La ecuación de segundo grado

La ecuación de segundo grado
ÁLGEBRA
Son ecuaciones de segundo grado aquellas en las que la incógnita aparece al menos una
vez elevada al cuadrado (x2). Por ejemplo: 6x2 - 9x = x - 2
Una ecuación de segundo grado es aquella que puede reducirse a la forma
Donde nunca se anula a (porque entonces sería una ecuación de 1er grado).
Número de soluciones
Una ecuación de 2º grado puede tener 2 soluciones, 1 solución o ninguna.
Solucionar una ecuación de segundo grado consiste en averiguar qué valor o valores al
ser sustituidos por la indeterminada convierten la ecuación en una identidad. Se hace
mediante la fórmula:
donde:
a → coeficiente de x2
b → coeficiente de x
c → término independiente
donde a, b, y c van con sus respectivos signos, + ó Llamamos discriminante a
(lo que está debajo de la raíz cuadrada); en
función del signo del discriminante conoceremos el número de soluciones de la ecuación,
así:
 Si el discriminante es menor que cero  ∆

→ la ecuación no tiene
solución (porque sería una raíz cuadrada de un número negativo)
 Si el discriminante es cero 

la ecuación sólo tiene 1 solución
(sería la raíz cuadrada de cero)
 Si el discriminante es mayor que cero 

 hay dos soluciones.
SOLUCIÓN GENERAL DE LA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO
Como vimos en la descripción, cualquier ecuación de segundo grado se puede expresar
de la forma:
ax2 +bx + c = 0
donde a, b y c serán números enteros (positivos o negativos).
Una vez conseguida dicha forma, las soluciones o raíces de la ecuación son:
¡ATENCIÓN! En esta fórmula SÓLO hay números, NINGUNA LETRA:
a, b, c son NÚMEROS
1
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RESOLUCIÓN DE ECUACIONES INCOMPLETAS
Si observamos los coeficientes b y c, las podemos clasificar en:
completas → si no se anula ninguno de los coeficientes; o bien
incompletas → si se anula b o c


Una ecuación de 2º grado es incompleta cuando alguno de los dos coeficientes b o c es
cero; y se puede resolver usando la fórmula general; pero es mejor (más fácil y rápido)
usar uno de estos procedimientos:
1. Caso en que b=0 →
Se resuelve despejando la incógnita x:
2. Caso en que c=0 →
Se saca factor común de x; tenemos entonces 2 factores (x y el paréntesis) cuyo
producto es cero. Con lo cual, uno de ellos dos ha de ser cero:
3. Caso en que b=c=0 →
Al despejar la incógnita x, vemos que la única solución es
ALGUNAS PROPIEDADES DE LA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO
1. El polinomio
puede factorizarse de la forma:
donde x1 y x2 son las soluciones (raíces) de la ecuación de 2º grado
2. Igualmente:
Esta expresión se utiliza para:


2
Dada la ecuación, encontrar las raíces si son sencillas
Dadas las raíces, encontrar la ecuación
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De dónde sale la fórmula de la ecuación de 2º grado
Por si alguna vez te has preguntado de dónde sale la fórmula, aquí tienes la respuesta:
ax 2  bx  c  0 ; dividiendo todo por el coeficiente a:
x2 
b
c
x 0
a
a
Estudiemos: x 
2
b
x ; como identidad notable (cuadrado de una suma):
a
2
2
2
b 
b
b

 b 
 b 
2
 x2     x
x 
  x     2x
2a 
2a
a

 2a 
 2a 
2
2
b
b   b 

Luego: x  x   x 
    ; sustituimos:
a
2a   2 a 

2
2
2
2
b   b 
c

x
     0;
2a   2a 
a

2
b 
b2
c

x 
  2 
2a 
a
4a

x
b
b 2  4ac

;
2a
4a 2
x
 b  b 2  4ac
2a
2
b 
c

 b 
x 
   
2a 
a

 2a 
2
b 
b 2  4ac

x 
 
2a 
4a 2

x
b
b 2  4ac

2a
2a
 Sumando las raíces x1, x2
 b  b 2 4ac  b  b 2  4ac  2b  b
b



 x1  x 2 
2a
2a
2a
a
a
 Multiplicando las raíces x1, x2
 b  b 2 4ac  b  b 2  4ac   b
b 2  4ac    b
b 2 4ac  b 2 b 2  4ac 4ac c
·


·



 2 
2
 2a
  2a
 4a 2
2a
2a
2
a
2
a
a
4
a
4a




3
x1 ·x 2 
c
a
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