CAPÍTULO II

CAPÍTULO II
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RELACIÓN ENTRE PUNTOS DE UNA RECTA Y NÚMEROS REALES
Longitud de un segmento
Admitiremos las siguientes proposiciones:
a)
Dado un segmento cualquiera A B de una recta, y dado otro
segmento u al que llamamos segmento patrón o unidad de
longitud, se puede medir el segmento AB con la unidad u
obteniendo un número positivo llamado longitud de AB, o distancia
de A a B, o cantidad de longitud de AB.
b)
Dos figuras son congruentes cuando pueden llegar a coincidir
transportando una sobre la otra mediante un movimiento. Dos
segmentos congruentes tienen igual longitud. En particular, la
longitud de AB es igual a la de BA.
c)
Llamamos suma de dos segmentos AB y CD al segmento AD que
se obtiene colocándo los uno a continuación de otro, de for ma que no
se superpongan.
La longitud de AD es la suma de las longitudes de AB y de CD.
Inversamente, la longitud de AB es la de AD menos la de CD.
Recta orientada o recta con sentido
Admitiremos que:
a)
Se puede definir un sentido en una recta como sentido positivo:
de forma que dados dos puntos de ella A y B se puedo decir
siempre si A precede a B o si B precede a A (en el dibujo, A
precede a B).
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b) Un segmento como AB , en que su origen A precede a su ex tremo B, se
considerará segmento positivo, mientras que el segmento BA se considerará
negativo.
Longitud algebraica de un segmento
Dado un segmento AB en una recta orientada, llamamos longitud algebraica de AB, a
la distancia AB, afectada del signo + ó - según A B sea positivo o negativo; la
representaremos por AB
Corolario:
AB = - AB
Corolario: distancia AB = I
AB I
Teorema I I-1 (Teorema de Chasles):
En una recta orientada, AB +
cualesquiera de la recta,
BC + CA = 0
siendo A, B y C puntos
Demostración:
AB + BC = AC
(Compruébese tanto si C está entre A y B, como si C está en la prolongación de AB,
como si C está en la prolongación de BA).
Como:
AC = - CA
Resulta:
AB + BC = - CA
Abscisa de un punto
Dado un punto “O” fijo en una recta orientada, al que llamamos origen de abscisas,
se llama abscisa de un punto A a la longitud algebraica
OA .
La abscisa puede ser positiva, negativa y nula (la del mismo punto O).
Teorema II-2
La longitud algebraica de un segmento es la abscisa del extremo menos la abscisa
del origen de dicho segmento.
Dem: Sea un segmento AB.
En virtud del teorema de Chasles
OA + AB = OB ;
AB
=
OB
-
OA
Corolario: La abscisa del punto medio de un segmento es la semisuma de las
abscisas de los extremos.
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Si M es punto medio de AB
AM
=
MB
OM - OA = OB - OM ; OM =
o sea
OA + OB
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Magnitud Cantidad
Magnitud es la propiedad común a todos los elementos de un conjunto, que hace
que puedan ser medidos tomando una unidad del mismo conjunto. Así, el conjunto de
todos los segmentos, tiene la magnitud que llamamos longitud.
En general, para que un conjunto tenga magnitud, o sea medible, es preciso que
entre sus elementos se pueda definir la igualdad y la suma, tal como hemos hecho con
los segmentos.
Los segmentos de rectas orientadas tienen la magnitud longitud algebraica.
Al resultado de una medida, se le llama en general cantidad. En nuestro caso, de
segmentos, le podemos llamar también longitud o longitud algebraica igual que a la
magnitud.
Una magnitud cuyas cantidades son siempre positivas, se llama magnitud escalar.
En caso contrario (es el caso de la longitud algebraica) se llama magnitud
vectorial.
EJERCICIOS
CAPÍTULO II
Ejercicios resueltos
II -1.
A, B y C son tres puntos de un eje. C está entre A y B. La distancia de C a A es 6
veces la distancia de C a B. Encontrar una fórmula que exprese la abscisa de C, XC,
en función de XA y X B .
Resolución:
x C – x A = 6 (xB – x C)
despejando x C =
II -2.
xA + 6 xB
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Si P, A, B y C son cuatro puntos de u na recta orientada, demostrar que:
(PA)2
BC
+ (PB) 2
CA + (PC) 2 AB
+
BC xCA x AB
=0
Resolución:
Tomamos P como origen, sin perder generalidad, porque las distancias entre puntos
no dependen del origen. Sea a la abscisa de A, b y c las de B y C.
PA = a
BC = c - b etc; substituyendo en el primer miembro de la igualdad
propuesta:
a2(c - b) + b2(a - c) + c2(b - a) + (c - b) (a - c) (b - a) efectuando las operaciones
indicadas, se obtiene el valor 0.
Ejercicios propuestos
II -3.
Resuelva el Problema I I -1 si la distancia de C a A es m veces la de C a B.
( R : xc =
II -4.
X
+m x B
)
1+ m
A
Idem si el punto C es exterior a AB.
( R : xc =
X
−m x B
1−m
A
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II -5. A, B, C y D son puntos de un eje, tales que AB = -8;
BC = 16; CD
= -7
Calcular las abscisas de B, C y D si se toma A como origen.
(R.: XA = 0; XB = -8; XC = 8; XD = 1).
II -6. En el ejercicio anterior, ¿cuáles serían las abscisas si se cambia el sentido del eje,
conservando el origen en A?
(R.: x A = 0; x B = 8; x C = -8; xD = -1).