1 Agrupa aquellos monomios de los que siguen que sean

1
Agrupa aquellos monomios de los que siguen que sean semejantes, y halla su suma:
−
2a 2mx 3 ,
3 2
bn y,
2
−
5 2 3
a mx ,
2
3bmx 3 ,
−
1 2
b my,
3
3 2 3
a mx ,
2
3 2
n by,
2
2mbx 3
2
Expresa con letras o con números y letras las siguientes frases:
a) Dos números suman 15.
b) El triple de un número más el duplo de otro da 38.
c) Un número es igual al cuádruplo de otro menos 14.
d) El producto de dos números es igual a la cuarta parte del segundo.
3
Si el lado de triángulo equilátero es l, expresa su altura y su área según la letra l. Calcula sus valores para
l = 12
.
4
A = (x 2 − 3) 2 + 12x 2 B = (x 2 + 3) 2
Halla el valor numérico de las expresiones:
,
; para:
a) x =1/2
b)
x= 3
.
5
En un cibercafé la tarifa por navegar por Internet es la siguiente:
"Primera hora o fracción, 2,00 euros.
Cada hora o fracción siguiente, 1,80 euros."
a) Averigua la expresión algebraica que da el coste por horas.
b) Calcula el precio para 2, 3, 4, ..., 12 horas de navegación.
6
Un concesionario de coches ofrece el siguiente sueldo mensual: "Un salalrio fijo de 750 euros, más una
comisión de 200 euros por cada coche vendido. Se descuentan 70 euros en concepto de pago a la
Seguridad Social".
a) Escribe la expresión que proporciona el sueldo que se gana en función del número de coches
vendidos.
b) ¿Cuánto ganará un vendedor si es capaz de vender 10 coches mensualmente?
7
Efectúa las siguientes divisiones utilizando el método de Ruffini:
(x 4 − 3x2 + 5x − 8) : (x + 2)
a)
(x6 − 3x 4 − 5x2 + 4) : (x − 2)
b)
8
Efectúa los siguientes productos y reduce los términos semejantes:
2
a) (x - 2)(2x + 1) - ( x - 1) (x + 2)
b) (x + 2y) (3x - y +3 xy - 1)
9
Calcula las siguientes potencias:
(− xy) 2 (x 2 y) 3
a)
(2 x − 2 )
4
b)
5 2
10 En una división por el método de Ruffini se han borrado los números de la primera fila, quedando:
2
4
8
8 - 10
2
4
4
-5
15
¿Puedes reconstruir la primera fila, y escribir los polinomios dividendo, divisor, cociente y resto?
11
⎡⎛ x
⎞⎛ x
⎞⎤
⎢⎜ + 2 y ⎟ ⎜ − 2 y ⎟ ⎥
⎠⎝ 2
⎠⎦
⎣⎝ 2
3
.
Efectúa la siguiente potencia y reduce los términos semejantes:
12
2
En una división de polinomios el cociente es x + x − 2 , y el resto es R(x) = - 4x + 4. Si el dividendo es el
4
2
polinomio x − x , ¿qué polinomio es el divisor?
13 Calcula a, b y c para que sean correctas las siguientes divisiones indicadas:
(2ax 5 − bx3 − 2cx 2 ) : (3x2 ) = 4x3 + 5x − 1
a)
(ax 2 y3 − 3bx2 y2 − cxy3 ) : (2xy2 ) = xy − 2x + 3 y
b)
.
14 Dado el polinomio P(n) = n(n+1)(2n+1), justifica que P(n+1) - P(n) es un múltiplo de 6.
(5 x 5 − 7x3 + 7x + a) : (x 2 − 2)
15
Calcula el valor de a para que el resto de la división
iguales.
tenga los coeficientes
16 Halla las raíces enteras y factoriza el siguiente polinomio:
x 3 + 2 x 2 − 5 x − 6.
17 Halla las raíces enteras de los siguientes polinomios:
x 2 + 2x − 15
a)
x3 + 3x2 + x + 3
b)
18
Halla las raíces enteras del siguiente polinomio:
x 4 − x 3 − 7 x 2 + x + 6.
19 Escribe un polinomio cuyas raíces sean x = - 2, x = 2, x=1/2 y x = - 1/3, y que tenga el coeficiente de mayor
grado igual a 6.
20 Escribe en forma de productos y potencias, utilizando los productos notables, las siguientes expresiones:
4x 2 (x2 − 4) − 16(x 2 − 4)
a)
x 4 16
−
4
81
b)
.
P(x ) = 2x 5 − 2x 4 − 34x 3 − 30x 2
21
Factoriza el polinomio
, hallando sus raíces enteras
22 Escribe las siguientes expresiones como productos notables:
a)
x 6 + 12x 3 + 36
1 4
x − 8x 2 + 64
4
b)
x 6 y 4 − x 4 y6
c)
23 Hallando sus raíces enteras, factoriza los polinomios
P(x ) = x 4 − 3x 3 − 4x 2
Q( x ) = x 4 − 3 2 − 2 x
y
y calcula un máximo común divisor y un mínimo común múltiplo de los mismos.
24 Saca factores comunes y usa los productos notables para escribir las siguientes expresiones en forma de
productos y potencias:
4 x 2 y + 12xy + 9y
a)
b)
2 x 3 y2 − 8 x 2 y − 8 x
SOLUCIONES
1.- Solución:
5 3⎞
⎛
⎜ 2 − + ⎟a2mx 3 = a2mx 3
2 2⎠
⎝
Son semejantes el 1º, el 3º y el 6º, su suma es:
⎛ 3 3⎞ 2
⎜ − + ⎟bn y = 0
⎝ 2 2⎠
También lo son el 2º y el 7º:
Lo mismo ocurre con el cuarto y el octavo, su suma es:
El quinto no es semejante a ningún otro.
5bmx 3
.
2.- Solución:
x + y = 15.
a)
b)
c)
3 x + 2y = 38.
x = 4 x − 14.
y
x⋅y = .
4
d)
3.- Solución:
La altura, uno de los lados y la mitad de la base determinan un triángulo rectángulo, en el que aplicamos el
teorema de Pitágoras:
h = l2 −
l2
=
4
3 2
3
l =
l
4
2
.
A=
3 2
l
4
El área es:
3
12 =
2
36
=3
2
2
3
12 = 3 3
4
unidades. A =
Los valores pedidos son: h =
4.- Solución:
2
2
1 169
⎛1
⎞
A = ⎜ − 3 ⎟ + 12 =
4
16
⎝4
⎠
a)
169
⎛1
⎞
B = ⎜ + 3⎟ =
16
⎝4
⎠
,
2
2
2
A = ⎛⎜ 3 − 3 ⎞⎟ + 12 3 = 36 B = ⎛⎜ 3 + 3 ⎞⎟ = 36
⎠
⎠
⎝
⎝
2
b)
2
,
unidades.
5.- Solución:
a) Si llamamos x al número de horas que estamos navegando e y al coste por horas, podemos escribir,
teniendo en cuenta
que hay un coste prácticamente fijo (los 2,00 euros que cuesta la primera hora o
fracción), y = 2+ 1,80·(x - 1).
b) y(2) = 2 + 1,80·(2 - 1) = 2 + 1,80 = 3,80 euros
y(3) = 2 + 1,80·(3 - 1) = 2 + 3,60 = 2,60 euros
y(4) = 2 + 1,80·(4 - 1) = 2,00 + 5,40 = 7,40 euros
y(5) = 9,20 euros
y(6) = 11,00 euros
y(7) = 12,80 euros
y(8) = 14,60 euros
y(9) = 16,40 euros
y(10) = 18,20 euros
y(11) = 20 euros
y(12) = 21,80 euros
6.- Solución:
c) Si llamamos x a los coches vendidos mensualmente, e y al sueldo podemos escribir: y = 750 + 200x - 70
= 680 + 200x.
d) y(10) = 680 + 200·10 = 2680 euros.
7.- Solución:
a) 1
-2
1
0
-2
-2
-3
4
1
5
-2
3
C ( x) = x 3 − 2 x 2 + x + 3
b) 1
2
1
0
2
2
-3
4
1
-8
-6
- 14
, R(x) = - 14
0
2
2
-5
4
-1
0
-2
-2
C ( x) = x 5 + 2 x 4 + x 3 + 2 x 2 − x − 2
4
-4
0
, R(x) = 0.
8.- Solución:
2x 2 + x − 4x − 2 − ( x3 + 2x 2 − x − 2) = − x3 − 2x
a)
3x 2 − xy + 3x 2 y − x + 6xy − 2y 2 + 6xy2 − 2y = 3x 2 y + 6xy2 + 3x 2 + 5xy − 2y 2 − x − 2y
b)
9.- Solución:
( − xy) 2 ( x 2 y ) 3
c)
(2 x − 2 ) (2 x )
4
d)
( −1)2 x2 y2 x6 y3 = x8 y5
=
5 2
4
=
2
( )
5 2
− 2·24 x·25 + 2
.
8 2
10
10
= 2 x −2 x+2 .
10.- Solución:
Según la regla de Ruffini, los números de la primera fila son los de la tercera menos los de la segunda.
También podemos calcularlos con la relación fundamental de la división:
(2x 3 + 4 x 2 + 4 x − 5)( x − 2) + 15 = 2x 4 − 4 x 2 − 13x + 25
D(x) = C(x)d(x) + R(x) =
.
11.- Solución:
2
⎛x
⎞⎛ x
⎞ ⎛x⎞
⎜ + 2y ⎟⎜ − 2y ⎟ = ⎜ ⎟ − 4 y 2.
2
2
⎝
⎠⎝
⎠ ⎝2⎠
La base de la potencia es el producto de una suma por una diferencia:
La potencia pedida es:
3
⎛ x2
⎞
⎛ x2
⎞⎛ x 4
⎞
⎜
− 4y2 ⎟ = ⎜
− 4 y 2 ⎟⎜
− 2x 2 y 2 + 16 y 4 ⎟ =
⎜ 4
⎟
⎜ 4
⎟⎜ 16
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠⎝
⎠
=
x6 x4y2
x 4 y2
−
+ 4x 2 y 4 −
+ 8 x 2 y 4 − 64 y 6
64
2
4
x6 3x 4y2
−
+ 12x 2 y 4 − 64 y 6
64
4
=
12.- Solución:
C( x )d( x ) = x 4 − x 2 − ( −4x + 4).
De la relación fundamental de la división: D(x) = C(x) d(x) + R(x), obtenemos:
Dividiendo la última expresión por el polinomio cociente, obtenemos el divisor:
x 4 + 0x3 − x2 + 4x − 4
x4 − x2
− x 4 − x 3 + 2x 2
x2 − x + 2
− x3 + x2 + 4x − 4
+ x 3 + x 2 − 2x
2x 2 + 2x − 4
− 2x 2 − 2 x + 4
El polinomio divisor es:
0
d( x ) = x 2 − x + 2
13.- Solución:
a) Los exponentes de la x de los distintos términos nos los dan ajustados, solamente hay que igualar los
coeficientes de igual grado:
−b
−2c
3
2a
=4→a=6
= 5 → b = −15
= −1 → c =
3
2
3
3
,
,
.
b) Como anteriormente, debemos igualar los coeficientes en la división de cada monomio del polinomio por
2xy 2
:
−3b
4 −c
a
= −2 → b =
= 1→ a = 2
= 3 → c = −6
2
3 2
2
,
,
.
14.- Solución:
La expresión para P(n+1) es:
P(n+1) = (n+1)(n+2)(2n+3).
Y la diferencia que plantea el problema:
P(n+1) - P(n) = (n+1)(n+2)(2n+3) - n(n+1)(2n+1)
Sacando factor común y operando:
(2n2 +7n + 6 − 2n2 − n)
(n+1)[(n+2)(2n+3) - n(2n+1)] = (n+1)
= 6(n+1)(n+1)
Es decir, seis veces el cuadrado de un número, luego, es múltiplo de 6.
15.- Solución:
Realizamos la división:
2x 5 + 0 x 4 − 7 x 3 + 0 x 2 + 7 x + a
2x 5
x2 − 2
2x 3 − 3 x
+ 4x3
− 3x3 + 0x 2 + 7x + a
+ 3x3
-6x
x +a
Para que los coeficientes de R(x) = x + a sean iguales: a = 1.
16.- Solución:
x = ±1; x = ±2; x = ±3; x = ±6
Los divisores de 6 son:
Los valores numéricos para dichos números son:
P(1) = 1 + 2 - 5 - 6 = - 8
P(- 1) = - 1 + 2 + 5 - 6 = 0
P(2) = 8 + 8 - 10 - 6 = 0
P(-2) = - 8 + 8 +10 - 6 = 4
P(3) = 27 + 18 - 15 - 6 = 24
P(-3) = - 27 + 18 + 15 - 6 = 0
Las tres raíces del polinomio son: x = -1, x = 2 y x = - 3.
El polinomio dado es igual al producto: (x + 1)(x - 2)(x + 3).
17.- Solución:
a) Los divisores de 15 son:
x = ±1; x = ±3; x = ±5;
x = ±15
Se comprueba mentalmente que x = ±1 no son raíces.
Para x = 3 se tiene: P(3) = 9 + 6 - 15 = 0, luego
x = 3 es una raíz.
Si x = - 3 se tiene: P(- 3) = 9 - 6 - 15= -12, no es raíz.
Para el valor 5: P(5) = 25 + 10 -15 = 20, tampoco es raíz.
Si x = - 5 se tiene: P(- 5) = 25 - 10 - 15 = 0, luego,
x = - 5 es la segunda de las raíces.
b) Los divisores de 3, el término independiente, son:
x = ±1; x = ±3
Mentalmente se comprueba que ningún número positivo puede ser raíz.
Si x = -1 el valor numérico es: P(- 1) = -1 + 3 - 1 + 3 = 4, luego, no es raíz.
Cuando x = - 3 se tiene: P(- 3) = -27 + 27 - 3 + 3 = 0, por lo tanto, x = - 3 es una raíz.
El polinomio no tiene más raíces enteras que x = - 3.
18.- Solución:
x = ±1; x = ±2; x = ±3; x = ±6
Los divisores de 6 son:
Los valores numéricos para dichos números son:
P(1) = 1 - 1 - 7 + 1 + 6 = 0
P(- 1) = 1 + 1- 7 - 1 + 6 = 0
P(2) = 16 - 8 - 28 + 2 + 6 = - 12
P(-2) = 16 + 8 - 28 - 2 + 6 = 0
P(3) = 81 - 27 - 63 + 3 + 6 = 0
19.- Solución:
El polinomio pedido debe tener como factores (x + 2), (x - 2), (x -1/2) y (x + 1/3).
El producto de los cuatro factores da un polinomio con dichas raíces cuyo coeficiente de mayor grado es
uno. Multiplicando por 6 obtenemos el polinomio pedido:
1
1
6( x 2 − 4)( x 2 − x − ) = 6 x 4 − x 3 − 25 x 2 + 4 x + 4.
6
6
6(x + 2)(x - 2)(x -1/2)(x + 1/3) =
20.- Solución:
2
a) El número cuatro y ( x - 4) son factores comunes:
4( x 2 − 4)( x 2 − 4) = 4( x 2 − 4)2
Obtenemos una diferencia de cuadrados al cuadrado, luego:
4[( x + 2)( x − 2)] = 4( x + 2)2 ( x − 2)2 .
2
2
2
⎛ x2 ⎞
⎛ 2
⎞⎛ 2
⎞
⎜ ⎟ − ⎛⎜ 4 ⎞⎟ = ⎜ x + 4 ⎟⎜ x − 4 ⎟
⎜ 2⎟
⎜
⎟
⎜
9 ⎠⎝ 2 9 ⎟⎠
⎝9⎠
⎝ ⎠
⎝ 2
b) Buscamos una diferencia de cuadrados:
El último paréntesis es de nuevo una diferencia de cuadrados:
2
2
⎛ x 2 4 ⎞ ⎡⎛ x ⎞
2 ⎞⎛ x
2⎞
⎛ 2 ⎞ ⎤⎥ ⎛⎜ x 2 4 ⎞⎟⎛ x
⎜
⎟
⎢
⎜
⎟
+ ⎜⎜
+ ⎟⎟⎜⎜
− ⎟⎟
+
−
⎜ ⎟ =⎜
⎟
⎟ ⎢⎜ 2 ⎟
x 4 16 ⎜ 2
9
3
2
9
3
3
⎝ ⎠ ⎥⎦ ⎝
⎠
⎠⎝ 2
⎠
⎝
⎠ ⎣⎝
⎠⎝ 2
−
4
81
=
21.- Solución:
2
El polinomio tiene 2 y x como factores comunes, entonces:
P( x ) = 2 x 2 ( x 3 − x 2 − 17 x − 15 ).
