Hoja 2.

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS. HOJA DE PROBLEMAS
2.
PROBLEMAS DE VALOR INICIAL EN RN . EXISTENCIA, UNICIDAD Y DEPENDENCIA DE LA
CONDICIÓN INICIAL.
1. Supongamos que f ∈ C k (I × U, Rn ). Probar que la solución local de

x0 (t) = f (t, x(t))
x(t0 ) = x0
(1)
dada por el teorema de Picard-Lindelöf es de clase C k+1 .
2. Averiguar si las siguientes funciones son Lipschitz en algún entorno de 0, y en caso afirmativo
estimar su constante de Lipschitz en ese entorno.
1
1. f (x) = 1−x
2
1/2
2. f (x) = |x|
3. f (x) = x2 sen(1/x).
3. Aplicar el procedimiento iterativo de la demostración del teorema de Picard-Lindelöf para
encontrar la solución de x0 = x, x(0) = 1.
4. Aplicar el procedimiento iterativo de la demostración del teorema de Picard-Lindelöf para
encontrar la solución de

0

 x (t) = −y(t)
y 0 (t) = x(t)


x(0) = 1, y(0) = 0.
5. Estudiar la unicidad de las soluciones de

−t|x|1/2
x0 (t) =
t|x|1/2
si x ≥ 0,
si x ≤ 0.
6. Lema (desigualdad de Gronwall generalizada). Supongamos que ψ(t) satisface
Z t
ψ(t) ≤ α(t) +
β(s)ψ(s)ds, t ∈ [0, T ],
0
con β(t) ≥ 0. Entonces se tiene
Z
ψ(t) ≤ α(t) +
t
Z
α(s)β(s) exp
0
t
β(r)dr ds,
t ∈ [0, T ].
s
Si además α es creciente entonces se tiene
Z t
ψ(t) ≤ α(t) exp
β(s)ds ,
0
t ∈ [0, T ].
R
t
Indicación: definamos φ(t) = exp − 0 β(s)ds , de modo que
d
dt
Z
φ(t)
t
Z
t
= β(t)φ(t) ψ(t) −
β(s)ψ(s)ds
0
β(s)ψ(s)ds
≤ α(t)β(t)φ(t).
0
Integrar esta desigualdad respecto de t y dividir por φ(t) para obtener
Z t
Z t
φ(s)
β(s)ψ(s)ds ≤
α(s)β(s)
ds.
φ(t)
0
0
Sumar α(t) en ambos lados y utilizar la hipótesis para deducir el resultado.
7. Corolario. Si ψ satisface
Z
ψ(t) ≤ a +
t
(b ψ(s) + c)ds,
t ∈ [0, T ],
0
donde b ≥ 0, entonces
c
ψ(t) ≤ aebt + (ebt − 1).
b
Indicación: considerar ψ̃(t) = ψ(t) + c/b.
8. Teorema de Hahn-Banach en Rn . Sean E un subespacio de Rn , y sea T : E → R una
aplicación lineal. Entonces existe una aplicación lineal Te : Rn → R tal que
1. Te(x) = T (x) para todo x ∈ E;
2. kTek = kT k.
Indicación: Podemos suponer kT k = 1 y E 6= Rn . Sea x1 ∈ Rn \ E, y definamos E1 = {x + tx1 : x ∈ E, t ∈ R}.
Se tiene
T (x) − kx − x1 k ≤ ky + x1 k − T (y) para todos x, y ∈ E.
Sea α = sup{T (x) − kx − x1 k : x ∈ E}. Entonces
T (x) − α ≤ kx − x1 k para todo x ∈ E,
T (y) + α ≤ ky + x1 k para todo x ∈ E.
Defínase T1 : E1 → R por T1 (x + tx1 ) = T (x) + tα. Comprobar que T1 es lineal, que T1 = T en E, y que
T1 (z) ≤ kzk para todo z ∈ E1 . Aplicar inducción para concluir.
9. Corolario. Sea k · k una norma cualquiera en Rn . Para todo x ∈ Rn se tiene que
kxk = sup{T (x) : T ∈ L(Rn , R), kT k ≤ 1}.
10. Probar que si U es un abierto de Rn , I un intervalo de R, I × U 3 (t, x) → f (t, x) ∈ Rn , es
continua y las derivadas parciales ∂f /∂xi existen y son continuas en I × U entonces el problema
(
x0 (t) = f (t, x(t))
x(0) = x0
tiene solución local única para todo x0 ∈ U . En particular, si f ∈ C 1 (I × U ) entonces este
problema tiene solución local única para todo x0 ∈ U .
11. Sean f : [a, b] → Rn continua, y T : Rn → R lineal. Probar que
Z b Z b
T
f =
T ◦ f.
a
a
Más en general, si A : Rn → Rn es lineal, probar que
Z b Z b
A
f =
A ◦ f.
a
Rb
a
Concluir que la definición de a f como el vector formado por las integrales de las funciones
Rb
coordenadas de f no depende del sistema de coordenadas elegido en Rn , y que a f queda
Rb
determinado por el conjunto { a T ◦ f : T ∈ L(Rn , R)}.