Errores de especificación en los contrastes de raíz unitaria

ESTADISTICA ESPAÑOLA
Vol. 37, Núm. 138, 1995, págs. 15 a 44
Errores de especificación
en los contrastes de raíz unitaria
por
JESI^S CLEMENTE LOPEZ, ANTONiO MONTAÑES BERNAL
y MARCELO REYES GARGIA
Departamento de Análisis Económico
Universidad de Zaragoza
RESUMEN
EI análisis de la hipótesis de raíz unitaria ha sido un tema ampliamente debatido, en gran rnedida motivado por los recientes descubrimientos en el marco conceptual del análisis de cointegración de
variables económicas. En este trabajo nos centramos en un aspecto
de estos contrastes al que no se le ha prestado toda la atención
que, a nuestro juicio, se merece: los errores en la especificación del
modelo. En concreto, demostramos que cuando se especifica de forma incorrecta este proceso generador, las estimaciones de los parámetros y sus distribuciones sufren serias alteraciones, provocando
incluso su divergencia. La importancia de este hecho se pone de
manifiesto en el e^ercicio de simulación de la sección 3. En él se estudia el comportamiento de una versión por etapas del contraste de
Dickey-Fuller (DFE) y una modificación de ésta debida a Dolado,
Jenkinson y Sosvilla (DJS). Se comprueba que los errores en la especificación del proceso generador de datos contribuyen sustancialmente a distorsionar los resultados.
Pa/abras clave: raíz unitaria, procesos Wiener: error de especificación, contrastes por etapas de raíz unitaria.
Clasificacián AMS: 62P20, 90A20.
ES""TAUISTICA ESPAN(:)L.A
1.
INTRODUCCION
EI estudio de ta hipótesis de raíz unitaria ha experirnentado un desarrollo espectacular desde los años ochenta. Buena parte de los recientes descubrimientos en áreas tan diversas como el análisis de cointegración de variables económicas o la teoría de ciclos económicos se fundamentan en su estudio, por lo
que se hace necesario diseñar estadísticos que sean capaces de determinar su
existencia con exactitud. Dickey y Fuller (1979 y 1981) fueron los pioneros en
este campo, definiendo una serie de estadísticos que permiten el contraste de la
hipátesis anterior atendiendo a las diferentes características de la variable de interés. Estos son ^t , zµ y i, respectivamente relacionados con los siguientes modelas:
M^^Yr =µ+^t+pYr-^+^r
^1^
Mµ^Yr =µ+PYr-,+ur
^2^
M: Yr = P Yr-^ + ^r
(3]
en los que t es una tendencia lineal de carácter determinístico y µ es el término
independiente del modelo. En los modelos anteriores también podemos contrastar la significatividad individual de los parámetros ^ y µ bajo la hipótesis mantenida de raíz unitaria. Los estadísticos que se deben usar en ese caso son i^t
(Ho:^=OenMt)y^µµ(Ho:µ-OenMµ).
Este conjunto de estadísticos presenta tres características comunes a todos
ellos que dificultan su uso: ninguno de ellos sigue distribuciones clásicas, junto
a la hipótesis nula coexisten hipótesis mantenidas {no contrastables) y, por último, son poco potentes en el sentido de no ser capaces de discriminar correctamente entre la hipótesis nula y ciertas alternativas situadas en un entorno muy
próximo a aquélla. La solución al primero de estos problemas se encuentra en
los propios trabajos de Dickey y Fuller, quienes tabulan los valores críticos de
las distribuciones. En segundo lugar, la existencia de hipótesis mantenidas sólo
afecta si éstas no se cumplen. En estas situaciones las distribuciones de los estadísticos varían y, consecuentemente, también sus valores críticos, por lo que
el resultado final del contraste de raíz unitaria puede verse seriamente afectado.
Por último, para mejorar su potencia se han diseñado métodos de contraste
más complejos que no han podido borrar esa sensación de ineficiencia cuando
el valor del parámetro p se encuentra muy próximo a la unidad. Uno de estos
métodos es contrastar la existencia de raíz unitaria mediante especificaciones
que vayan «de lo general a lo particular». Esta idea conllevaría un análisis por
etapas de la hipótesis nula comenzando por la especificación más general (M ^)
hasta Ilegar al caso más particular (M ). EI proceso finaliza bien al rechazar la
ERR<)RES U^ ESPE:C:IFlCAC1C)N EN L(^S CC)NTRASTES UE RAL'I_ t._°NI'TARiA
I7
hipcítesis de raíz unitaria, bien cuando existe evidencia suficiente para admitir
que la variable presenta un elernento determinístico no nulo (se acepte o se rechace la existencia de raíz unitaria). Dada la propia filosofía de esta técnica, nos
referiremos a este tipo de contrastes como contrastes de raíz unitaria por etapas.
A pesar de su gran atractivo, este método de contraste se ve influido negativamentamente, además de por las deficiencias expuestas en el párrafo anterior,
por un problema adicional muy poco analizado en la literatura: la posibilidad,
ciertamente no nula, de determinar incorrectamente el proceso generador de
datos. Nuestro objetivo en el presente trabajo es señalar ta importancia que tiene la correcta especificación del proceso generador de los datos en el sentido
de que la omisión de ciertos elementos determinísticos en la especificación del
modelo estimado puede distorsionar decisivamente los resultados del contraste.
Para ello vamos a organizar el trabajo como sigue. En la sección 2 analizamos asintóticamente los efectos que sobre el contraste de raíz unitaria tiene la
incarrecta especificación del proceso generador de los datos. En especial, demastramos que la omisión de alguna variable relevante causa la aparición de
raíces explosivas espúreas y la divergencia de los distintos pseudo t-ratios.
Pianteamos en la sección 3 un experirnento de Monte Carlo que analiza el efecto que tienen estos resultados sobre el contraste de Dickey-Fuller en su versión
polietápica, así como para una modificación de este contraste propuesta en Dolado, Jenkinson y Sosvilla {1990) en el que se intenta aprovechar las propiedades asintóticas de los contrastes de raíz unitaria. Los resultados obtenidos para
ambos métodos evidencian una gran dependencia entre el correcto funcionamiento y su capacidad para detectar los componentes determinísticos que generaron las observaciones de la variable en estudio: cuanto mayor sea esta última,
mejor es 1a potencia de los dos métodos de contraste analizados. EI trabajo termina con las conclusiones más importantes a las que se ha liegado, presentando en un apéndice las demostraciones de los teoremas de la sección ^.
2.
