Algunos Ejercicios Resueltos Gu9a 1 C8lculo (520012) 2

UNIVERSIDAD DE CONCEPCION
FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS
DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA
Algunos Ejercicios Resueltos Guía 1
Cálculo (520012)
2. Encuentre el conjunto solución de las desigualdades:
2.2 3x2 5x + 2 > 0
Solución:
Se debe factorizar el lado izquierdo de la Inecuación, para esto utilzaremos la
fórmula de la ecuación cuadrática:
p
b
b2 4ac
x=
2a
En nuestro caso: a = 3, b = 5, c = 2, reemplzando:
p
p
p
p
( 5)
( 5)2 (4 3 2)
b
b2 4ac
25 24
1
5
5
x=
=
=
=
=
2 3
6
6
8 2a
5+1
6
>
5 1 < x1 = 6 = 6 = 1
=
5 1
4
2
>
6
: x2 =
= =
6
6
3
Así, la factorización de 3x2 5x + 2 es (x x1 )(x x2 ) = (x 1)(x 32 )
Reemplazando esto en la desigualdad inicial:
3x2
, (x
5x + 2 > 0
2
)
3
1)(x
>0
Para resolver la desigualdad utilizaremos una Tabla de Signos:
2
3
x 1
x 32
(x 1)(x
2
)
3
+
0
0
+
1
0 +
+ +
0 +
Ahora, es claro ver de la tabla de signos que los valores que cumplen con la desigualdad son:
2
S=
1;
[ 1;+ 1
3
3. Encuentre el conjunto solución de las desigualdades:
3.1
2 > 3 3x
7
Solución:
Separaremos la desigualdad en dos partes:
2>
3
1>
3x ^
3x
3
^
3x
3x
4
1
3
<x ^ x
4
3
1
3
<x ^
4
3
x
7
Así, el conjunto solución está formado por los números que cumplen:
1
<x
3
escribiendo en notación de conjuntos: S =
4
3
1 4
;
3 3
4. Resuelva para x 2 R
4.1 x(11 3x) < 10
Solución:
x(11
, x(11
, 11x
3x) < 10
3x)
10 < 0
3x2
10 < 0
(1)
Ahora, debemos factorizar la expresión de la izquierda de la desigualdad:
11x 3x2 10 = 3x2 + 11x 10
Para esto utilizaremos la fórmula de la ecuación cuadrática:
x=
b
p
b2
2a
4ac
En nuestro caso: a = 3, b = 11, c = 10, reemplzando:
p
p
11
112 (4 3 10)
b
b2 4ac
x =
=
=
2a
2 3
8
11 + 1
10
5
p
>
=
=
11
1
11 1 < x1 =
6
6
3
=
=
11 1
12
>
6
6
: x2 =
=
=2
6
6
Así, la factorización queda dada por:
3x2 + 11x 10 = (x x1 )(x x2 ) = (x 53 )(x 2)
Reemplazando en (1):
11x 3x2 10 < 0
, (x
5
)(x
3
2) < 0
11
p
121
6
120
=
Para resolver la desigualdad utilizaremos una Tabla de Signos:
x
x
5
3
0
+
2
5
)(x
3
(x
5
3
2)
+
0
2
+ +
0 +
0 +
Ahora, es claro ver de la tabla de signos que los valores que cumplen con la desigualdad son:
5
S = ;2
3
x 1
1
;1
> 2, Solución: ] 1; 1[ [
3
x+1
x2
4.4
< 0, Solución: ] 1; 0[[]0; 3[
x 3
4.4 x3 3x2 > 2x, Solución: ]0; 1[[]2; 1[
2x + 3
4.5
1, Solución: [ 3; 0[
x
4.3
5. Resuelva para x 2 R:
5.6 2 j5 4xj = x + 2
Solución:
Se analizará la ecuación por casos, estos casos están dados por los signos que toma
j5 4xj
Caso 1: 5 4x < 0 , 5 < 4x , 45 < x , x > 54 1; 25
Así, como 5 4x < 0 , j5 4xj = (5 4x)
2 j5 4xj = x + 2
, 2 (5 4x) = x + 2
,
(10 8x) = x + 2
,
10 + 8x = x + 2
,
7x = 12
,
x = 12
1; 71
7
Como
12
5
2 ; 1 ) S1 =
7
4
12
7
Caso 2: 5 4x > 0 , 5 > 4x , 45 > x , x <
Así, como 5 4x > 0 , j5 4xj = 5 4x
5
4
2 j5 4xj = x + 2
, 2(5 4x) = x + 2
, (10 8x) = x + 2
, 10 8x = x + 2
,
9x = 8
,
x = 98 0; 89
1; 25
Como
8
2
9
1;
5
) S2 =
4
8
9
Caso 3: 5 4x = 0 , 5 = 4x , 54 = x , x =
Así, como 5 4x = 0 , j5 4xj = 0
5
4
1; 25
2 j5 4xj = x + 2
,
2 0=x+2
,
0=x+2
,
2=x
,
x= 2
5
) S3 =
4
Finalmente, el conjunto solución del problema está formado por la unión de los
tres conjuntos solución:
Como
2 6=
S = S1 [ S2 [ S3
8
12
[
=
7
9
12
8
=
[
7
9
[
* Otro problema: Resuelva las Inecuaciones:
x( 2x + 7) 6
x+2>x+3
DUR/dur.
17-08-2012