Series hipergeométricas.

Series hipergeométricas.
a. Definición. Son aquellas que cumplen:
an+1
αn + β
=
(α > 0, γ 6= 0).
an
αn + γ
b. Carácter. Aplicamos el criterio de Raabe.
a
αn + β
γ−β
γ−β
=
lı́m
n
1
−
=
lı́m
n
lı́m n 1 − an+1
αn + γ
αn + γ = α .
n
n→∞
n→∞
n→∞
γ−β
α > 1 ⇐⇒ α + β < γ , la serie es convergente.
γ−β
• Si α < 1 ⇐⇒ α + β > γ , la serie es divergente.
γ−β
• Si α = 1 ⇐⇒ α + β = γ , caso dudoso (veremos al final que es divergente).
• Si
c. Suma. Utilizamos la relación ai+1 (αi + γ) = ai (αi + β) ∀i ∈ N.
i=1:
a2 ( α + γ) = a1 ( α + β)
i=2:
a3 (2α + γ) = a2 (2α + β)
i=3:
..
.
a4 (3α + γ) = a3 (3α + β)
..
.
i=n:
an ((n − 1)α + γ) = an−1 ((n − 1)α + β)
an (nα + β) = an (nα + β)
(añadimos una identidad)
Simplificamos los α en ambos lados y sumamos las igualdades que resultan. Llamando Sn a la suma de los n primeros términos, obtenemos:
(Sn − a1 ) γ + an (nα + β) = Sn (α + β) =⇒
Sn [γ − (α + β)] = a1 γ − an (nα + β) =⇒
Sn =
a1 γ
an (nα + β)
−
.
γ − (α + β) γ − (α + β)
|
{z
}
(1)
(2)
bn
a1 γ
− lı́m b .
γ − (α + β) n→∞ n
n→∞
Al existir S, el lı́m bn debe existir. Veamos que, además, es nulo. Si no lo fuera,
Si α + β < γ, la serie converge, por lo que ∃S = lı́m Sn =
n→∞
escribiéndolo a partir de (2) como
1
1
= k 6= 0,
lı́m an :
nα + β
γ − (α + β) n→∞
n→∞
P
P
1 , que es diverresulta que la serie
an tendrı́a el mismo carácter que
nα + β
gente. Ası́ pues, la suma de una serie hipergeométrica vale
a1 γ
S=
, (α + β < γ).
γ − (α + β)
lı́m bn =
d. Caso dudoso. Si α + β = γ, a partir de la igualdad (1), resulta
a1 γ
0 = a1 γ − an (nα + β) =⇒ an =
(divergente).
nα + β