EFECTO DE LOS ERRORES DE ESPECIFICACIC)N
EN LOS CONTRASTES DE RAIZ UNITARIA
Sea una variable definida por el siguiente proceso generador de datos:
Yt = p Yt_ ^+ u t
P=1
Yo = ^
^4^
donde ut es la perturbación aleatoria del modelo que cumple las siguientes condiciones:
a)
E(ut)=0d t
ESTADISTIC'A E:SPAÑ()L.A
jx
b)
sup E ^ u t ^^< x para algú n^3 > 2
C)
c^^2 = lim
r
T-t E (ST ) existe y c^^2 > o CST =^ u, )
T --^ ^
d)
u^ es un strong-mixing con coeficientes de rnezcla am tales que
^
^ am(1 -2/^) ^ o0
1
Estas condiciones permiten que la perturbación aleatoria siga un amplio número de procesos en los que se incluyen los modelos ARMA de la metodología
Box-Jenicins. A lo largo del trabajo impondremos otra restricción; consideraremos que las perturbaciones aleatorias se distribuyen como u^ ^ iid (o, a2 ).
Bajo la hipótesis nula Ho : p =1, la variable Yr es integrada de orden 1 en el
sentido de Engle y Granger, al ser necesaria una diferenciación para que alcance la estacionariedad. Consecuentemente, el modelo [4] se puede expresar
como sigue:
r
Yt =Y^_t+u^ =^u;
r=,
[5]
En estas circunstancias, la variable Yt deja de ser estacionaria y ergódica,
imposibilitando la aplicacibn de la teoría asintática tradicional. Así, el teorema
central del límite (TCL), teorema fundamental en aquel á mbito, da paso al teorema central del límite funcional (TCLF) [ver Banerjee et al. (1993)]. Con estas
condiciones, si r pertenece al intervalo [0,1 ] podemos definir un proceso estocástico del tipo
xr (r) ^ T-
t/2
S^Tr]
[6]
tal que para tamaños muestrales suficientemente grandes
XT (r) ^ B(r)• a W(r)
[7]
donde «^» significa convergencia débil, «•» igualdad en distribución y
a2= lim T-' E(ST )
[8]
% -. a
Los procesos B{r ) y W(r ) se les conoce con el nombre de movimiento
browniano y proceso de Wiener, respectivamente. Para una mayor discusión de
todos estos conceptos y sus aplicaciones se remite al lector a Phillips (1987) o
Banerjee et al. (1993).
ERRORES DE ESPEt:IF'1C'ACIC)N EN L.OS ('ON"TRAS"I'ES UE RAIZ UNITARIA
^^
En este nuevo marco de trabajo, el t-ratio para el contraste de la hipótesis
de raíz unitaria converge hacia:
[w(1)^-^]
^
2 j [ W( r}]^ d r
0
j9]
donde [9] es una combinación de procesos de Wiener. AI estadístico anterior se
le denota z y sus valores críticos se encuentran tabulados en Fuller (1976).
EI modelo [4] coincide, bajo la hipótesis nula, con un paseo aleatorio puro. Esta
especificación puede ser, no obstante, ciertamente restringida ya que es posible
que ciertos elementos determinístícos afecten al comportamiento de la variable Y^ .
Para resolver este problema, virnos en el apartado introductorio cómo Dickey y
Fuller proponen dos nuevas especificaciones según se incluya un término independiente (M µ} o, además de éste, una tendencia determinística (Mt ). En ambos es
posible contrastar la hipótesis nula de raíz unitaria, si bien con algunas particularidades. En Mµ, Dickey y Fuller calculan la distribución del estadístico ^^l bajo la hipótesis nula p= 1, pero con la hipótesis mantenida µ= 0. Asimismo, en M7 obtienen la distribución de ^T considerando ahora que ^-s = 0. AI igual que sucedía en [9],
la no ergodicidad de la variable bajo la hipótesis nula supone que las distribuciones
de estos dos estadísticos convergen hacia combinaciones de procesos de Wiener,
por tanto desconocidas, siendo necesaria la obtención de sus valores críticos.
Como vemos, y al margen de la inherente falta de potencia de este tipo de
contrastes demostrada en trabajos previos [por ejemplo, en Schwert (1989)j, un
investigador interesado en el análisis de la estacionariedad de una variable puede cometer dos tipos de errores a la hora de contrastar la existencia de una raíz
unitaria en la variable de interés. EI primero es la elección incorrecta del modelo
generador de datos y el segundo que las hipótesis mantenidas no se cumplan.
Este último caso ha sido ya tratado con cierta extensión en la literatura [ver
West (1988) o Hylleberg y Mizon (1989)], demostrándose la convergencia de los
respectivos pseudo t-ratios hacia distribuciones normales. En cambio, a la primera de las cuestiones no se le ha prestado la misma atencián a pesar de que
ésta tiene una alta relevancia, tal y como vamos a demostrar.
En la figura 1 se simulan los valores de dos series generadas por dos procesos distintos entre sí. Ambas presentan una raíz unitaria, aunque se diferencian
en los elementos determinísticos que intervienen en el modelo: la primera se relaciona con el modelo M^ ya que presenta término independiente y tendencia determinística, mientras que la segunda lo hace con Mµ ya que no presenta este último componente. De la comparación entre ambas series resulta evidente que en
ocasiones puede ser ciertamente complejo discernir el verdadero procesa generador de los datos. Un investigadar que se enfrente a cualquiera de estas dos series
ESTADISTIC'A FSPAÑOI.A
7^)
va a tener serias dificultades para poder especificar correctamente el modelo en el
que se debe contrastar la existencia de una raíz unitaria. Además, su correcta determinación no es una cuestión irrelevante, sino que puede tener una influencia
negativa sobre el resultado final del contraste, tal y como vamos a cornprobar a
través del siguiente ejercicio de simulación. Supongamos que la variable yt viene
generada por la primera de las dos series consideradas, esto es, por
(10}
yt = 0'S +^ t+ yr + u^
donde u t es un ruido blanco. Vamos a permitir que el parámetro ^ tome valores
dentro del intervalo ( 0'005, 0'1 }. En este rnodelo vamos a estudiar el comportamiento de los estadísticos ^^^ y ,cµ. Para un tamaño muestral de 100 observaciones y 1.000 replicaciones, los valores medios de los dos estadísticos para cada
valor de ^ se presentan, respectivamente, en la figura 2. Los resultados son muy
elocuentes por sí mismos. Si el valor del parámetro ^ es inferior a 0'05, el valor
medio del estadístico ^^^ se encuentra muy por debajo del valor crítico a un nivel
de significación del 5°l0. Esta circunstancia nos Ileva a aceptar la hipótesis nula
del contraste en un número elevado de ocasiones y, por tanto, a suponer que el
proceso que generó los datos no presenta una tendencia determinística. De ahí
que el investigador analice la existencia de una raíz unitaria no en el modelo
Mt, como sería lo correcto, sina en Mµ mediante el análisis del estadístico ^µ.
Figura 1
SERIES SIMULADAS
SERIE 1: yt = 0,5 + 0,01 t+ yt _^ + u^ . SERIE 2: y^ = 1+ yt _^ + ur
120
100
80
60
40
20
1
10
19
28
37
46
Serie 1
55
64
••••••• Serie 2
73
82
91
100
21
ERRORES DE ESPECIf^1CACiON EN [.OS CO^YTRASTES DE RAI"l._ t;N(TARIA
Figura 2
EVOLUCION DE ^CJS ESTADISTICOS z^^ y zµ CUAND4 VARIA ^ EN EL POD:
yl =^,5+^it+yt_,+ut
t^t
7
6
5
4
3
2
1
0,005
0,015
0,025
0,035
0,045
0,055
0,065
0,075
0,085
0,095 ^
tµ
25
20
15
10
:..................^----------.^_.....:.--------------._.-----------...----------------------------^---...-------.-------------^---------;
5
(Punto Crítico^
0
0,005
0,015
0,025
0,035
0,045
0,055
0,065
0,075
0,085
0,095 ^
ESTAUISTI('A E:SPAti(>L.A
Corno podemos ver en la figura 2, el uso de este último estadístico queda sensiblemente distorsionado por la omisión del parámetro ^^, ya que los valores medios
de ^^, son siempre positivos. Esto nos indica que la estimación del parámetro autorregresivo es superior a la unidad, cuando en realidad es igual a la unidad. Más
aún, el propio valor del estadístico ^^, es tan elevado que nos permite rechazar la
existencia de una raíz unitaria frente a una alternativa explosiva. Por tanto, un investigador que siguiera estos pasos a la hora de analizar la estacionariedad de la
variable y^ terminaría concluyendo que ésta es explosiva cuando, en realidad, el
proceso generador de los datos no es expiosivo, sino que contiene una raíz unitaria.
EI mensaje que se desprende de este sencillo ejernplo es que la omisión de
ciertos elementos determinísticos puede Ilegar a distorsionar los resultados finales del contraste de raíz unitaria: el proceso generador contiene una raíz unitaria,
pero la conclusión final a la que Ilegamos es que el modelo tiene una naturaleza
explosiva. Esta circunstancia supone que hemos de tener un cuidado especial a
la hora de seleccionar el modelo en el que vamos a contrastar la existencia de
una raíz unitaria. Sin embargo, la elección del modelo que mejor se adecúa a los
datos no siempre es una cuestión sencilla. EI mismo ejemplo que hemos analizado nos sirve para comprender cómo, en ocasiones, distinguir entre dos especificaciones alternativas puede ser und tarea bastante cor^plicada. De ahí que el
riesgo de incurrir en este tipo de errores pueda ser elevado.
E1 anáiisis que hernos realizado, aun cuando resulta bastante revelador, no
deja de ser sino un rnero ejemplo y, por tanto, sería incorrecto extrapolar sus resultados para cualquier otra situación distinta de la considerada. No obstante, sí
que resulta muy atractivo investigar de una forma general el efecto que produce
un error en la correcta especificación del modelo sobre los contrastes de raíz
unitaria. Este es el objetivo de los siguientes teoremas: estudiar analíticamente
las consecuencias de la omisión de un parámetro relevante sobre los diversos
estadísticos propuestos por Dickey-Fuller. Comenzaremos por evaluar el efecto
causada por la omisión de una tendencia determinística tanto en el modelo M µ
como en el caso más simple M para, posteriormente, hacer lo propio con la omisión del término independiente en M. Los resultados más interesantes los recogemos en los siguientes teorernas:
Teorema 1
Si el proceso generador de datos de la variable Yr contiene una tendencia
determinística (M^) pero el investigador omite su efecto considerando que el
modelo correcto presenta tan sólo un término independiente (M µ), entonces se
cumple que:
a)
T(p-1)^, 15
8
ERJt!)Rf:.S DF: ESPE('IFI('A<'1()N ^:N l_()ti C'C)NT"RASTES [)E RA1^! C.'Nt"TAR[A
b)
T ^' ( ^ --- ^^ ) ^ 3 ^
c^
T-2 u2 ^
23
16
^
^2
192
d}
T -'/2 tµ ^ ^15
e}
^- -,/2 tµµ ^ Y ^
Demostración: Ver apéndice.
La incorrecta especificación del proceso que generá los datos conlleva muy
serios problemas tanto en la estimaci^n de los parámetros del modelo como en
el contraste de la hipótesis de raíz unitaria. Es conocido que la omisión de una
variable relevante en la especificación del modelo estimado sesga. los estimadores m.c.o. de los diversos parámetros del modelc^ [ver Johnston (1987}: 312-314],
si bien este sesgo presenta características diferentes en cada uno de los casos
analizados.
EI esti;nador del parámetro p tiende a tomar un valor superior a la unidad,
esto es, crea de forma espúrea una raíz explosiva. Más aún, dado este comportamiento, no es de extrañar que el estadístico para el contraste de 1a hipótesis de
raíz unitaria diverja, creciendo indefinidamente con el tamaño muestral, lo que
Ilevará a sobrerrechazar la hipótesis nula frente a la alternativa de raíz explosiva.
Lo mismo sucede para el término independiente y el parámetro de dispersión. Sus es#imaciones divergen, así como el pseudo t-ratio del prirnero, conduciendo al investigador a admitir como válido el modelo M^^. Esta circunstancia
lleva emparejada una segunda cuestión tan importante como la anterior. Ya que
para el invesiigador ^, ^ 0, esta errónea información le Ilevará a utilizar los valores críticos de la normal, por cuanto en ausencia de otra información este investígador supone que el pseudo t-ratio converge sobre esta distribución. Si aplica
esta incorrecta convergencia, es evidente que el contraste de la hipótesis de
raíz unitaria queda ciertamente sesgado a favor de la hipótesis alternativa, no
dando prácticamente opción a su aceptación.
La incorrecta determinación del proceso generador de datos produce una
clara desviación tanto en las estimaciones como en sus respectivos estadísticos
de contraste. Afgo similar ocurre cuando el verdadero proceso generador sigue
siendo el modelo M^ pero el investigador plantea el modelo más simple de los
considerados, es decir, aquel en el que no aparecen elementos determinísticos.
Su estudio lo efectuaremos a partir del siguiente teorema.
ESTAUISTICA F:SPAfVULA
?4
Teorema 2
Si el proceso generador de datos de la variable Y^ contiene una tendencia
determinística (Mt) pero el investigador omite su efecto considerando que el
modelo correcto es un paseo aleatorio puro (M ), entonces se cumple que:
a)
T(p-1)^ 5
2
b)
T -2
48
c)
T-'^2t^^Í15
Demostración: Ver apéndice.
Como se deduce de la comparación de los dos primeros teoremas, se mantienen las mismas características del caso anterior. En primer lugar, los valores
del estimador del parámetro p toman valores superiores a la unidad simulando
un comportamiento explosivo en la variable que no se corresponde con la realidad. Estos valores son incluso superiores a los detectados en el teorema anterior. La segunda de estas características es la divergencia tanto de la estimación del par^metro de dispersión como del estadístico ^. Debido a esta circunstancia, el contraste favorece el rechazo de la hipótesis de raíz unitaria, pero no
frente a la alternativa de estacionariedad, sino frente a la de raíz explosiva, distorsionando en gran rnedida los resultados.
EI último caso de error de especificación que vamos a tratar es el cometido
al no ser capaces de detectar la existencia de una media en la variable endógena. Ahora el proceso generador de datos no es M^, como en las ocasiones anteriores, sino Mµ . EI modelo planteado por el investigador es, por contra, M.
Teorema 3
Si el proceso generador de datos de la variabie Yt contiene un término independiente (M µ) pero el investigador omite su efecto considerando que el modelo correcto es un paseo aleatorio puro (M ), entonces se cumple que:
a)
T^P^-1)^ 32
b)
Q2^Q2+ µ
^
4
ERR(7RF,5 DF: ESPECIFICACIC)N EN L.OS CONTRA5TES DE RAtl l'NITARIA
c}
T -, ^2 i ^
^5
3 µ2
4 a 2 + µ2
Demostracián: Ver apéndice.
De nuevo aparece una raíz explosiva generada por el sesgo en la estimación
del paramétro p. Este sesgo, sin embargo, es el menor de los observados en
este apartado. Igualmente, su correspondiente pseudo t-ratio díverge, conduciendo al investigador al rechazo de la hipótesis nula, nuevamente a favor de
una alternativa explosiva. Por último, y al contrario que sucedía en los dos teoremas precedentes, la estimación del parámetro de dispersián no diverge, aun
cuando continúa siendo sesgada.
A modo de resumen de los tres teorernas anteriores, podemos indicar que
una incorrecta especificación del modelo que genera los valores muestrales de
la variable Yt tiene las siguientes consecuencias:
a) EI estimador del párametro p tiende a tomar valores superiores a la unidad, creando una raiz explosiva espúrea. Asimismo, los respectivos pseudo
t-ratios utilizados para e! contraste de fa hipótesis de raíz unitaria divergen, determinando un sobrerrechazo generalizado de la misma, pero no a favor de una
alternativa de estacionariedad, sino de raíz explosiva.
b) Otro tanto ocurre con la estimación del término independiente. Su estimación resulta sesgada, dependiendo su magnitud de los valores del parámetro
omitido (^3). Este hecho genera un crecimiento in#inito en su pseudo t-ratio, rechazando cualquier tipo de hipótesis nula planteada. Esto tiene una segunda
lectura también muy importante. Dado que vamos a admitir la existencia de un
término independiente en el modelo, esto es tanto como decir que el proceso
generador de datos es el modeio M µ. Más aún, como µ^ 0, suponemos que la
verdadera distribución del estadístico tµ converge hacia una normal, circunstancia totalmentP errónea, como hemos tenido la oportunidad de comprobar.
Hasta el momento hemos estudiado teóricamen#e el comportamiento de los
contrastes Dickey-Fuller ante errores en la especificación del modelo donde se
contrasta hipótesis nula de interés, demostrando la importancia de este tipo de
efectos. Sin embargo, desconocemos todavía cuél es el impacto real de la omisión de uno de estos elementos determinísticos del modelo sobre ef resultado final del contraste. Para ello vamos a estudiar el modo de actuar de dos tipos de
contrastes de raíz unitaria que se fundamentan en la correcta determinación de
estos elementos determinísticos. Como se puede comprender muy fácilmente,
los resultados de los teoremas anteriores tienen plena vigencia en este marco,
por lo que este análisis nos va a proporcionar una medida fiel de la importancia
relativa de los estud^os teóricos presentados en los teoremas 1-3.
ESTADISTICA ESPAIVOLA
3.
CONTRASTES POR ETAPAS DE RAIZ UNITARIA:
UN ESTUDIO DE MONTE CARLO
Ya hemos comentado a lo largo del trabajo que una de las principales limitaciones de los contrastes de raíz unitaria es su baja potencia. Esta deficiencia ha
impulsado la búsqueda de nuevos estadísticos con mejores propiedades. Una
aportación reciente son los contrastes que en la introducción hemos denominado por etapas. Estos estudian la hipótesis nula de raíz unitaria en especificaciones que van desde lo general a lo particular. En este marco de trabajo resultan
de especial relevancia los pasibles errores en la correcta selección del modelo a
partir del cual se construyen los estadísticos para el contraste de hipótesis. La
finalidad de este apartado es estudiar el efecto que sobre el tamaño y la potencia de estos contrastes por etapas tiene la omisión de un elemento determinístico en el modelo estimado. Los dos tipos de contrastes que vamos a considerar
son el de Dickey-Fuller, en su versión por etapas (DFE), y el propuesto en Dolado, Jenkinson y Sosvilla (1990) (DJS). La principal diferencia entre ambos contrastes reside en que el contraste DJS intenta aprovechar la convergencia de
los contrastes de raíz unitaria sobre distribuciones normales en el caso de que
se quiebren las hipótesis mantenidas de estos contrastes [ver, al respecto, Banerjee et al. (1993)].
Los fundamentos de ambas tócnicas se presentan en los esquemas 1 y 2.
En ellos se comprueba la existencia de diversos estadios (de ahí su nombre) en
los que se contrasta, en primer lugar, la existencia de una raíz unitaria en el modelo más general para, en segundo lugar, cuestionarse si la selección del modelo fue correcta. EI contraste se detiene en el momento en el que se rechaza la
hipótesis nula de raíz unitaria o bien los estadísticos de significatividad individual de los parámetros determinísticos incluidos en la especificación del modelo
indican la correcta selección del modelo estimado.
En estos esquemas, los valores denominados ^^ , ^µ y ^ representan, respectivamente, el número de ocasiones en las que se rechaza la existencia de una
raíz unitaria en los modelos [1 ], [2] y[3], respectivamente. Del mismo modo, las
cOlumnas zt , zµ recogen el número de rechazos que se produce al comparar
los valores de los pseudo t-ratios ^^ y zµ na con los valores críticos tabulados en
Fuller (1976), sino con los procedentes de una distribución t-student. Por último,
las columnas A ^, A µ y A significan el número de ocasiones en las que la hipótesis
nula se acepta, respectivamente, en los tres modelos alternativos considerados.
Como es obvio, el contraste DJS aumentará la potencia obtenida por el DFE,
pero a costa de presentar un mayor tamaño. Esta ganancia en la capacidad de
rechazo de este método nos la dan los valores recogidos en las columnas denominadas z^ y zµ . En cualquier caso, debemos señalar que la propia naturaleza
de estos dos tipos de contraste implica un pequeño sesgo en su tamaño.
27
ERRORES DE ESPECIFICACION EN LOS CONTRASTES DE RAI?_ UNITARIA
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á
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ESTAUISTI('A ESPAÑULA
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^------^
ERRORES DE ESPEC'IFICAC: IC)N EN LOS CONTRASTES DE RA[Z UNITARIA
29
Los diversos ejercicios de simulación presentan las siguientes características: T={25, 50, 100}, µ-{0, 0'S, 1, 3, 5}, ^_{0, 0'S, 1, 3} y p={1, 0'99, 0'95,
0'9, 0'85}. De esta forma quedan representados un amplio espectro de posibles
modelos de generación de datos. Para cada combinación de valores se generaron 10.00o realizaciones de un ruido blanco. Los prograrnas fueron diseñados
en GAUSS.
Los resultados que pasamos a comentar se encuentran en los cuadros 1-5.
En éstos se presentan, en primer lugar, los valores de los parámetros del praceso generador de los datos. Seguidamente aparecen los resultados de la aplicación del contraste DJS, relacionándose cada una de las columnas de los cuadros con las claves del esquema 2. En el caso de estar interesados en analizar
e! comportamiento del contraste DFE tan sólo es preciso surnar, por un lado, las
columnas z^ y AZ y, por otro lado, hacer lo propio con zµ y A µ. Estos dos nuevos agregados suponen el número total de aceptaciones para, respectivamente,
los modelos Mt y Mµ, mientras que el número total de rechazos en estos modelos vendrá dado ahora por las columnas ^z y-cµ . Por último, comentar que dentro del número de aceptaciones incluidas en las columnas At , Aµ y A se incluyen tanto las aceptaciones de la hipótesis nula de raíz unitaria como el rechazo
de ésta frente a una alternativa explosiva. Por consiguiente, el término rechazo
se refiere al rechazo de la hipótesis de raíz unitaria frente a una alternativa estacionaria.
3.1.
Tamaño de los contrastes
Para ^ distinto de cero, el contraste DJS mantiene un número de rechazos ligeramente superior al 5%, destacando el alto número de veces que se identifica
correctamente el modelo M^ . En caso contrario, ^= 0, el cuadro 1 nos proporciona una idea aproximada del comportamiento de ambos contrastes.
Cuadro 1
POTENCIA DE LOS CONTRASTES DJS Y DFE, T= 25 {en %)
DJS
p
µ
^
z^
z^
Az
zµ
z^,
Aµ
^
A
0,21
3,75
1,17
0,18
3,98
83,55
DFE
ACEP RECH ACEP RECH
1
0,0
0
4,95
2,21
1
0,5
0
4,89
4,05
0,06
1,57
3,24
0,45
0,01
85,73
86,24
1
1,0
0
4,88
5,65
0,00
0,80
4,81
2,04
0,00
82,82
84,86
1
3,0
0
5,01
4,95
0,00
0,51
5,57
50,03
0,00
33,66
83,96
16,04
94, 48
5, 52
1
5,0
0
5,50
4,71
0,00
0,38
5,27
82,73
0,00
1,41
84,1 a
15,86
94,12
5, 88
83,94
$7,32
12,68
13,76
93,53
6,47
15,14
94, 32
5, 68
16,06
^U
ES"I°A[)ISTIC^A ESPAÑC)l.A
Sólo cuando ^^ es mayor que 3(tres veces la desviación típica de la perturbación), el coniraste selecciona correctamente el proceso generador, mientras
que para valores menores identifica incorrectamente el modelo M. En consecuencia, se acepta la no estacionariedad de la variable porque el estadístico correspondiente diverge hacia valares mayores que la unidad (teorerna 3). Este resultado no se manifiesta con valores medios de ^, ya que en estos casos el estadístico ^^^ funciona correctamente. Para ^ pequeños se produce una traslación
de AT a A µ, recogiéndose así la divergencia del estadístico ^µ .
La circunstancia descrita en el párrafo anterior es sumamente frecuente cuando los valores de los parámetros µ y^ se aproximan a cero. Por ello debemos
destacar que, aunque el tamaño del contraste se aproxima a su valor teórico, este
hecho se ve favorecido por la divergencia de tos estadísticos ^µ y ^ cuando se eliminan de la especificación empírica elementos no nulos en el proceso generador.
3.2.
Potencia de los contrastes
Como característica más importante debemos destacar la dependencia con
respecto a^, sobre todo cuando p toma valores próximos a la unidad (con p= 0'99,
^= 3 y µ= 0, el contraste DJS presenta una potencia del 84'23%, y el DFE de
24'42%). También se produce un hecho sorprendente como es la pérdida de potencia del contraste cuando nos situamos en valores de p relativamente alejados de uno, debido a la influencia de los errores de especificación.
3.2.1.
Valores de p muy próximos a la unidad: (p = 0'99)
En general, la ganancia en potencia del contraste DJS con respecto al DFE resulta espectacular, sobre todo para valores altos de ^(en ocasiones esta mejora se
sitúa alrededor del 60%: por ejemplo, si p= 0'99, ^= 3, µ= 1). Este comportamiento
se fundamenta en la capacidad del contraste DJS para captar la existencia de una
tendencia determinística en el modelo M t. Esto nos permite contrastar la presencia
de una raíz unitaria utilizando las valores críticos de distribuciones estándares, lo
que supone una menor amplitud de las intervalos de confianza y, por consiguiente,
aumentar la probabilidad de rechazar la hipótesis nula. Entonces, podemos indicar
que si el contraste es capaz de detectar la presencia de términos deterministas no
nulos en el proceso generador, la potencia aumenta considerablemente.
EI comportarniento respecto al parámetro µ resulta similar, tal y como lo podemos observar en el cuadro 2. EI incremento de la potencia para valores de µ
superiores a la unidad se debe, nuevamente, a la capacidad de detectar correctamente la existencia de un elemento determinístico distinto de cero. En este
caso, la columna zµ puede Ilegar a tomar valores próximos al 30%.
^RRC)RES UE EtiPECIFIC'AC'IC)N EN 1_C)S C(7NTRASTES DE RAIL l1NITARIA
31
Cuadro 2
POTENCIA DE LOS CONTRASTES DJS Y DFE, T= 25 (en %)
DFE
DJS
p
µ
0,99 0,0
0,99 0,0
0,99 0,0
0,99 0,0
0,99 0,5
0,99 1,0
0,99 3,0
^i
it
0,0 5,33
0,5 0,48
1,0 1,88
3,0 24,42
0,0 5,10
0,0 5,19
0,0 4,77
0,99 5,0 0,0
z^
AT
i^
z^
Aµ
t
2,12
15,43
24,56
59,81
3,14
3,67
3,47
0,18
39,80
73,92
15,77
0,04
0,00
0,00
3,44
0,00
0,00
0,00
2,75
1,64
3,00
0,94
0,00
0,00
0,00
2,03
5,10
18,54
0,40
44,29
0,44
0,00
0,16
0,37
24,70
5,00
0,00
0,00
0,00
0,01
0,00
0,0o
A
ACEP RECH ACE^P
82,85 83,17
0,00 84,09
0,00 74,36
0,00 15,77
85,97 86,17
84,03 84,40
a5,52 70,22
3,84
2,98
0,00
7,08
28,08
52,61
0,00
5,41
58,02
0,99 3,0 3,0 22,97
0,99 5,0 3,0 23,16
60,91
60,08
16,12
16,76
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
16,12
16,76
3.2.2.
RECH
16,83
15,91
25,64
86,23
99,52
98, 92
13,77
0,48
1, 08
84,27
75,58
24,42
92,14
93,17
29,78 92,23
41,98 89,08
83,85 77,03
83,24 76, 70
7,86
6,83
7,77
10,92
21,97
23,16
13,83
15,60
Valores de p cercanos a la unidad: 0'95 s p s 0'85
Pese a situarnos más alejados de la raíz unitaria, aparecen casos en los que
la potencia total ernpeora, por ejemplo cuando (i = 0'S. A pesar de ser ciertamente sorprendente, en realidad se trata de un resultado lógico, ya que el contraste es incapaz de detectar la existencia de una tendencia deterministica y
pasa a estimar el modelo Mµ, donde se sobreacepta la hipótesis de proceso no
estacionario porque, según el teorema 1, ^µ diverge. EI efecto global lo podemos
observar en el cuadro 3,
Cuadro 3
POTENCIA DE LOS CONTRASTES DJS Y DFE, T= 25 (en %)
DJS
p
µ
^
^j
0,99
0,95
0,9
0,85
0,99
0,95
0,9
0,85
0,99
0,95
0,9
0,85
0,0
0,0
0,0
0,0
0,5
0,5
0,5
0,5
5,0
5,0
5,0
5,0
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,48
3,52
5,65
7,13
0,45
3,75
5,66
7,23
0,56
2,90
5,35
7,09
zT
A^
15,43 39,80
15,76
0,02
6,99
0,00
6,51
0,00
16,07 33,49
14,05
0,00
6,99
0,00
7,12
0,00
12,87
4,18
6,43
0,00
6,13
0,00
6,62
0,00
^µ
zµ
Aµ
z
A
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,01
0,00
0,00
0,00
0,01
0,00
0,00
0,10
0,45
0,00
0,00
0,00
0,40
0,00
0,00
0,11
0,99
44,29
80,70
87,35
85,90
49,99
82,20
87,35
85,24
82,39
90,65
88,41
84,49
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,80
DFE
ACEP RECH ACEP
RECH
84,09
80,72
87,35
85,90
83,48
82,20
87,35
15,91
19,28
12,65
14,10
16,52
17,80
12,65
99,52
96, 48
94, 35
92,87
99, 55
96, 25
94, 34
85, 24
14, 76
92, 76
7, 24
86,57
90,67
13,43
9,33
88,41
11,59
85, 29
14, 71
99,44
97,10
94,65
92,90
0,56
2, 90
5,35
7,10
0,48
3, 52
5, 65
7,13
0, 45
3, 75
5, 66
ESTADISTICA E:SPAÑOL.A
Estos resultados se comprenden si t+enemos en cuenta que ahora ya no se
cumple la hipótesis mantenida de los estadísticos ^µµ y ^^t , esto es, el proceso
generador no presenta una raíz unitaria. Por tanto, las distribuciones de estos
estadísticos son distintas a las tabuladas en Dickey y Fuller (1981). Esto nos
canduce a aceptar su no significatividad y a contrastar la existencia de una raíz
unitaria en modelos mal especificados, con los efectos perniciosos estudiados
en la seccián anterior.
En estas circunstacias se produce una «especie» de lucha entre dos fuerzas: por un lado, la proxirnidad del parámetro p a la unidad hace que su distribución tienda a la tabulada por Dickey y Fuller; por otro, al ir alejándonos de !a hipótesis nula empieza a dominar la distribución teórica tradicional. Esto provoca
un efecto de «ida y vuelta» tanto en la distribución del estadístico ^t coma en la
de zµ . En las figuras 3-8 podemos comprobar esta circunstancia. En ellas se observa cómo la distribución de estos estadísticos se aleja de la tabulada en Fuller
(1976) conforme el valor del parámero p disminuye. Sin embargo, para valores
de p inferiores a 0'9 el movimiento de la distribución de los estadísticos sufre un
claro cambio de sentido y se aproxima al caso p= 1. Las consecuencias de este
vaivén explican en buena medida los resultados del cuadro 3. Por ejemplo, si
p= 0'9 el estadístico ^^ rechaza siempre la hipótesis nula (figura 3). Sin embargo, para p= 0'8 (figura 4) el número de aceptaciones es sensiblemente distinto
de cero. Por tanto, vemos cómo un mayor alejamiento del parámetro autorregresivo con respecto a su valor bajo la hipótesis nula no supone una mejora en
la potencia del contraste, sino que, por el contrario, el número de rechazos disminuye.
Este comportamiento de los pseudo t-ratios nos proporciona una vez más
una clara idea de lo importante que resulta detectar la presencia de elementos
determinísticos en este tipo de contrastes, ya que si fuésemos capaces de hacerlo usaríamos los intervalos de las distribuciones estándares y la potencia del
contraste sería casi perfecta.
Este efecto también aparece en los casos en los que la tendencia determinística es nula y estamos realizando el contraste Mµ , aunque al tratarse de un
contraste por etapas su importancia es menor.
ERRORES DE ESPECIFICAC[C)N EN LUS CONTRASTES DE RAI"L UN ^TAR1A
33
Figura 3
DISTRiBUCION DE ^^ (PGD: M^ , µ= 0, ^3 = 3, T= 25)
_._._ p = 1
Figura 4
DISTRIBUCION DE ^^ (PGD: M^ , µ= 0, ^= 3, T= 25)
Figura 5
DISTRIBUCION DE ^t (PGD: M,^ , µ= 0, ^= 3, T= 25)
34
ESTAUISTICA ESPAÑOLA
^igura 6
DISTRIBUCION DE ^µ (PGD: Mµ , µ= 3, T= 25}
Figura 7
DISTRIBUCION DE ^µ (PGD: Mµ , µ= 3, T= 25}
Figura 8
DISTRIBUCION DE zµ (PGD: Mµ , µ= 3, T= 25)
ERRORES DE ESPECIFICAC'IC^ N EN LOS CONTRASTES UE RAIZ UNITARíA
3.2.3.
