2. ANÁLISIS DEL MECANISMO DEL PIANO En este capitulo se

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2. ANÁLISIS DEL MECANISMO DEL PIANO
En este capitulo se analizarán los aspectos más relevantes de la
mecánica del piano que serán necesarios a la hora de sintetizar un sonido
realista del instrumento. Sólo se tendrán en cuenta las particularidades
asociadas con la generación del sonido, dejando de lado otros aspectos de
la mecánica relacionados con la técnica pianística (dureza de tecla,
transferencia de peso….) que, aunque muy importantes para la ejecución
pianística, no son objeto de estudio del presente trabajo.
Así pues se analizarán los distintos elementos generadores del
sonido: martillos, cuerdas, tabla armónica, apagadores…, focalizando
nuestra atención más en los efectos sonoros que producen cuya simulación
es el objetivo de todo modelo de síntesis, y menos en el mecanismo físico
que los producen, aunque en muchas ocasiones causa y efecto se
encuentran tan indisolublemente unidos que se hace absolutamente
necesario estudiar ambos en conjunto.
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2.1. Breve historia del piano
Hasta el siglo XVIII convivieron tres grandes familias de
instrumentos de teclado. Los instrumentos de cuerda pinzada, como el
clave, virginal o espineta; los instrumentos de cuerda golpeada, como el
clavicordio; y finalmente el órgano, cuyo mecanismo de producción del
sonido lo asemeja más a la familia de los vientos.
El clavicordio, que puede considerarse el antecedente directo del
piano, permitía realizar matices dinámicos (piano, forte), realizar fraseo, e
incluso imitar a los cantantes en el vibrato. Su principal inconveniente era
su reducido volumen de emisión del sonido, lo que impedía la ejecución en
público, por pequeño que fuera el auditorio. De la búsqueda de un mayor
incremento dinámico y de riqueza de contrastes, surge en 1705, en los
talleres de un constructor de instrumentos de teclado llamado Cristofori, el
nuevo Gravicembalo col piano e forte que pronto fue conocido con el
nombre de fortepiano.
El fortepiano primitivo, no alcanzaba una gran sonoridad, ni una
elevada variedad tímbrica, pero poseía características que han llegado hasta
nuestros días como la percusión desde abajo, un sistema que permitiera a la
cuerda vibrar libremente tras la percusión, y una palanca suficientemente
larga y sensible para transmitir eficazmente las variaciones de velocidad
durante el descenso de la tecla.
Durante el siglo XIX conviven dos tipos de fortepianos. Los de
mecánica vienesa, conectaban directamente el macillo a la tecla mediante
una bisagra y poseían por tanto una acción ligera y de pequeño calado. En
los de mecánica inglesa, en cambio, el macillo estaba atado al instrumento,
y una serie de palancas, permitía multiplicar la velocidad del macillo,
mientras que la tensión de las cuerdas implicaba un bastidor más sólido y
resistente
El camino que conduce hasta el moderno piano de concierto no es
más que un perfeccionamiento progresivo de la mecánica inglesa, unido al
mecanismo de doble repetición inventado por Sebastián Erard, a mediados
del siglo XIX y que permite al macillo volver a percutir la cuerda antes de
que vuelva a su posición de reposo.
En el siglo XX, pocas modificaciones de relieve se han añadido al
diseño del piano, que esencialmente es el mismo de finales del XIX. Sin
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embargo a finales del siglo XX, aparece el “piano electrónico” al que
podríamos perfectamente designar como un nuevo instrumento, dadas las
diferencias de mecánica, así como de generación del sonido. La idea del
sintetizador, que busca inicialmente la imitación, por síntesis digital, de los
instrumentos sinfónicos, pronto se visualiza como un camino potencial para
la búsqueda de nuevas sonoridades y nuevos medios de expresión. Sin
embargo, en lo que respecta concretamente a la imitación del sonido del
piano, queda aún mucho trabajo por hacer en este campo.