Una de las raíces enteras es x = 0, y las otras posibles están entre:
x = ±1; x = ±3; x = ±5; x = ±15
Los valores numéricos del paréntesis, Q(x), para dichos valores son:
3
2
Q(1) = 1 − 1 - 17 - 15 = - 32
Q(- 1) = - 1 - 1 + 17 - 15 = 0
Q(3) = 27 - 9 - 51 - 15 = - 48
Q(-3) = - 27 - 9 + 51 - 15 = 0
Q(5) = 125 - 25 - 85 - 15 = 0
Luego, las tres raíces de Q(x) son:
x = - 1, x = - 3 y x = 5.
El polinomio se escribe como producto de factores de la forma:
P( x ) = 2 x 2 ( x + 1)( x + 3)( x − 5).
22.- Solución:
a) Buscamos el cuadrado de una suma:
( x 3 )2 + 2 ⋅ 6x 3 + 62 = ( x3 + 6)2.
b) Ajustamos, ahora, el cuadrado de una diferencia:
2
2
⎛ x2 ⎞
⎛ 2
⎞
⎜ ⎟ − 2·8· x + 82 = ⎜ x − 8 ⎟
⎜ 2⎟
⎜ 2
⎟
2
⎝ ⎠
⎝
⎠
2
.
c) Se trata de una diferencia de potencias con exponentes pares:
( x 3 y 2 )2 − ( x 2 y 3 )2 = ( x 3 y 2 + x 2 y3 )( x3 y 2 − x 2 y3 ).
23.- Solución:
P(x)
tiene
P( x ) = x 2 ( x 2 − 3 x − 4)
x2
como
3 ± 9 + 16 ⎧⎪4
x=
=⎨
2
⎪⎩− 1
factor
común:
,
y
las
raíces
del
paréntesis
son:
.
P( x ) = x ( x − 4 )( x + 1).
2
Es decir:
Q( x ) = x( x 3 − 3 x − 2)
Q(x) tiene x como factor común o x = 0 como raíz entera:
±1, ± 2
Las otras raíces enteras de Q(x) están entre los números:
.
Comprobamos que x = - 1 y x = 2 lo son: Q(- 1) = -1(- 1 + 3 - 2) = 0, Q(2) = 2(8 - 6 - 2) = 0.
Dividimos el polinomio del paréntesis por (x + 1) y (x - 2) por el método de Ruffini sucesivamente, y el
cociente resultante nos dará el tercer factor:
1
0
-3
-2
-1
-1
1
2
1
-1
-2
0
2
2
2
1
1
0
Q( x ) = x( x + 1)2 ( x − 2).
x 3 − 3 x − 2.
Entonces, el último cociente, (x + 1), es el tercer factor de
. Es decir:
Las reglas de la divisibilidad nos dan:
[P( x), Q( x)] = x2 ( x − 4)( x + 1)2 ( x − 2).
M.C.D.[P, Q] = x(x + 1), m.c.m.
24.- Solución:
2
c) Los tres sumandos tienen y como factor común: y(4 x + 12x + 9)
Buscamos el cuadrado de un binomio en el paréntesis:
y (2x )2 + 2 ⋅ 3 ⋅ 2x + 32 = y(2x + 3)2
.
x2y2
d) Los factores comunes, ahora, son 2 y x: 2x(
- 4xy + 4)
El paréntesis es el cuadrado de una diferencia:
2x ( xy)2 − 2 ⋅ 2xy + 22 = 2x( xy − 2)2.
[
]
[
]