Las posibles raíces enteras de un polinomio son los divisores del
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IES Leonardo da Vinci. Departamento de Matemáticas Alba de Tormes, Salamanca Las posibles raíces enteras de un polinomio P(x) de coeficientes enteros son los divisores del término independiente. Sea P(x) = a n x n + a n −1x n −1 + a n −2 x n −2 + .... + a1x + a 0 , con a n , a n −1 , a n −2 .....a1 , a 0 ∈ ] . Vamos a probar que si r es una raíz de P(x) entonces r es divisor del término independiente a0. Si r es una raíz ⇒ P(r) = 0 ⇔ (*) a n r n + a n −1r n −1 + a n −2 r n − 2 + .... + a1r + a 0 = 0 ⇔ ( ) (**) r ⋅ a n r n −1 + a n −1r n −2 + a n −2 r n −3 + .... + a1 + a 0 = 0 ⇔ a n r n −1 + a n −1r n −2 + a n −2 r n −3 + .... + a1 = (*) (**) anr n −1 −a 0 r se extrae r como factor común a cada uno de los sumandos del recuadro. se despeja el paréntesis. En la última igualdad ambas expresiones son números enteros: + a n −1r n −2 + a n −2 r n −3 + .... + a1 ∈ ] −a 0 ∈ ] ⇒ r es un divisor de a 0 r Este teorema nos permite acotar los enteros que pueden ser raíces de un polinomio. Ejemplo: Sea P(x)=2x4-5x3+2x2-3x+6; sus posibles raíces enteras son los divisores del término independiente: 6: +1,-1,+2, -2, +3, -3, +6 y -6.
