T1 Dominios, Límites, Asíntotas, Derivadas y Representación

T1 Dominios, Límites, Asíntotas, Derivadas y Representación Gráfica.
1.1 Dominios de funciones:
 Polinómicas: D(f) =
La X puede tomar cualquier valor entre
Ejemplos:

D(f) =
Función racional: es el cociente de dos funciones polinómicas.
El cociente no existirá para los valores que hagan que el denominador valga 0.
El dominio existirá para todo valor que no anule el denominador: D(f) =
valores que anulen denominador}
Igualamos el denominador a cero, para ver qué valores anulan el denominador, y resolvemos la ecuación.
Ejemplo:
Igualamos el denominador a cero, para ver qué valores anulan el denominador.
Resolvemos la ecuación:
por lo tanto
D(f) = – { }
 Función irracional :
Cuando f (x) es negativa, la raíz cuadrada no puede realizarse, no existirá la raíz.
Existirá solamente para aquellos valores en los que f (x) es positiva o nula, o sea cuando la función está por
encima del eje de las X o pasa sobre él.
Por lo tanto resolvemos la inecuación f (x) ≥ 0 .
Vemos para qué valores se anula la función y damos valores a ambos lados, para ver cuándo es positiva y
cuando es negativa.
Si no podemos anular la función es que siempre es positiva o siempre es negativa. Damos cualquier valor y si es
positiva la función para ese valor, siempre será positiva, en caso contrario siempre será negativa.
Ejemplo:
Resolvemos
→
∞
D(f) =

→
] ᴜ [ , ∞)
1
Función logarítmica:
Cuando f (x) es negativa o nula, el logaritmo no puede realizarse, no existirá el logaritmo.
Existe solamente para aquellos valores en los que f (x) es positiva, o sea cuando la función está por encima del
eje de las X.
Por lo tanto resolvemos la inecuación
.
Vemos para qué valores se anula la función y damos valores a ambos lados, para ver cuándo es positiva y
cuando es negativa.
Si no podemos anular la función es que siempre es positiva o siempre es negativa. Damos cualquier valor y si es
positiva la función para ese valor, siempre será positiva, en caso contrario siempre será negativa.
Ejemplo:
Resolvemos
→
→ Sin solución. O siempre es positiva o siempre es negativa.
Damos un valor cualquiera →
→
→ Siempre +
D(f) =

Función exponencial:

Función trigonométrica: Existe en los puntos donde exista para f (x). Ejemplos:

Función a trozos: Se debe analizar qué ocurre en cada intervalo (el dominio de cada rama).
Se realizará la unión de cada dominio, para dar el dominio de toda la función.
existe en los puntos donde exista para f (x).
→
 Ejercicio 1:
a)
Halla el dominio de:
d)
b)
e)
c)
f)
g)
j)
h)
i)
k)
1.2 Cálculo de límites. Indeterminaciones.
En los apartados anteriores se ha calculado el valor del límite de una función en un punto o en el infinito, dando valores
apropiados a la variable independiente y utilizando una tabla y una calculadora como herramientas.
Sin embargo en muchas ocasiones el cálculo se puede realizar de una forma más directa y rápida.

.
Para calcular un límite, se sustituye la X por el valor al que se aproxima.
Si el resultado es b, ya tenemos el límite de X cuando tiende al número a.
En estos casos se obtienen expresiones y resultados que tienen sentido en
límites se llaman determinados.
Ejemplo:

Expresiones que tienden a
ó a 0: Estas expresiones no son indeterminaciones.
 Indeterminaciones: Hay casos en que la solución no tiene sentido en .
Se dice entonces que el límite está Indeterminado. Hay que seguir operando hasta encontrar la solución.
Expresiones indeterminadas
o Limites de funciones racionales en el infinito :
 Para calcular el
- Si el grado P > grado de Q
- Si el grado P < grado de Q
- Si el grado P = grado Q
siendo P(x) y Q(x) polinomios, hay que comparar los grados de P Y Q.
donde
y
son los coeficientes de mayor grado de P y Q
Ejemplos:
-
-
-
, y los
 Si hay raíces en el denominador, se multiplica y divide por la expresión conjugada del denominador.
Ejemplo:
→
 Se dividen numerador y denominador entre la mayor potencia de X que aparezca.
o Límites de funciones racionales de la forma
:
 Se factoriza el numerador y el denominador y se simplifica.
Ejemplo:
→
 Ejercicio 2: Calcula los siguientes límites:
a)
e)
i)
l)
b)
f)
j)
m)
c)
g)
k)
d)
h)
n)
1.3 Asíntotas.
Una asíntota es una recta hacia la que se aproxima una rama infinita de una función.
Las ramas infinitas aparecen cuando o bien la “x” o bien la “y” o bien ambas tienden a
a) Asíntota Horizontal:
Son de la forma
, siendo
ó
Se halla:

y=k

y=l
Podemos tener:
 Dos asíntotas horizontales distintas: y = k e y = l
 Una asíntota horizontal: y = k
 Ambas existen y coinciden: y = k e y = k
 Una existe y otra no: y = k e y =
 Ninguna asíntota horizontal: Ninguna de las dos existen y =
En funciones racionales, para que existan las asíntotas horizontales:
el grado del denominador el grado del numerador.
Ejemplo:
oa
.
f (x) 
→
→
Hay un asíntota horizontal en
b) Asíntota Vertical:
La recta
es asíntota vertical si:
ó
Ejemplo:
f (x) 
Hay un asíntota vertical en
ó
ó
c) Asíntota Oblicua:
Si la función tiene asíntota horizontal, no tendrá asíntota oblicua.
La recta
es una asíntota oblicua de
si:
o si
Donde:


Ejemplo: f (x) 


→

→

Asíntota Oblicua:
 Ejercicio 3: Calcula las asíntotas de las siguientes funciones si las tienen:
e)
a)
k)
f)
b)
g)
c)
h)
l)
i)
d)
j)
 Ejercicio 4: Calcula las asíntotas de las siguientes funciones si las tienen:
a)
c)
b)
d)
m)
e)
1.4 Función Inversa
No toda función tiene inversa, pero cuando existe se define así:
significa que
,
y
se llama función inversa de f.
Una función tiene función inversa sólo cuando su gráfica corta cada línea horizontal una vez como máximo. Si no es así,
se dice que la función tiene correspondencia inversa.
Para obtener una función inversa se despeja la variable independiente.
Ejemplo:
 Ejercicio 5: Calcula la inversa de:
a)
b)
c)
1.5 Esbozos de funciones.
d)
e)
f)
g)
1.6 Construcción de funciones por traslación
 Translación horizontal:
Sea la función
, que la podamos expresar como
vector de translación
.
, entonces nos encontraremos con el
 Ejemplo: Sea la función
Podemos expresarla como
La función
sabemos representarla.
La función
, es una similar representación aplicando el vector
, o sea, desplazar
horizontalmente hacia la izquierda todos los puntos de la función 2 unidades.
 Translación vertical:
Sea la función
, que la podamos expresar como
vector de translación
.
, entonces nos encontraremos con el
 Ejemplo: Sea la función
Podemos expresarla como
La función
sabemos representarla.
La función
, es una similar representación aplicando el vector
, o sea, desplazar
verticalmente hacia arriba todos los puntos de la función 2 unidades.
 Translación oblicua:
Sea la función
, que la podamos expresar como
con el vector de translación
.
, entonces nos encontraremos
 Ejemplo: Sea la función
Podemos expresarla como
La función
sabemos representarla.
La función
, es una similar representación aplicando el vector
, o sea,
desplazar horizontalmente hacia la izquierda todos los puntos de la función 1 unidades y verticalmente
hacia arriba todos los puntos de la función 2 unidades.
 Ejercicio 6: Haz el esbozo de las siguientes funciones:
a)
e)
b)
f)
c)
g)
d)
h)
i)
l)
j)
m)
k)
1.7 Tabla de derivadas y reglas de derivación
Tipo
Función Simple
Constante
f(x)= k
f´(x)= 0
Identidad
f(x)= x
f´(x)= 1
Potencial
f(x)=
Función Compuesta
f´(x)=
f(x)=
F(x)=
f´(x)=
F´(x)=
F(x)=
f(x)=
F´(x)=
F(x)=
f(x)=
f´(x)=
F(x)=
F´(x)=
Irracional
f(x)=
f´(x)=
F(x)=
F´(x)=
F(x)=
f(x)=
f(x)=
f(x)=
f´(x)=
F(x)=
f´(x)=
F(x)=
F´(x)=
F´(x)=
Exponencial
f(x)=
f(x)= ln x
f´(x)=
f´(x)=
lna
F(x)=
F(x)=
F´(x)=
·
F´(x)=
Logarítmica
f(x)=
f´(x)=
F(x)=
F´(x)=
F(x)=
F´(x)=
F(x)=
F´(x)=
F(x)=
F´(x)=
Trigonométricas
F(x)=
F´(x)=
F(x)=
F´(x)=
F(x)=
F´(x)=
·
Continuación:
1.7 Tabla de derivadas y reglas de derivación
REGLAS DE DERIVACIÓN
La derivada de una suma es la suma de las derivadas de
Suma
estas funciones.
La derivada de una diferencia es la diferencia de las
Resta
derivadas de estas funciones.
La derivada del producto de un número real por una
Producto por un nº
función es igual al número real por la derivada de la
función
La derivada de la división de una función entre un
División por un nº
número real es igual a la derivada de la función entre el
número real
La derivada del producto de dos funciones es igual a la
Producto
derivada de la primera función por la segunda sin derivar
más la primera sin derivar por la derivada de la segunda.
La derivada del cociente de dos funciones es igual a la
derivada del numerador por el denominador sin derivar
Cociente
menos el numerador sin derivar por la derivada del
denominador y, todo ello, dividido por el denominador
sin derivar al cuadrado.
Composición
Regla de la cadena
Ejemplos de derivadas simples.
 Derivadas de la función constante:
 Derivadas de la función potencial:

Derivadas de la función irracional:

Derivadas de la función exponencial:

Derivadas de la función logarítmica:

Derivadas de las funciones trigonométricas:
;
;
;
;
;
;
ln2;
ln8 ;
;
;
Ejemplos de derivadas de operaciones.

Derivada de la suma y resta de funciones:

Derivada del producto o de la división de una función por o entre un número

Derivada del producto de funciones:
;

Derivada del cociente de funciones:
;
Ejemplos de derivadas compuestas (Regla de la cadena).



;






Ejercicio 7: Halla las derivadas de las siguientes funciones simples:
a)
b)
c)
f)
i)
d)
g)
j)
e)

h)
Ejercicio 8: Halla las derivadas de las siguientes funciones compuestas (Regla de la cadena):
a)
f)
l)
b)
g)
m)
c)
h)
d)
e)
n)
i)
o)
j)
p)
k)
q)
 Ejercicio 9: Halla las siguientes derivadas:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
dos derivadas
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
19)
dos derivadas
18)
dos derivadas
1.8 Regla de L´Hopital:
La regla de L´Hopital se aplica a un límite con la siguiente forma:
, donde “a” puede ser un número finito
o infinito, y el resultado de dicho límite nos dé una de las siguientes indeterminaciones:
ó
Si se cumplen estas premisas, la regla de L´Hopital nos dice que:
 Ejercicio 10: Calcula los siguientes límites:
–
a)
c)
d)
–
b)
–
 Ejercicio 11:
1. Considere la función
a) Halla los extremos locales
b) Halle los puntos de inflexión
c) Halle las asíntotas
2. Considere la función
a) Halla los extremos locales
b) Halle los puntos de inflexión
c) Halle las asíntotas
3. Considere la función
a) Halla los extremos locales
b) Halle los puntos de inflexión
c) Halle las asíntotas
4. Considere la función
. Determine su dominio, sus asíntotas, los intervalos de crecimiento
y decrecimiento, sus extremos, los puntos de inflexión, los intervalos de concavidad o convexidad.
Dibuje la gráfica de .
5. Considere la función
. Determine su dominio, sus asíntotas, los intervalos de crecimiento y
decrecimiento, sus extremos, los puntos de inflexión, los intervalos de concavidad o convexidad. Dibuje
la gráfica de .