Optimización. E: Un cilindro circular recto ha de - Canek

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Optimización.
E: Un cilindro circular recto ha de contener V cm3 de refresco y usar la mı́nima cantidad posible de
material para su construcción.
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r
h
D: H
De la figura. V es una constante:
V = πr2 h
Área total del cilindro. Función que se desea optimizar:
A = 2πrh + 2πr2
Despejamos h de la restricción, esto es, de la fórmula del volumen
h=
V
πr2 A = 2πr
V
πr2
+ 2πr2 =
2V
+ 2πr2
r
Al sustituir nos queda una función de una sola variable
2V
+ 4πr
r2
4V
A 00 = 3 + 4π > 0, ya que r > 0
r
A0 = −
2V
−2V + 4πr3
A = 0 ⇒ − 2 + 4πr = 0 ⇒
= 0 ⇒ −2V + 4πr3 = 0 ⇒ r =
r
r2
0
V
2π
1
3
Mı́nimo absoluto
V
1
V 3
2π
= 2r
h = 2 = 2 2 = 2
2π
3
3
V
V
π
2π
2π
V
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canek.azc.uam.mx: 6/ 3/ 2007
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