Mapeos Conformes

Mapeos Conformes
Rodrigo Vargas
1. Sea D = {z = x + iy : x2 + y 2 < 1 , x2 − x + y 2 > 0}. Hallar un mapeo
conforme desde D al disco unitario abierto D.
Solución. Basta considerar las siguientes aplicaciones conformes
1
z−1
z+
1
2
|
1/2
1
-1
-1
2
-1
2
−iz
ez
2πz
πi
-1
i
2
z−i
z+i
1
2. Hallar un mapeo conforme del semi disco {z : |z| < 1 , Im z > 0} sobre
el disco unitario D.
Solución. Basta considerar las aplicaciones conformes
1
2
Rodrigo Vargas
1
z−1
z+
1
2
-1/2
1
−z 2
z−i
z+i
1
3. Sea D el disco unitario. Hallar la imagen inversa de D bajo el mapeo
i−iz
f (z) = e z+1 .
i − iz
Solución. Sea g(z) =
, entonces g mapea el circulo unitario el
z+1
semi plano superior y tenemos la siguiente situación geométrica
g(z)
ez
1
4. Hallar un mapeo conforme desde la región {z ∈ C : |z−1| > 1, |z+1| > 1}
sobre el disco pinchado D∗ = {z ∈ C : |z| < 1} − {0}.
Solución. Basta considerar las siguientes aplicaciones conformes
3
Mapeos Conformes
1
z
|
|
-1
1
z+
1
2
-1
2
1
1
2
1
iz
ez
πz
πi
i
z−i
z+i
1
5. Suponga que un circulo está contenido en el interior de otro y que ellos
son tangentes en un punto a ∈ R, tal como lo muestra la figura.
D
a
Sea D la región entre los dos circulos. Hallar un mapeo conformal f entre
D y el disco abierto unitario.
1
Solución. Basta considerar la aplicación
y proceder como como
z−a
en el problema 1.
6. Dar un mapeo conforme de C − [1, ∞) sobre el disco abierto unitario.
Solución. Basta considerar las siguientes aplicaciones conformes
4
Rodrigo Vargas
√
z−1
z−i
z+i
z
0
1
7. Sean G1 y G2 dos regiones simplemente conexas acotadas, z0 ∈ G1 y
w0 ∈ G2 . Demuestre que existe una mapeo analı́tico biyectivo desde G1
a G2 tal que f (z0 ) = w0 .
Solución. Por el Teorema del mapeo de Riemann, existe una mapeo
conforme biyectivo f1 : G1 → D y f : G2 → D. Sean a0 = f1 (z0 ) y
b0 = f2 (w0 ) y A : D → D un automorfismo que envı́a a0 a b0 .
Entonces f2−1 ◦ A ◦ f1 : G1 → G2 es biyectiva y analı́tica. Además,
(f2−1 ◦ A ◦ f1 )(z0 ) = (f2−1 ◦ A)(a0 ) = f2−1 (b0 ) = w0 .
8. Hallar un mapeo conforme de el semi disco S = {z : |z| < 1 , Im (z) > 0}
sobre el cuadrante Q = {z : Re(z) > 0 , Im(z) > 0}.
Solución. Considere las siguientes aplicaciones conformes
1
z+1
z−
1
2
iz
1
2
1
0
9. Establezca con todos los detalles, el Teorema del mapeo de Riemann y de
un mapeo conforme del semi disco |z| < 1, Im(z) > 0 sobre el cuadrante
Re z > 0, Im z > 0.
Solución. Teorema del mapeo de Riemann: Toda región simplemente
conexa R ⊂ C con R 6= C es conformemente equivalente (es decir, inyectiva y conforme) al disco unitario abierto D. Además, si R es como
arriba y z0 ∈ R, entonces existe un único mapeo conforme ϕ : R → D tal
que ϕ(z0 ) = 0 y ϕ′ (z0 ) < 0.
Para la segunda pregunta, basta considerar las aplicaciones conformes:
5
Mapeos Conformes
1
z−1
z+
1
2
-1/2
1
√
−z 2
z