A la vista del rápido desarrollo de nuevos instrumentos basados en
generación digital del sonido, surge la tentación de especular sobre el
futuro de los instrumentos tradicionales. Es más que probable, que en el
futuro, conseguida ya una imitación perfecta del sonido y la mecánica del
piano, la mayor parte de la música se interprete con instrumentos
electrónicos, ya que pueden lograrse extrapolaciones a nuevos sonidos,
matices y niveles dinámicos, que no eran accesible por los originales, así
como resuelven el fastidioso problema de la afinación.
Es difícil deducir a priori, si los sonidos de piano pertenecen al grupo
de sonidos tradicionales que perdurarán frente a los sonidos de nueva
generación. No obstante, habida cuenta de la actual popularidad del piano y
de la lenta evolución en cuestión de gusto musical, es posible profetizar que
el sonido pianístico gozará de una salud envidiable al menos por otros 300
años.
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2.2. Aspectos básicos de la acústica del piano
Mecánica básica
Las distintas piezas de la mecánica básica de la percusión de un
piano de concierto se muestran en la figura 2.1
Figura 2.1. Niveles horizontales en la construcción del piano
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El elemento productor del sonido es una cuerda de acero. Cada una
de las cuerdas se enrolla por uno de sus extremos alrededor de una clavija y
por el otro está sujeta a la armazón metálica gracias a unos clavos o puntas
de sujeción. Cercano a las puntas de sujeción se encuentra el puente
conectado a su vez a un amplio panel de madera llamado tabla de armonía
o tabla de resonancia. La altura del puente es ligeramente mayor que las
terminaciones metálicas, causando por tanto una presión hacia abajo en la
tabla de armonía.
Figura 2.2. Mecanismo básico del piano
La cuerda es golpeada por un macillo, que se eleva una vez pulsada
la tecla mediante un complicado sistema de palancas denominado acción
Figura 2.3. Detalle del mecanismo de la acción
El martillo o macillo golpea siempre en una posición cercana al
clavijero. Concretamente, llamando L a la longitud nominal de la cuerda y
d a la distancia del punto de colisión a la cuerda, la relación d/L suele
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oscilar entre 1/7 y 1/9. Reducir la distancia d generalmente proporciona un
tono débil, debido a que el primer armónico tendrá menos energía.
Aumentarla demasiado puede provocar un tono borroso y poco claro.
Generación del sonido
Cuando el macillo golpea la cuerda, ésta se deforma en el punto de
colisión apareciendo dos ondas en la cuerda, viajando en direcciones
opuestas. El frente de ondas resultante es un pulso, cuya anchura va
aumentando hasta que uno de los frentes de onda se refleja en la clavija
(que es la terminación más cercana al punto de colisión). Dado que el
clavijero puede considerarse como una terminación rígida, el coeficiente de
reflexión es negativo, lo que significa que la onda, se refleja hacia abajo,
invirtiendo el sentido de la perturbación y devolviendo el desplazamiento al
nivel de equilibrio. Por tanto el frente de ondas que se desplazaba
inicialmente hacia la izquierda se convierte ahora en la cola trasera de un
pulso de anchura fija. Cuando el pulso llega al puente sufre de nuevo una
reflexión y así sucesivamente.
La longitud de la cuerda, junto con la velocidad de propagación en el
medio determina el tiempo de ida y vuelta del pulso y por tanto el periodo
de la onda pulsante resultante del recorrido del pulso por la cuerda.
La velocidad de propagación del pulso en la cuerda queda
determinada por la tensión (a mayor tensión mayor velocidad) y la masa
por unidad de longitud (cuanto más ligera sea la cuerda mayor velocidad).
La frecuencia fundamental de la onda resultante o lo que es lo mismo la
frecuencia del tono percibido queda determinada pues la longitud de la
cuerda, su tensión y su densidad lineal. En particular, la longitud y
densidad suelen intercambiarse para reducir el tamaño del instrumento,
sobre todo en los bajos, que requerirían de una longitud excesiva (a menor
frecuencia, mayor periodo y por tanto mayor longitud). Por ello, con objeto
de disminuir la longitud, las cuerdas graves, también llamadas bordones, se
fabrican en acero hilado en cobre.
