DE LA EXPRESIÓN ALGEBRAICA A LA GRÁFICA LA RECTA )

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De la expresión algebraica a la gráfica
DE LA EXPRESIÓN ALGEBRAICA A LA GRÁFICA
Rectas, Parábolas, Hipérbolas, Exponenciales y Logarítmicas
LA RECTA
Para representar gráficamente una recta de un modo rápido, basta con observar su
ecuación en forma explícita: y = mx + n , donde “m” es la pendiente (inclinación) y
“n” la ordenada en el origen.
Sea por ejemplo, y = −
1
x + 2
2
1

pendiente
m = − 2

Con esto: 
 n = 2 ordenada en el origen

Ordenada en el origen:
Indica el punto del eje de ordenadas por donde pasa la recta: N
( 0,2 )
Pendiente:
Signo positivo indica RECTA CRECIENTE, y si el signo es negativo, RECTA DECRECIENTE.
En nuestro caso será decreciente.
Dibujamos un rectángulo de lados paralelos a los ejes que midan:
-
lado vertical : numerador de la pendiente
-
lado horizontal: denominador de la pendiente
De las dos diagonales que tiene nos quedamos con la de tendencia decreciente, más
o menos así:
De la expresión algebraica a la gráfica
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Uno los vértices alcanzados por la diagonal que nos interesa, lo colocamos sobre el
punto N (ordenada en el origen):
Ya por último, prolongamos la diagonal:
LA PARÁBOLA
Sea la parábola y = 2x2 − 2x − 4 :
En primer lugar, determinamos los coeficientes y el discriminante:
a = 2 > 0

 b = −2
 c = −4

∆ = b2 − 4 ⋅ a ⋅ c = (− 2)2 − 4 ⋅ 2 ⋅ (− 4) = 4 + 32 = 36 > 0
Como el coeficiente principal es positivo, las ramas irán hacia arriba
De la expresión algebraica a la gráfica
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Y como el discriminante es positivo, la parábola cortará al eje de abscisas en dos
puntos.
En segundo lugar debemos determinar el vértice V(x0 , y0 ) donde:
b
− 2
2
1

= −
=
=
x0 = − 2a
2
⋅
2
4
2



∆
36
36
9
= −
= −
= −
y0 = −
4a
4⋅2
8
2

9
 1
Por tanto, el vértice está en V , −  ∈ IV cuadrante :
2
 2
Ahora, dibujamos dos rectángulos anexos de lados paralelos a los ejes, ambos de
altura a = 2 y bases la unidad:
Si las ramas van hacia arriba, como es nuestro caso, hacemos coincidir el punto B con
el vértice de la parábola (si las ramas fueran hacia abajo, haríamos coincidir el punto
A):
Además, como ∆ > 0 , podremos localizar los dos puntos de corte con OX:
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De la expresión algebraica a la gráfica
x =
− b ± ∆
− (− 2) ±
=
2a
4
8

 x1 = 4 = 2
36
2±6

=
= 
4

−4
= −1
x2 =
4

Basta con trazar la parábola con vértice en V, que pase por los puntos P y Q y corte al
eje OX en x1 y x2:
NOTA:
Si el discriminante fuese nulo, solamente tendríamos un punto de corte con OX que
necesariamente sería el vértice.
Si el discrimínate fuese negativo, no tendría puntos de corte con OX.
En ambos casos, la parábola la dibujaríamos exclusivamente con los puntos V, P y Q.
LA HIPÉRBOLA
Sea como ejemplo la hipérbola y =
x −1
x + 2
k
, y para ello divimos:
x − x0
En primer lugar debemos expresarla como y − y0 =
x −1
−x − 2
x + 2
1
−3
Con lo que la hipérbola se podrá expresar: y = 1 +
Así, el centro de la hipérbola está en C
La constante k = −3 < 0
( x0 , y 0 )
−3
−3
⇔ y −1 =
x − (− 2)
x − (− 2)
= C
( − 2 , 1)
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x = −2
Y sus asíntotas son: 
y = +1
Nos fijamos ahora en el valor de k = −3 < 0 que implica dibujar la hipérbola en los
cuadrantes II y IV determinados por sus asíntotas:
(Si la constante K fuese positiva, ocuparía los otros dos cuadrantes)
Construimos ahora dos rectángulos de lados paralelos a los ejes; uno de alto k = 3 y
ancho la unidad, y otro de alto la unidad y ancho k = 3 :
Estos rectángulos los situamos sobre la gráfica haciendo coincidir uno de sus vértices
con el centro C, y procurando que queden “repetidos” en los dos cuadrantes donde
dibujar:
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De la expresión algebraica a la gráfica
Los vértices exteriores de los rectángulos determinan los puntos por donde pasa la
hipérbola:
LA EXPONENCIAL
Tomemos como ejemplo la función y = 3x − 2 − 1 , y expresémosla como:
y − y 0 = a x − x0 , donde “a” es la base y C
( x0 , y0 ) es el centro de la exponencial.
En nuestro caso, y − (− 1) = 3x − 2 , por lo que a = 3 y C
( 2 , − 1) .
El centro determina la asíntota horizontal y = y0 , es decir, y = −1 , y además por
debajo de esta asíntota no existirá función:
Como la base es mayor que 1, la función será creciente y tendrá comportamiento
asintótico por la izquierda (si la base fuese menor que 1, sería decreciente con
comportamiento asintótico por la derecha)
De la expresión algebraica a la gráfica
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Construimos un rectángulo de lados paralelos a los ejes con anchura la unidad y cuya
altura coincida con el valor de la base de la exponencial. Marcamos los vértices C y Q
opuestos que determina la diagonal creciente, y a una unidad por encima del vértice
C marcamos otro punto P:
El vértice inferior C lo hacemos coincidir en la gráfica con el centro de la exponencial:
Por último trazamos la curva haciéndola pasar por P y Q:
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De la expresión algebraica a la gráfica
LA LOGARÍTMICA
Sea por ejemplo la función y = log 2 (x + 3) − 1 que deberemos expresar en la forma:
y − y0 = log b (x − x0 ) .
Pasando el término independiente al primer miembro: y − (−1) = log 2 (x − (−3))
Con esto tendremos:
Centro de la logarítmica en C
( x0 , y0 ) , es decir, C ( − 3 , − 1)
Base del logaritmo b = 2
Asíntota vertical x = −3
Además, la región que queda a la izquierda de la asíntota estará vacía:
Construimos un rectángulo de lados paralelos a los ejes, de anchura b = 2 y altura la
unidad. Marcamos los vértices opuestos C y P determinados por la diagonal creciente,
y a una unidad a la derecha de C, marcamos otro punto Q:
De la expresión algebraica a la gráfica
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Este rectángulo lo situamos sobre la gráfica haciendo coincidir el punto C con el
centro de la logarítmica:
Solamente queda trazar la gráfica procurando comportamiento asintótico por abajo y
haciéndola pasar por P y Q: