Congruencias y solución de problemas

Congruencias y solución de
problemas
Instituto de Verano
AFAMaC 2010
Arturo Portnoy
Congruencias
●
Supongamos que en este momento son las
10:00 am. ¿Qué hora será dentro de 2500
horas? ¿Y qué hora fue hace 2500 horas?
Congruencias
●
●
●
Decimos que a≡b (mod n) si n|a-b.
La congruencia induce una relación de
equivalencia en los enteros.
Encontrar las clases de equivalencia módulo 4.
Congruencias
●
Encontrar 2 enteros positivos y 2 negativos ≡
38 (mod 3).
Congruencias
●
Propiedades algebráicas de la congruencia.
Congruencias
●
Encontrar el residuo módulo 5 de
37^4+49(801)+120.
Congruencias
●
●
Principio de sustitución: en sumas y productos
en una congruencia podemos sustituir
cantidades congruentes.
OJO: 12^6≡2^6 (mod 5) pero 2^6 no es
congruente a 2^1 (mod 5).
Congruencias
●
Demostrar que módulo 3 y módulo 9, cualquier
número es congruente a la suma de sus
dígitos. Estos son los criterios de divisibilidad
para el 3 y 9.
Congruencias
●
Encontrar el dígito de las unidades de
2(325)+3(8^7)+5104+123^5.
Congruencias
●
Encontrar el dígito de las unidades de
3^2008+3^2006.
Congruencias
●
Deducir el criterio de divisibilidad del 11,
usando congruencias.
Congruencias
●
Se tienen 2003 tarjetas numeradas. Se
remueven de 3 consecutivas en 3 consecutivas
hasta quedar 2. Juan dice que quedó la tarjeta
1002. ¿Miente o dice la verdad?
Congruencias
●
Conjuntos de residuos: Zn.
●
Operaciones en Zn.
Congruencias
●
Probar que en cualquier colección de 7 o más
enteros siempre hay dos cuya suma o
diferencia es divisible entre 11.
Congruencias
●
Escribir tabla de suma y producto para Z2, Z3,
Z4, Z5 y Z6. Observar inversos aditivos y
multiplicativos.
Congruencias
●
Encontrar el inverso multiplicativo de 3 módulo
17.
Congruencias
●
Encontrar el inverso multiplicativo de 12 módulo
15.
Congruencias
●
Aparear cada uno de los elementos invertibles
bajo el producto de Z12 con sus inversos.
Repetir para Z17.
Congruencias
●
Encontrar, si existen, las soluciones de 4x≡5
(mod 7).
●
Repetir para 4x≡5 (mod 6).
●
Repetir para 4x≡8 (mod 6).
Congruencias
●
Un vendedor de naranjas quiere saber cuantas
naranjas tenía ayer. Solo recuerda que eran
mas de 100 pero menos de 150 y que cuando
hacía montones de 2, 3, 4, 5, 6 naranjas
siempre sobraba 1.
Congruencias
●
Si S(n) denota la suma de los dígitos de un
número natural n, encuentre todas las
soluciones de n(S(n)-1)=2010, mostrando que
son las únicas. (Problema 1, XII OMCC)
Congruencias
●
Solución de Marcos Pertierra (estudiante de OMPR).
●
Sabemos que S(n)≡n (mod 9).
●
n(S(n)-1)≡n(n-1)≡2010≡3 (mod 9).
●
n²-n-3≡n²-n-12≡0 (mod 9).
●
(n+3)(n-4)≡0 (mod 9).
●
Por lo tanto, n≡6 (mod 9) o n≡4 (mod 9).
●
●
Además, como n|2010, los únicos factores que satisfacen lo
anterior son 6, 15, 67, 402, 670 y 1005.
Probando cada uno vemos que el único que sirve es 402.