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Figura 2.4 Propagación del pulso inicial y Análisis espectral del pulso
viajero.
La onda formada por el pulso recorriendo la cuerda en toda su
longitud puede descomponerse en suma de los armónicos de la cuerda
vibrante. El armónico fundamental, cuya longitud de onda es el doble de la
longitud de la cuerda determina la frecuencia del tono percibido, mientras
que los armónicos secundarios proporcionan el timbre característico del
sonido del piano. En pianos reales, las frecuencias de resonancia de las
cuerdas no son exactamente armónicas, por lo que la relación entre los
armónicos no es proporcional. Esto significa que la vibración de la cuerda
no será completamente periódica conforme el tiempo avance, lo que
confiere una cualidad menos mecánica y más “viva” al sonido resultante
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Amplificación del sonido
Desafortunadamente, la cuerda vibrante por sí sola no puede generar
ningún sonido de forma eficaz y necesita por ello de un mecanismo
amplificador. Esto se consigue en un piano mediante la tabla armónica o
tabla de resonancia, que es un radiador mucho más eficiente del sonido y a
la que se conectan las cuerdas por medio del puente. Sin embargo, la tabla
de armonía es mucho más pesada que la cuerda, lo que significa que la
cuerda no podrá hacer vibrar a la tabla de resonancia y la energía seguirá
atrapada en la cuerda
En términos ingenieriles, existe una desadaptación de impedancias
entre la cuerda y la tabla. Desde el punto de vista de la cuerda, la tabla tiene
una gran impedancia de entrada, lo que significa que para adaptar
impedancias debemos incrementar la impedancia mecánica de la cuerda.
Esto puede lograrse haciendo la cuerda más pesada o bien incrementando la
tensión. En cualquier caso esto afecta a la rigidez y por tanto al timbre
deseado del piano. Por ello, la solución más común consiste en usar para
cada nota dos o tres cuerdas afinadas a la misma frecuencia (o casi),
aumentando así la energía transferida y por tanto el volumen sonoro
Sin embargo la amplificación sonora supone un sacrificio en la
duración del sonido. Ya sabemos que el pianista no puede suministrar
continuamente energía a la cuerda y por tanto la nota emitida está
condenada a extinguirse. Pero la velocidad de decaimiento está reñida con
la amplificación sonora, de modo que si ajustamos demasiado las
impedancias de la cuerda y la tabla de resonancia obtendremos un tono de
gran volumen sonoro pero de escasa duración, en cambio si usamos
cuerdas más ligeras y menos tensas, obtendremos un tono más duradero
pero de menor sonoridad.
Este compromiso entre duración y volumen es un difícil de conciliar,
ya que la impedancia de la tabla de resonancia puede variar bruscamente de
nota a nota.
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2.3. Efectos de segundo orden
Rigidez no lineal del martillo
Volviendo a la excitación original de la cuerda por el golpe de
martillo, no solo la amplitud del pulso cambia con la fuerza del impacto,
sino también la forma del mismo. Esto significa que una nota en forte no
es solo la versión amplificada de una nota en piano. Esto tiene
consecuencias muy importantes en la síntesis digital del sonido de piano.
La razón de este efecto reside en una peculiaridad de los macillos
denominada rigidez no lineal. Esta característica consiste en que el
martillo, es sentido como un material suave por la cuerda cuando es
golpeada a un nivel dinámico pequeño (menor velocidad) y se transforma
en un material mucho más rígido cuando la cuerda es golpeada a gran
velocidad. Esta diferencia de rigidez en el martillo según el nivel dinámico,
hace que una nota en forte, genere un pulso inicial mucho más abrupto que
una nota en piano, por lo que la primera tendrá un componente espectral
mucho mayor que la segunda.