3S
Tamaños muestrales mayores: T= 50 y T= 100
EI aumento del tamaño muestral incrementa la potencia de los contrastes, en
algunos casos de manera muy importante. Las conclusiones cualitativas referidas a tamaños muestrales menores se mantienen, aunque resulta más difícil
detectarlas. Como circunstancia más sorprendente, destacar que se mantiene la
pérdida de potencia al alejarse el parámetro autorregresivo de la unidad, aunque parece producirse un traslado del efecto de valores mayores de ^ a Otros
menores, como podemos observar en IOS cuadros 4 y 5.
Cuadro 4
POTENCIA DE LOS CONTRASTES DJS Y DFE, T= 50 (en %)
DFE
DJS
p
µ
^3
ij
zL
AS
-c^
zµ
Aµ
i
A
ACEP RECH
ACEP RECH
0,95
0,95
0,9
0,9
0,85
0
0
0
0
0
0,5
3,0
0,5
3,0
0,5
66,98
100,00
18,10
100,00
14,15
29,30
0,00
15,15
0,00
11,98
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0,00
0,00
0,00
0,00
0,03
3,72
0,00
66,75
0,00
73,84
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
3,72 96,28
0,00 100,00
66,75 33,25
33,02
73,84
26,16
81,90 18,10
0,00 100,00
85, 85 14,15
0,85
0
3,0
68,40
13,73
0
0
0,00
17,84
0
0
17,87
82,13
31,60
0,00 100,00
66,98
o,o0 1 ao,oo
68,40
Cuadro 5
POTENCIA DE LOS CONTRASTES DJS Y DFE, T= 100 (en %)
DJ S
DFE
p
µ
^i
t^
zi
A^
iµ
zµ
A^
t
A
ACEP RECH
ACEP RECH
0,95
0,95
0,9
0
0
0
0,5
3,0
0,5
100,00
100,00
64,70
0,00
0,00
16,86
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0,00
0,00
18,44
0
0
0
0
0
0
0,00 100,00
0,00 100,00
0,00 100,00
0,9
0
3,0
100,00
0,00
0
0
0
0,00
0
0
0,85
0,85
0
0
0,5
3,0
43,72
98,99
20,34
0,81
0
0
0
0
0
0
35,94
0,20
0
0
0
0
4.
18,44
81,56
0,00 100,00
35,94 64,06
0,20 99,8
0,00 100,00
35,30 64,70
0,00 100,00
56,28
43,72
1,01
98,99
CONCLUSIONES
En el presente trabajo hemos investigado las propiedades de los contrastes
de raíz unitaria en el caso de que sean omitidos en la especificación empí rica
ciertos elementos determinísticos que sí aparecen en el proceso generador de
datos. Como hemos demostrado en los teoremas 1-3 de la sección 2, los estimadores del parámetro p tienden a tomar valores superiores a la unidad, esto
es, aparentan ser explosivos cuando en realidad no lo son. Asimismo, los pseu-
ESTADISTICA ESPAÑl7LA
3b
do t-ratios utilizados para el contraste de la hipótesis de raíz unitaria (^µ y-c) divergen, favoreciendo el rechazo de la hipátesis de raíz unitaria, si bien no a favor de la alternativa de estacionariedad, sino de raíz explosiva. Otro tanto podemos decir de zµµ , estadístico que siempre Ileva al rechazo de la hipótesis nula
formulada.
La consecuencia última de todos estos puntos es que ciertos contrastes de
car^tcter polietápico se ven muy influidos tanto por los errores en la especificación como por el incumplimiento de las hipótesis mantenidas. Para comprobarlo,
estudiamos el comportamíento de dos contrastes de esta naturaleza, DFE y
DJS, verificándose esta dependencia. Por tanto, cuando se Ileven a cabo contrastes de este tipo se hace imprescindible un correcto tratamiento de la determinación de los elemeritos deterministicos subyacentes en el proceso generador de datos. En otro caso, sus resultados pueden verse seriamente distorsionados.
5.
APENDICE
Teorema 1
a) Supongamos que el investigador se plantea el estudio de la existencia
de una raíz unitaria en el modelo M µ pero en realidad el modelo presenta una
tendencia determinística, es decir, ^^ 0. Entonces, bajo la hipótesis p= 1, la variable Yt se puede expresar de la siguiente forma:
Yt = µ + ^ t + Yt _ ^ + ut = µ t + ^
[t {t + ^)]
2
r
+ ^ u;
^_^
[A.1^
y la correspondiente estimación del parámetro p resulta ser
n
^ Yt Yt - ^^ T-^ ^ Yt ^ Yt -^
^ Y^-^ _ T-^ ^^ Yt-^)2
_
µ^ Yt_^ +^^ t1^t-t +^ Yi-i +^ Yt-1 ut
r
^ y2-1 .._ T-^ ^^ Yt-1)2
T-^ T µ^Yt-t+T^^^^t^Yt-^+T-^^^Yr-^]2+T-^^Yt-1^ur
^ Yf-^ _ T-^ ^^ Yt-^}2
[A.2]
ERRORES DE ESPECIF^CACION EN LOS COIYTRASTFS DE RAIZ UNtTARIA
^i
donde todos los sumatorios van desde 1 hasta T. En lo que sigue se mantendrá
esta misma notación para todos los sumatorios, excepto en aquellos casos en
los que se indiquen expresamente cuáles son los límites inferior y superior.
Tomando como punto de partida el cuadro 3.3 de Banerjee et al. (1993}, se
demuestra que los diversos momentos muestrales que aparecen en [A.2] tienen
los siguientes ratios de convergencia:
T -3 ^ rY ^ ^
6
[A.3]
^2
T-5^ Yt ^
(A.4]
20
^
8
[A.5]
,
-t- -5iz ^ Y r u r ^ ^ r2 dW (r) . N ( ,
2 f
Q2 Q2
[A.6]
20
Sin más que operar con estos valores resulta inmediato demostrar que
1
T„-1
) ^
(P
^
2
8
^
2
20
^
6
2
^ 15
8
[ A.7 I
36
6) De igual forma, el estimador del término independiente se puede expresar como
µ= T-1 ^ Yr-p T^' ^ Yr_1 =µ+ T-' ^^ t- Ti1 (P-1)^ Yr_^ +
+T-'^u^
[A.8]
Realizando unas sencillas transformaciones en las expresiones anteriores,
tenemos que
Y_
3^
T-' (µ-µ) = ^ T-2^ t- T^)
(P 1 T^3^
1
i T-2^ u^
r +
r
6
[ A.9 ]
ESTAUIS"T1C`A ESPAÑC;I_A
c) EI estimadar m.c.o. del parámetro de dispersión es asimismo sesgado.
