que 2.05 centı́metros para un aparato
especial. ¿Cuál es la probabilidad de probar exactamente 10 rodamientos?
Solución
Se necesitan cuatro rodamientos de radio mayor que 1.025. Entonces P (X > 1.025) =
P (Z > 0.5) = 1 − P (Z ≤ 0.5) = 1 − 0.6915 = 0.3085.
Sea W número de fracasos hasta encontrar 4 rodamientos de radio mayor que 1.025
centı́metros.
W ∼ BN (4, 0.3085)
6+4−1
P (W = 6) =
(0.3085)4 (0.6915)6
6
= 84(0.3085)4 (0.6915)6
= 0.0831865
(4 ptos.)
PAUTA DE CORRECCIÓN PRUEBA 2
6