Figura 2.5. Diferencias en el espectro de los distintos niveles dinámicos.
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Acoplamiento entre cuerdas
Otro efecto de segundo orden en la generación del tono en el piano
se obtiene por el hecho comentado anteriormente de la necesidad de usar
más de una cuerda por nota para lograr un compromiso adecuado entre
volumen y duración del tono.
En la figura, se muestra la función típica de decaimiento para un tono
de piano. La cuerda es golpeada aproximadamente en t = 2 y el apagador se
libera aproximadamente en t = 17 . Se observa claramente que la curva
puede dividirse en dos regiones. La región inicial, a la que podríamos
denominar tono transitorio, decae con mayor rapidez que en la segunda
región, que podríamos denominar tono permanente.
Figura 2.6. Nivel de Presión sonora frente al tiempo.
El comportamiento de la curva se explica mediante la existencia de
dos modos distintos de vibración, un modo con polarización vertical y otro
con horizontal. El modo polarizado verticalmente, es el principal modo
excitado por el martillo, así que comienza a una amplitud mucho mayor
que el horizontal. Sin embargo, dado que el puente, mediante el que se
conecta la cuerda a la tabla de resonancia, no opone tanta resistencia en la
dirección horizontal como en la vertical, el decaimiento del modo
verticalmente polarizado es mucho más rápido. Por tanto, una cantidad
relativamente apreciable de vibración horizontal se convierte, tras el
transitorio, en la componente dominante.
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Sin embargo, el principal mecanismo en la generación de este tono
permanente, no es la existencia de estos dos modos, sino el acoplamiento
dinámico entre las 2 o 3 cuerdas golpeadas por el mismo martillo.
Para simplificar la cuestión, pensemos en dos cuerdas atadas al
mismo puente. Para estas cuerdas es posible vibrar en fase (modo
simétrico), o en oposición de fase (modo antisimétrico). En el caso
antisimétrico, las fuerzas ejercidas por el puente se cancelarán,
transmitiendo poca energía a la tabla de resonancia, con lo que el
decaimiento del tono será lento. En el caso simétrico, la fuerza en el puente
será mucho mayor que en el caso de una sola cuerda, así que la energía
transmitida a la tabla de resonancia será mayor así como la tasa de
decaimiento.
En la figura puede apreciarse la diferencia entre el decaimiento del
tono para una sola cuerda y para dos cuerdas acopladas. Puede verse
claramente, que un nuevo modo de vibración aparece, en el cual la cuerda
original puede vibrar por un tiempo mucho mayor antes de perder
totalmente su energía. Este es el modo denominado anteriormente como
antisimétrico.
Figura 2.7. Diferencias entre el decaimiento para una cuerda y dos cuerdas
conectadas al mismo puente.
Sin embargo, el modo en que el cerebro procesa los sonidos permite
tomar ventaja de esta situación. Un sonido es percibido como fuerte si
comienza fuerte, incluso aunque decaiga rápidamente y es percibido como
sostenido, incluso si es muy débil. Por tanto, un sonido que comience con
un volumen elevado transitorio y que decaiga rápidamente a un régimen
permanente de tono sostenido aunque débil, será percibido conjuntamente
como forte y sostenuto
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Inarmonicidad
Los armónicos del sonido de piano, no son exactamente múltiplos
enteros de la frecuencia fundamental. El espectro completo está algo más
expandido y la diferencia entre parciales es mayor que la frecuencia
fundamental. Típicamente, el décimo parcial toma la frecuencia del que
sería el undécimo en un caso totalmente armónico. En principio, puede
pensarse que esta inarmonicidad, es un factor a minimizar. Sin embargo,
contribuye a la formación del tono de piano y es un responsable principal
de su singularidad, añadiendo cierta “calidez” al sonido. Mediante
simulación, puede demostrarse que un piano sin inarmonicidad sonaría
artificial, por tanto será un factor a tener en cuenta a la hora de modelar el
sonido de piano.
Este fenómeno puede atribuirse a la rigidez inherente a las cuerdas
del piano, que produce una fuerza elástica que tiende a restaurar el estado
inicial oponiéndose a la perturbación. Esto lleva a la dispersión de las
ondas durante la propagación. La velocidad de fase de las ondas de alta
frecuencia es mayor que las de baja frecuencia y por tanto las frecuencias
más altas alcanzan el puente en un tiempo algo menor.
Considerando la ecuación de ondas de una cuerda rígida y sin
pérdidas:
2
4
∂2 y
2 ∂ y
2 ∂ y
=
c
−
K
∂t 2
∂x 2
∂t 4
(2.1) c =
T
ρ
K=
EI
ρ
I=
πd 0 4
64
(2.2)
Donde y es el desplazamiento transversal, x la posición a lo largo de
la cuerda, t el tiempo, c la velocidad de onda, K el coeficiente de rigidez, ρ
la masa lineal y T la tensión. E es el módulo de Young de la cuerda e I su
momento de inercia que depende del diámetro de la cuerda d 0 . Resolviendo
la ecuación de onda para rigidez pequeña (K<<1), se obtienen los
siguientes modos:
f n = nf 0 1 + Bn
2
para n>0
(2.3)
1 T
EIπ 2
f0 =
B=
2L ρ
TL2
Donde f 0 es la frecuencia fundamental, B el factor de inarmonicidad.
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(2.4)
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Puede verse por tanto, que el factor de inarmonicidad es proporcional
al diámetro de la cuerda (a su cuarta potencia). A mayor diámetro, la
cuerda tiene mayor rigidez, asemejándose cada vez más a una barra rígida.
Esta es otra razón por la cual, las cuerdas del registro grave se fabrican en
acero hilado en cobre, de forma helicoidal y no simplemente aumentando el
grosor de la cuerda.
El factor de inarmonicidad es también inversamente proporcional a
la longitud de la cuerda (a su cuadrado). Por tanto, los pianos de cola son
menos inarmónicos que los pianos verticales.
Al oído, los sonidos de piano parecen más inarmónicos en el registro
grave que en el agudo. Una de las razones es que las cuerdas graves
contienen más parciales que las agudas, permitiendo una mayor percepción
de la inarmonicidad. Otra razón es que el umbral de audición está cercano a
la inarmonicidad del piano en el rango agudo.
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Modos resonantes en la tabla armónica
La tabla armónica, como todo cuerpo físico, exhibe unas frecuencias
o modos resonantes. El problema reside en que, al ser un elemento muy
grande, las frecuencias resonantes estarán en el rango de audición y por
tanto deben ser tenidas en cuenta a la hora de modelar el sonido del piano
En la siguiente figura, pueden verse los 4 primeros modos resonantes
para una tabla armónica típica
Figura 2.8. Modos resonantes en una tabla armónica.
Para visualizar el patrón de onda estacionaria, la tabla armónica se
cubre uniformemente con una mezcla de partículas finas y se conecta a un
vibrador. El vibrador se sintoniza lentamente hasta alcanzar una de las
frecuencias resonantes, momento en el cual se observará un incremento en
el nivel sonoro emitido por la tabla armónica. En ese momento las
partículas se acumularán en los nodos mientras que los vientres
permanecerán limpios.
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La frecuencia del modo resonante más bajo suele estar en torno a los
50 Hz. En este modo, el centro de la tabla armónica vibra violentamente
(vientre) mientras que los bordes permanecen estáticos (nodos). La tabla
armónica pierde rápidamente su efectividad como elemento radiante y
amplificador del sonido a frecuencias por debajo de las del primer modo
resonante, así que los tonos por debajo de 50 Hz no suelen tener mucha
energía en su primer armónico.
El patrón de vibración de la tabla armónica, con sus modos
resonantes, deberá tenerse en cuenta a la hora de modelar el sistema de
síntesis, especialmente en los modelos físicos, en los cuales se busca
simular el mecanismo físico de generación del sonido.
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