Siguienda a Johnston (1987), éste se p^ede expresar de la siguiente forma:
,^ 2
2
t^ = a +
1
2
T^ t 2 Y i- ^^^ t 2^^ Yr - i^2 -^^ t)2 ^ Yt -^
T--2
+
T^ y1_1 _^^ yt^^}2
^t^t1^t_^L 1't_1--T(^tYt_,)2+^r^ Yt_,^tYt_^
+
[A.10J
T ^ y?-^ ` (^ Yt-1}2
Teníendo en cuenta los diferentes ratios de convergencia, tanto del numerador como del denominador, resulta que
^2
2
^
192
8fi40
^
T-2c^^ ^ ^32
=
^i2
[A.1 ^J
45
d)
ria es
E1 correspondiente t-ratio para el contraste de la hipótesis de raiz unita^
t µ^
_ p'1
n
^ Y2_ _T__1 (^ y _ )^
t
1
t
[A.12]
1
CT
Aplicando las resultados [A.3J-[A.6J, es sencillo demostrar que
^
T-^^2 ^ _ T ^P ^ 1 ] T -s^z
µ
T_^ ^
^ ^j,^z^
r
i
_ T -^ ^^ Y _ )2 ^
t
^
15
^
2
8
^
^2
45
1 92
- ^ 15
[A .13]
ERRURES DE ESF'EC'1FICAC'ION EN LOS CONTRASTES DE RAl"L I^NITARIA
39
e) Asimismo, podemos estudiar el correspondiente t-ratio de µ. En este
caso se comprueba fácilmente que
T-^izi
µµ
T -' (µ - µ )
=
T-^ á T^^ 2
T -2 ^^ y^^ _ , ^2
T^^ +
^ Yi- ^ - T -^ (^ 1'r _ i)2
T i1 (µ - µ )
_
T -^ ^Q
^
T -s (^ yt- ^^2
1 +
T -5 ^ Y ? - i - T ^ ^^ Yr - ^ )2
16
_^
[A . 14]
Teorerna 2
Dado que en el modelo pablacional persiste ia existencia de una tendencia
determinística, los ratios de convergencia anteriores siguen siendo válidos en
este escenario.
a)
^
p-
Partiendo del estimador m.c.o. del parárnetro p:
^ Yt-i Yr µ^ Y r-^ +^^ t 1^t-^ +^ Y?-^ +^ Yr-^ ut
2
^ Yf-1
[A.15]
2
Yr-i
es inmediato demostrar que
T(p-1) ^
^
^
8
^2
20
_
5
2
[A.16]
^STADISTICA ESPAÑOLA
bj AI igual que en el caso anterior, la estimación del parámetro de dispersión diverge. Operando similarmente que en [A.10]:
^{
á2=a^2+
T µ2^ 1^i_^ +2µ^^ t ^ Yt_
^2^ t2^ Y2r-i
^ y?_^
T-1
µ2^ y2-^+2µ^^ Yr-^^ tYr_^+^2(^tYr_1)z
2
Yr- ^
1
[A.17]
Utilizando los correspondientes ratios de convergencia:
^2 1 ^2 - 2 ^2
3 20
^ s4
^^
[A.18]
20
c)
EI estadístico t se expresa de la siguiente forma:
T- -^ ^ 2 t_
T(P - 1) T-s^^
T
y2
_^ A
a
^ i-1
[A.19J
_^ 15
[A.20]
resultando inmediato demostrar que
T-^i^ z^ 5
2
1
^2
2
^
20
48
Teorema 3
Para su demostración debemos partir de unos ratios de convergencia distintos a los utiiizados con anterioridad, ya que el proceso generador de datos también lo es. En esta ocasión:
r
Yt = µ + Yr _ ^ + u ^ = µ t + ^ u;
^_^
[A.21 ]
ERRORES DE ESPECIFICACION EN LOS CUNTRASTES DE RA[Z UNITARIA
41
lo que significa que
T-2^ Yr
µ
^
[A.22]
2
2
T -3 ^ Y 1 ^ µ
3
^- -3f2 ^ y r u r ^^ µ a
a)
como
[A.23]
^
µ2 ^2
,^ rdW (r)•N 0,
0
3
1
[A.24]
Si tenemos en cuenta que el estimador m.c.o. del parámetro p se define
^
^ yr-^ Yr
P=
`^
2
Yr-i
µ^ Yt-^ +^ yt-^ +^ Yr-^ ur
^
[A.25]
2
Yr-^
entonces es inmediato que
µ
_
2
T (p - 1) ^
µ2
[A.26]
_ „
3
b) A diferencia de los casos anteriores, la estimación m.c.o. del par^metro
de dispersión no diverge, sino que converge hacia un valor finito. Partimos de la
siguiente expresión:
^
a2=a2+
1
T- ^
µ
..I
rS'v2
__ i^` v
r-^-^
^
r-
[A.27]
^ yz
r-^
Aplicando los nuevos ratios de convergencia, vemos que
µ2
µ2
á2^a2+µ2 3
4
µ2
3
= a2 +
4
[A.2s]
ESTADlST1CA ESPAÑOLA
c^!
EI estadístico T se define como
T-,^2t_ T (P-1)
^ Y 2
t-1
T -3^2
n
U
jA.29j
Como consecuencia de los dos apartados anteriores, queda que
3
1
µ2
T -1 / 2 .t ^
3
2
2
3µ2
-
4a 2+ µ2
[A.30]
4
6.
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ERRORES DE ESPF.CIFICACION EN LOS C'ONTRASTES DE RAIZ llNITARIA
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EFFECTS OF MODEL MISSPECIFICATION ON UNIT ROOT TEST
SUMMARY
In this paper we analyze the effects of model misspecification on
traditional unit roots tests (Dickey-Fuller}. We show how these tests
diverge when a deterministic element is omitted. This hold even
asimptotically. We study the effects on two tests: a stage version of
Dickey-Fuller test and the Dolado-Jenkinson-Sosvilla one. Their size
and power is investigated in a misspecification model framework.
The main conclusion we reach is that omission of deterministic components suppose a hard test distortion: a spurious explosive root is
generated and the pseudo t-ratios diverge.
Key Words: unit root, Wiener's pro^ess: misspecification, unit root
stage test.
AMS C/assification: 62P20, 90A20.