Matemáticas Avanzadas para Ingenier´ıa

Matemáticas Avanzadas para Ingenierı́a
Números Complejos: Problemas Resueltos
1. Si z1 = 3 + 2 i y z2 = 4 + 7 i, calcule:
a) z1 + z2 b) z1 − z2 c) z1 · z2 d) z2 /z1
e indique la opción con su resultado dentro de la siguiente lista:
1) 2 − i
2) −2 + 29 i 3) −2 − 29 i
4) 7 + 9 i 5) 2 + i
6) −1 − 5 i
Solución
a) z1 + z2
= (3 + 2 i) + (4 + 7 i)
= 3 + 4 + 2i + 7i
= 7 + 9 i agrupado respecto a i
b) z1 − z2
= (3 + 2 i) − (4 + 7 i)
= 3 − 4 + 2i − 7i
= −1 − 5 i agrupado respecto a i
c) z1 · z2
d)
z2
z1
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
(3 + 2 i) · (4 + 7 i)
(3) · (4) + (2 i) · (4) + (3) · (7 i) + (2 i) · (7 i) todos contra todos
12 + 8 i + 21 i + 14 i2
12 + 8 i + 21 i − 14 cambiando i2 = −1
12 − 14 + 8 i + 21 i
−2 + 29 i agrupado respecto a i
4+7 i
3+2 i
4+7 i 3−2 i
3+2 i · 3−2 i multiplicando por conjugado del denominador
(4+7 i)·(3−2 i)
(3+2 i)·(3−2 i)
12+21 i−8 i−14 i2
multiplicando arriba y abajo
9+6 i−6 i−4 i2
12+21 i−8 i+14
cambiando i2 = −1
9+6 i−6 i+4
26+13 i
agrupado respecto a i
13
26
13
+
i
distribuyendo el denominador que es real
13
13
=
=
= 2+i
2. Si z1 = −4 − 2 i, z2 = 2 + 4 i y z3 = 3 + 2 i, calcule:
a) z1 · (z2 − z3 ) c) (z1 + z2 ) · (z1 − z3 )
Solución
a) z1 · (z2 − z3 )
=
=
=
=
=
=
(−4 − 2 i) · ((2 + 4 i) − (3 + 2 i))
(−4 − 2 i) · (−1 + 2 i)
(−4) · (−1) + (−2 i) · (−1) + (−4) · (2 i) + (−2 i) · (2 i)
4 + 2 i − 8 i − 4 i2
4 + 2i − 8i + 4
8 − 6i
c) (z1 + z2 ) · (z1 − z3 )
= ((−4 − 2 i) + (2 + 4 i)) · ((−4 − 2 i) − (3 + 2 i))
= (−2 + 2 i) · (−7 − 4 i)
= (−2) · (−7) + (2 i) · (−7)+
(−2) · (−4 i) + (2 i) · (−4 i)
= 14 − 14 i + 8 i − 8 i2
= 14 − 14 i + 8 i + 8
= 22 − 6 i
3. Realice los siguientes cálculos:
Ma3002, Números Complejos: Problemas Resueltos
2
a) i13
b) i20
c) i23
d) i−7
e) i−17
y ubique los resultados dentro de esta lista de respuestas:
1) 1
2) −1
3) i
4) −i
Solución
A tener presente:
Las primeras potencias enteras de i:
i0 = 1, i1 = i, i2 = −1, i3 = i2 · i = −i, i4 = i2 · i2 = 1
El algoritmo de la división para enteros: Todo número entero n se puede expresar en la forma
n = 4 · q + r, con 0 ≤ r ≤ 3 = 4 − 1
con q y r enteros; a r se conoce como el residuo de la división y puede obtenerse con la función mod. Observe que si
se tiene r = n mod 4, entonces
q = (n − r)/4
Respuesta:
a) Como 13 mod 4 = 1, q = (13 − 1)/4 = 3, ası́
3
i13 = i4·3+1 = i4·3 · i1 = i4 · i = 1 · i = i
b) Como 20 mod 4 = 0, q = (20 − 0)/4 = 5, ası́
5
i20 = i4 · i0 = 1
c) Como 23 mod 4 = 3, q = (23 − 3)/4 = 5, ası́
5
i23 = i4 · i3 = −i
d) Como −7 mod 4 = 1, q = (−7 − 1)/4 = −2, ası́
−2 1
i−7 = i4
·i =i
e) Como −17 mod 4 = 3, q = (−17 − 3)/4 = −5, ası́
−5 3
i−17 = i4
· i = −i
Tomando en cuenta las posiciones posibles de las respuestas, debe anotarse:
3, 1, 4, 3, 4
2
4. ¿Cuánto debe valer el real x para que el complejo (3 + x i) sea imaginario puro?
Respuesta:
Solución
Recordemos que para que un número complejo sea imaginario puro se requiere que su parte real sea cero. Como
2
(3 + x i) = 9 − x2 + 6 x i
entonces, para que sea imaginario puro se requiere que 9 − x2 = 0. Tenemos dos valores posibles para x: x = 3 y x = −3.
Ma3002, Números Complejos: Problemas Resueltos
3
5. ¿Cuánto debe valer el real x para que se verifique la igualdad:
x − 6i
=7+i
1−i
Solución
Si
x − 6i
=7+i
1−i
entonces
x − 6i
=
=
=
=
=
(1 − i) · (7 + i)
(1) · (7) + (−i) · (7) + (1) · (i) + (−i) · (i)
7 − 7 i + i − i2
7 − 7i + i + 1
8 − 6i
Igualando las partes reales de ambos miembros tenemos que x = 8
6. Indique los valores del número real x para que el producto:
(2 + 7 i) · (6 + x i)
sea:
1) Un imaginario puro
2) Un número real
Solución
Recordemos que para que un número complejo sea imaginario puro se requiere que su parte real sea cero. Mientras que para
que sea real se requiere que su parte imaginaria sea cero. Como
(2 + 7 i) · (6 + x i) = 12 − 7 x + (2 x + 42) i
entonces,
para que sea imaginario puro se requiere que 12 − 7 x = 0: x = 12/7.
para que sea real se requiere que 2 x + 42 = 0: x = −21.
Ma3002, Números Complejos: Problemas Resueltos
4
7. Cuánto deben valer el real x y el real y para que se verifique la igualdad:
x + 3i
+yi = 1
1 − 4i
Respuesta:
Solución
Recordemos que para que dos números complejos sean iguales sus partes reales deben ser iguales. Ası́ como sus partes
imaginarias deben ser iguales. Como
x + 3i
x
12
4x
3
+yi =
−
+
+y+
i=1
1 − 4i
17 17
17
17
entonces, requerimos x y y cumplan
x
12
−
=1
17 17
y
4x
3
+y+
=0
17
17
por tanto x = 29 y y = 7
8. Si
z1 + z2 = 10 + 4 i , z1 + z2 = 10 − 8 i
z1 − z3 = 4 − 2 i , z1 − z3 = 4 + 4 i
z1 · z4 = 1 + 5 i , z1 · z4 = −5 − i
1
2
3
, z1 / (z5 ) = +
i
2
5 10
determine la parte imaginaria de:
z1 /z5 = −
1) z1 − z3
2) z1 − z3
3) z1 · z4
Ma3002, Números Complejos: Problemas Resueltos
5
4) z1 + z2
5) (z1 ) / (z5 )
Solución
Recordemos las propiedades importantes que tiene el conjugado de un número complejo
El conjugado del conjugado de un número complejo es el número complejo original:
(c) = c
El conjugado de una suma(resta) de números complejos es la suma(resta) de los conjugados de los complejos:
c ± e=c ± e
El conjugado de un producto de números complejos es el producto de los conjugados de los complejos:
c·e=c · e
El conjugado de un división de números complejos es la división de los conjugados de los complejos:
c
e
=
c
e
Con ello mente para determinar
1) z1 − z3 , calculemos su conjugado
z1 − z3 = z1 − z3 = z1 − z3 =dato 4 + 4 i
Por lo tanto, z1 − z3 = 4 + 4 i = 4 − 4 i
2) z1 − z3 , calculemos su conjugado
z1 − z3 = z1 − z3 =dato 4 − 2 i
Por lo tanto, z1 − z3 = 4 − 2 i = 4 + 2 i
3) z1 · z4 , calculemos su conjugado
z1 · z4 = z1 · z4 = z1 · z4 =dato 1 + 5 i
Por lo tanto, z1 · z4 = 1 + 5 i = 1 − 5 i
4) z1 + z2 , calculemos su conjugado
z1 + z2 = z1 + z2 = z1 + z2 =dato 10 − 8 i
Por lo tanto, z1 + z2 = 10 − 8 i = 10 + 8 i
5) (z1 ) / (z5 ), calculemos su conjugado
z1
z5
=
z1
z1
=
=dato −1/2
z5
z5
Por lo tanto, (z1 ) / (z5 ) = −1/2 = −1/2 = −1/2 + 0 i
9. Si z1 = −1 + 3 i y z2 = −4 − 8 i, calcule:
a)
z1
z2
c)
z1
z2
e)
z1
z2
Ma3002, Números Complejos: Problemas Resueltos
Solución
a)
z1
z2
=
=
=
=
=
c)
z1
z2
e)
z1
z2
−1 + 3 i
−4 − 8 i
−1 + 3 i −4 + 8 i
·
−4 − 8 i −4 + 8 i
(−1 + 3 i) · (−4 + 8 i)
(−4 − 8 i) · (−4 + 8 i)
−20 − 20 i
80
− 14 − 41 i
−1 + 3 i
−1 + 3 i
=
−4 + 8 i
−4 − 8 i
−1 + 3 i −4 − 8 i
=
·
−4 + 8 i −4 − 8 i
(−1 + 3 i) · (−4 − 8 i)
=
(−4 + 8 i) · (−4 − 8 i)
28 − 4 i
=
80
7
1
= 20
− 20
i
z1
z1
z1
z1
=
=
=
=
z2
z2
z2
z2
7
1
7
1
=
−
i = 20
+ 20
i
20 20
=
10. Suponga dados los siguientes números complejos en sus diferentes representaciones:
1) z1 = 3 − 2 i
2) z2 = (2, 4)
1
3) z3 = 5 e 3 π i
4) z4 = 5 cis(− 43 π)
5 −2
5) z5 =
2
5
Determine la parte real de:
1) (z1 )2
2) (z2 )3
3) (z3 )4
4) (z4 )5
Solución
6
Ma3002, Números Complejos: Problemas Resueltos
7
11. Determine el número complejo z = x + y i que satisface la ecuación:
z = 5 z̄ + (5 + i)
Reporte el valor de x y de y.
Solución
A tener presente:
Qué es el conjugado de un número complejo:
x+yi = x−yi
Cuándo dos números complejos son iguales:
a1 + b1 i = a2 + b2 i → a1 = a2 y b1 = b2
Un número complejo es cero si y sólo si su parte real y su parte imaginaria son cero:
w = 0 ↔ Re(w) = 0 y Im(w) = 0
Sustituyendo z = x + y i en la ecuación:
z
x+yi
x+yi
= 5 z̄ + (5 + i)
= 5 · (x + y i) + (5 + i)
= 5 · (x − y i) + (5 + i)
= 5x − 5yi + 5 + i
= 5 x + 5 + (−5 y + 1) i
De la igualdad obtenemos las ecuaciones:
x
y
= 5x + 5
= −5 y + 1
Resolviendo las ecuaciones obtenemos:
x=−
5
1
yy=
4
6
Debemos entregar como respuesta
−1.25, 0.1666
Este problema se puede hacer fácilmente en la calculadora. Primeramente se limpian la variables x, y y z. Después se define
z como x + y i. Seguido de ello notamos que como en muchas situaciones es más conviente escribir la relación A = B como
A − B = 0; con esta observación la expresión que va a dar origen a nuestras ecuaciones se maneja como
z − (5 z̄ + (5 + i)) = 0
Salvamos el lado derecho en una variable auxiliar, y resolvemos para x y y obligando que la parte real y la parte imaginaria
sean cero.
Ma3002, Números Complejos: Problemas Resueltos
8
12. Determine el número complejo z = x + y i que satisface la ecuación:
z = −5 i z̄ + (−5 + i)
Reporte el valor de x y de y.
Solución
A tener presente:
Qué es el conjugado de un número complejo:
x+yi = x−yi
Cuándo dos números complejos son iguales:
a1 + b1 i = a2 + b2 i → a1 = a2 y b1 = b2
Un número complejo es cero si y sólo si su parte real y su parte imaginaria son cero:
w = 0 ↔ Re(w) = 0 y Im(w) = 0
Sustituyendo z = x + y i en la ecuación:
z
x+yi
x+yi
=
=
=
=
=
−5 i z̄ + (−5 + i)
−5 i (x + y i) + (−5 + i)
−5 i (x − y i) + (−5 + i)
−5 y − 5 x i + −5 + i
−5 y − 5 + (1 − 5 x) i
De la igualdad obtenemos las ecuaciones:
x
y
= −5 y − 5
= 1 − 5x
Resolviendo las ecuaciones obtenemos:
x=
5
13
yy=−
12
12
Debemos entregar como respuesta
0.416, −1.083
Este problema se puede hacer fácilmente en la calculadora. Primeramente se limpian la variables x, y y z. Después se define
z como x + y i. Seguido de ello notamos que como en muchas situaciones es más conviente escribir la relación A = B como
A − B = 0; con esta observación la expresión que va a dar origen a nuestras ecuaciones se maneja como
z − (−5 i z̄ + (−5 + i)) = 0
Salvamos el lado derecho en una variable auxiliar, y resolvemos para x y y obligando que la parte real y la parte imaginaria
sean cero.
Ma3002, Números Complejos: Problemas Resueltos
9
13. Determine el número complejo z = x + y i que satisface la ecuación:
z = (1 + i) z̄ + (3 + 3 i)
Reporte el valor de x y de y.
Solución
A tener presente:
Qué es el conjugado de un número complejo:
x+yi = x−yi
Cuándo dos números complejos son iguales:
a1 + b1 i = a2 + b2 i → a1 = a2 y b1 = b2
Un número complejo es cero si y sólo si su parte real y su parte imaginaria son cero:
w = 0 ↔ Re(w) = 0 y Im(w) = 0
Sustituyendo z = x + y i en la ecuación:
x + y i = (1 + i) · x + y i + (3 + 3 i)
= (1 + i) · (x − y i) + (3 + 3 i)
= (1 + i) · x − (1 + i) · y · i + 3 + 3 i
= x + xi − y · i + y + 3 + 3i
x + y i = x + y + 3 + (x − y + 3) i
De la igualdad obtenemos las ecuaciones:
x
y
= x+y+3
= x−y+3
Resolviendo las ecuaciones obtenemos:
x = −9 y y = −3
Debemos entregar como respuesta
−9, −3
Este problema se puede hacer fácilmente en la calculadora. Primeramente se limpian la variables x, y y z. Después se define
z como x + y i. Seguido de ello notamos que como en muchas situaciones es más conviente escribir la relación A = B como
A − B = 0; con esta observación la expresión que va a dar origen a nuestras ecuaciones se maneja como
z − ((1 + i) z̄ + (3 + 3 i)) = 0
Salvamos el lado derecho en una variable auxiliar, y resolvemos para x y y obligando que la parte real y la parte imaginaria
sean cero.
Ma3002, Números Complejos: Problemas Resueltos
10
14. Determine el número complejo z = x + y i que satisface la ecuación:
z = (−2 + i) z + (−2 + 5 i)
Reporte el valor de x y de y.
Solución
A tener presente:
Qué es el conjugado de un número complejo:
x+yi = x−yi
Cuándo dos números complejos son iguales:
a1 + b1 i = a2 + b2 i → a1 = a2 y b1 = b2
Un número complejo es cero si y sólo si su parte real y su parte imaginaria son cero:
w = 0 ↔ Re(w) = 0 y Im(w) = 0
Sustituyendo z = x + y i en la ecuación:
z
x+yi
x+yi
= (−2 + i) z + (−2 + 5 i)
= (−2 + i) (x + y i) + (−2 + 5 i)
= −2 x − y + (x − 2 y) i + (−2 + 5 i)
= −2 x − y − 2 + (x − 2 y + 5) i
De la igualdad obtenemos las ecuaciones:
x
y
= −2 x − y − 2
= x − 2y + 5
Resolviendo las ecuaciones obtenemos:
x=−
11
13
yy=
10
10
Debemos entregar como respuesta
−1.1, 1.3
Este problema se puede hacer fácilmente en la calculadora. Primeramente se limpian la variables x, y y z. Después se define
z como x + y i. Seguido de ello notamos que como en muchas situaciones es más conviente escribir la relación A = B como
A − B = 0; con esta observación la expresión que va a dar origen a nuestras ecuaciones se maneja como
z − ((−2 + i) z + (−2 + 5 i)) = 0
Salvamos el lado derecho en una variable auxiliar, y resolvemos para x y y obligando que la parte real y la parte imaginaria
sean cero.
Ma3002, Números Complejos: Problemas Resueltos
11
15. Suponga un número complejo z = x+y i, con x 6= 0 y y 6= 0; suponga también que está determinando su argumento principal
calculando
y
θ = tan−1
x
Para cada una de las siguiente alternativas:
a) z en el segundo cuadrante
b) z en el primer cuadrante
c) z en el cuarto cuadrante
d) z en el tercer cuadrante
indique la opción que contiene el argumento principal en la lista:
1) θ
2) θ + π
3) θ − π
Recuerde las reglas: el argumento de un número complejo se calcula directamente con la tangente inversa si el complejo está
en los cuadrantes a la derecha (1 y 4) pero se suma π para si el complejo está segundo cuadrante y se resta π si el complejo
está en el tercer cuadrante.
a) z en el segundo cuadrante, Arg(z) = θ + π
b) z en el primer cuadrante, Arg(z) = θ
c) z en el cuarto cuadrante, Arg(z) = θ
d) z en el tercer cuadrante, Arg(z) = θ − π
16. Sin hacer uso de una calculadora, determine el argumento principal de cada uno de los siguientes números complejos:
√
b) z2 = √
−1 − 3 i
e) z5 = 3 − i
a) z1 = 1 + i
d) z4 = −1 + i
√
c) z3 = − 3 − i
Respuesta:
Debemos tener en mente los trı́angulos obtenidos del cuadrado de lado 1 y el trı́angulo equilátero de lado 2.
1
√
1
2
2
30o √
3
1
2
60o 1
45o
1
2
De aquı́:
1
tan (45 ) = ,
1
o
√
o
tan (60 ) =
3
,
1
o en términos de las inversas:
1
π
tan−1
= 45o = , tan−1
1
4
1
tan (30o ) = √
3
√ !
3
π
= 60o = ,
1
3
tan−1
1
√
3
a) Para Arg (z1 ), al estar z1 en el primer cuadrante tenemos que
Im(z1 )
1
π
Arg (z1 ) = tan−1
= tan−1
=
Re(z1 )
1
4
= 30o =
π
6
Ma3002, Números Complejos: Problemas Resueltos
12
b) Para Arg (z2 ), grafiquemos el número complejo y utilicemos adecuadamente el triángulo obtenido del triángulo equilátero.
−1
60o
√
− 3
Arg (z2 )
z2
De la figura anterior obtenemos
Arg (z2 ) = −(180o − 60o ) = −(π −
2
1
π) = − π
3
3
c) Para Arg (z3 ), grafiquemos el número complejo y utilicemos adecuadamente el triángulo obtenido del triángulo equilátero.
√
− 3
30o
−1
Arg (z3 )
z3
De la figura anterior obtenemos
Arg (z3 ) = −(180o − 30o ) = −(π −
5
1
π) = − π
6
6
d) Para Arg (z4 ), grafiquemos el número complejo y utilicemos adecuadamente el triángulo obtenido del cuadrado.
z4
1
45o
−1
De la figura anterior obtenemos
Arg (z4 ) = 180o − 45o = π −
1
3
π= π
4
4
Arg (z4 )
Ma3002, Números Complejos: Problemas Resueltos
13
e) Para Arg (z5 ), grafiquemos el número complejo y utilicemos adecuadamente el triángulo obtenido del triángulo equilátero.
√
3
o
30
Arg (z5 )
−1
z5
De la figura anterior obtenemos
1
Arg (z5 ) = −30o = − π
6
17. Realice los siguientes cálculos:
a) z1 = i16
b) z2 = i21
c) z3 = i23
d) z4 = i−10
e) z5 = i−17
y calcule el argumento principal de cada uno.
Solución
Como
4
a) z1 = i16 = i4·4 = i4 = 1, Arg (z1 ) = 0.
5
b) z2 = i21 = i5·4+1 = i4 · i = i, Arg (z2 ) = π/2
5
c) z3 = i23 = i5·4+3 = i4 · i3 = i3 = −i, Arg (z3 ) = −π/2
−3 2
d) z4 = i−10 = i−3·4+2 = i4
· i = i2 = −1, Arg (z4 ) = π
−5 3
e) z5 = i−17 = i−5·4+3 = i4
· i = i3 = −i, Arg (z5 ) = −π/2
18. Determine el módulo de cada uno de los números complejos:
a) z1 = 9 + 2 i
b) z2 = 3 i
c) z3 = 4 − 3 i
Solución
Recuerde que el módulo de un complejo z = x + y i representa la distancia del origen en el plano complejo al punto (x, y) y
por tanto:
p
|z| = |x + y i| = x2 + y 2
y representando distancia, no puede tomarse la raı́z negativa. Otra cosa a recordar es no llevar i en y 2 .
p
√
√
a) |z1 | = (9)2 + (2)2 = 81 + 4 = 85
p
√
√
b) |z2 | = (0)2 + (3)2 = 0 + 9 = 9 = 3
p
√
√
c) |z3 | = (4)2 + (−3)2 = 16 + 9 = 25 = 5
Ma3002, Números Complejos: Problemas Resueltos
19. Si |z1 | = 6 y |z2 | = 2, determine el módulo de los siguientes números complejos:
1) z2
2) z1 · z2
3) z2 /z1
4) z12
5) (z1 )
2
Solución
Recordemos las propiedades importantes que tiene el módulo de un número complejo
El módulo del conjugado de un número complejo es el módulo del complejo original:
|z| = |z|
El módulo de un producto es el producto de los módulos:
|z1 · z2 | = |z1 | · |z2 |
El módulo de una división es la división de los módulos:
z1 |z1 |
=
z2 |z2 |
El módulo de una potencia real es la potencia de los módulos
|z n | = (|z|)
n
Con ello mente para determinar
1) |z2 | = |z2 | =dato 2
2) |z1 · z2 | = |z1 | · |z2 | =dato 6 · 2 = 12
3) |z2 /z1 | = |z2 | / |z1 | =dato 2/6 = 1/3
2
4) z12 = |z1 | =dato 62 = 36
2
2
4) (z2 )2 = |(z2 )| = |z2 | =dato 22 = 4
20. Suponga dados los siguientes números complejos en sus diferentes representaciones:
1) z1 = 3 − 2 i
2) z2 = (2, 4)
1
3) z3 = 5 e 3 π i
4) z4 = 5 cis(− 43 π)
5 −2
5) z5 =
2
5
14
Ma3002, Números Complejos: Problemas Resueltos
15
Determine el módulo de cada uno.
Solución
√
32 + (−2)2 = 13
√
√
b) |z2 | = 22 + 42 = 20
a) |z1 | =
p
c) En el formato POLAR tenemos directamente el módulo del complejo:
1
|z3 | = |5 e 3 π i | = 5
d) En el formato CIS tenemos directamente el módulo del complejo:
|z4 | = |5 cis(−4/3 π)| = 5
e) En el formato
matricial√el primer renglón contiene las partes real y compleja del número:
p
2
|z5 | = 5 + (−2)2 = 29
21. Suponga dados los siguientes números complejos en sus diferentes representaciones:
1) z1 = 3 − 2 i
2) z2 = (2, 4)
1
3) z3 = 5 e 3 π i
4) z4 = 5 cis(− 43 π)
5 −2
5) z5 =
2
5
Determine el argumento de cada uno de los números complejos dados. Reporte su resultado en radianes en (−π, +π].
Solución
a) Notamos que por los signos de la parte real e imaginaria el número complejo está en el cuarto cuadrante. Por tanto
Arg(z1 ) = −tan−1 (2/3) ≈ −0.588
b) Notamos que por los signos de la parte real e imaginaria el número complejo está en el cuarto cuadrante. Por tanto
Arg(z2 ) = +tan−1 (4/2) ≈ 1.107
c) En el formato POLAR tenemos directamente el argumento del complejo:
1
Arg(z3 ) = arg(5 e 3 π i ) = 31 π
d) En el formato CIS tenemos directamente el argumento del complejo:
Arg(z4 ) = arg(5 cis(−4/3 π)) = −4/3 π
e) En el formato matricial el primer renglón contiene las partes real y compleja del número y por los signos de la parte
real e imaginaria el número complejo está en el cuarto cuadrante :
≈ −0.308
arg(z5 ) = +tan−1 −2
5
El problema con este formato es que no está consolidado; algunos autores utilizan la primera columna. En cuyo caso,
el complejo estará en el primer cuadrante y por tanto,
2
−1
Arg(z5 ) = tan
≈ 0.308
5
22. Para los siguientes números complejos:
1) z1 = 3∠80o
2) z2 = 2∠ 16 π
3) z3 = 4 cis (40o )
4) z4 = 3 cis 16 π
5) z5 = 3 cis (120o )
determine
Ma3002, Números Complejos: Problemas Resueltos
16
a) La parte imaginaria de z1
b) La parte imaginaria de z2
c) La parte imaginaria de z3
d) La parte real de z4
e) La parte real de z5
Escribimos los números en sus formas binómicas:
1) z1 = 3∠80o = 3 · cos (80o ) + 3 · sin (80o ) · i ≈ 0.52094 + 2.9544 · i
2) z2 = 2∠ 61 π = 2 · cos 16 π + 2 · sin 16 π · i ≈ 1.73205 + i
3) z3 = 3 cis (40o ) = 3 · cos (40o ) + 3 · sin (40o ) · i ≈ 2.29813 + 1.92836 · i
4) z4 = 3 cis 16 π = 3 · cos 16 π + 3 · sin 16 π · i ≈ 2.59808 + 1.5 · i
5) z5 = 3 cis (120o ) = 3 · cos (120o ) + 3 · sin (120o ) · i ≈ −1.5 + 2.59808 · i
23. Sin hacer uso de una calculadora, determine la opción que contiene el argumento principal de cada uno de los siguientes
números complejos:
1
a) z1 = −e− 4 π i
1
b) z2 = −e 4 π i
1
c) z3 = e− 4 π
1
d) z4 = e− 4 π i
1
e) z5 = e 4 π i
1
c) Aquı́ z3 = e− 4 π es real positivo, y por tanto Arg (z3 ) = 0.
1
d) Al estar z4 = e− 4 π i en su forma polar, Arg (z4 ) = − 41 π.
1
e) Al estar z5 = e 4 π i en su forma polar, Arg (z5 ) =
− 14
1
4
π.
πi
a) Observe que el complejo z1 = −e
, no está en su forma polar: el signo negativo delantero cambia las cosas; si
1
zo = e− 4 π i y z1 = −zo entonces zo sı́ está en su forma polar y z1 es su opuesto respecto al origen. Arg (zo ) = − 14 π y
queda en el cuarto cuadrante mientras que z1 queda en el segundo, y ası́
Arg (z1 ) = Arg (zo ) + π = π −
1
3
π = ·π
4
4
1
b) Similarmente al inciso anterior z2 = −e 4 π i , no está en su forma polar: el signo negativo delantero cambia las cosas; si
1
zn = e 4 π i y z2 = −zn entonces zn sı́ está en su forma polar y z2 es su opuesto respecto al origen. Arg (zn ) = 14 π y
queda en el primer cuadrante mientras que z2 queda en el tercero, y ası́
Arg (z2 ) = Arg (zn ) − π =
1
3
π−π =− ·π
4
4
24. Describa el efecto geométrico sobre el número complejo z visto como vector al multiplicarlo por zo si zo es . . .
√
a) zo =
b) zo =
3
2
1
2
1
2
i
3
2
i
+
√
+
c) zo = −2 i
d) zo =
e) zo =
1
6
1
2
−i
i
Ubique el efecto en la lista siguiente:
1) Se comprime
2) Se comprime y cambia de sentido
3) Se estira
Ma3002, Números Complejos: Problemas Resueltos
17
4) Se estira y cambia de sentido
5) Gira en el sentido del reloj
6) Gira en contra del sentido del reloj
7) Se comprime y gira en el sentido del reloj
8) Se comprime y gira en contra del sentido del reloj
9) Se estira y gira en el sentido del reloj
10) Se estira y gira en contra del sentido del reloj
Solución
A tener presente: Que cuando se usa la representación polar para el producto de complejos z1 = a∠φ y zo = r∠θ :
z1 · z2 = (a∠φ ) · (r∠θ ) = (a · r)∠φ+θ
es decir: los módulos se multiplican y los argumentos se suman. Ası́ desde el punto de vista del módulo r:
Si |zo | = r > 1, el modulo del producto a · r será mayor que a. Por consiguiente, esto equivale a estirar el vector original.
Si |zo | = r = 1, el modulo del producto a · r será igual que a. Por consiguiente, esto equivale a mantener la longitud del
vector original.
Si 0 < |zo | = r < 1, el modulo del producto a · r será menor que a. Por consiguiente, esto equivale a comprimir el vector
original.
Por otro lado, desde el punto de vista de θ:
Si θ > 0, entonces φ + θ > φ y como los ángulos son positivos en sentido contrario a las manecillas del reloj, entonces
la multiplicación hará un giro en el sentido contrario de las manecillas del reloj.
Si θ < 0, entonces φ + θ < φ y como los ángulos son negativos en sentido de las manecillas del reloj, entonces la
multiplicación hará un giro en el sentido de las manecillas del reloj.
Si θ = 0, entonces φ + θ = φ entonces la dirección del vector se mantiene.
√
a) Como zo = 23 + 12 i = 1∠30o , entonces el efecto sobre z de multiplicarlo por zo será: mantener su misma longitud y girarlo
en el sentido contrario de las manecillas del reloj ( un ángulo de 30o )
c) Como zo = −2 i = 2∠−90o , entonces el efecto sobre z de multiplicarlo por zo será: estirarlo (en un factor 2) y girarlo en el
sentido de las manecillas del reloj ( un ángulo de 90o )
e) Como zo = −1/2 i = 0.5∠90o , entonces el efecto sobre z de multiplicarlo por zo será: comprimirlo (a la mitad de su
longitud) y girarlo en el sentido contrario de las manecillas del reloj ( un ángulo de 90o )
Es importante observar que para ubicar la opción con la respuesta correcta no hace falta determinar el valor exacto del
módulo, sólo si es mayor que 1, igual a 1 o menor que uno. Y que para ello se pueden usar las propiedades
|Re(z)| ≤ |z|
y
|Im(z)| ≤ |z|
Ası́ es obvio que | 16 − i| > 1, porque la parte imaginaria es 1 y la real no es cero. O que | 32 + 21 i| > 1 porque la parte real es
mayor que 1. Por otro lado, para distinguir si el giro es en contra o a favor de la manecillas del reloj, no hace falta calcular
el valor preciso del argumento; basta ubicar el cuadrante donde se encuentra el complejo y para ello basta con los signos de
la parte real y de la parte imaginaria.
25. Determine el cuadrante donde se encuentra 1/z si
1) z se encuentra en el interior del cuadrante 4
2) z se encuentra en el interior del cuadrante 1
3) z se encuentra en el interior del cuadrante 2
4) z se encuentra en el interior del cuadrante 3
Ma3002, Números Complejos: Problemas Resueltos
18
(1 significará primero, 2 segundo, etcétera)
Solución
A tener presente:
Que el inverso de un número complejo z = x + y i es:
1
z
x
x2 +y 2
1
x2 +y 2
1
x2 +y 2
=
=
=
y
− x2 +y
2 i
(x − y i)
·z
Que la multiplicación por un real positivo r deja al producto r z en el mismo cuadrante donde estaba z.
Como consecuencia de los puntos anteriores y puesto que
a=
x2
1
+ y2
es un real positivo: 1/z y z están en el mismo cuadrante.
Que al tomar el conjugado a un número complejo lo pasa del primer cuadrante al cuarto cuadrante y viceversa; y del
segundo cuadrante al tercero y viceversa.
Respuesta:
a) Si z está en el cuarto cuadrante, entonces z está en el primer cuadrante; por tanto, 1/z está en el primer cuadrante.
b) Si z está en el primer cuadrante, entonces z está en el cuarto cuadrante; por tanto, 1/z está en el cuarto cuadrante.
26. Para cada opción indique en qué cuadrante estará 1/z si
1) z = 6 − 4 i
2) z = 5 − 3 i
3) z = −5 − 4 i
4) z = −5 + 3 i
5) z = −2 − 3 i
Solución
Recuerde que si z = x + y i
x
y
1
1
1
= 2
− 2
i= 2
· (x − y i) = 2 · z
z
x + y2
x + y2
x + y2
|z|
es decir que
1
z
tiene la misma dirección que z; es decir, que
1
z
y z están en el mismo cuadrante:
1) z = 6 − 4 i está en el cuadrante 4: su conjugado está en cuadrante 1. Por tanto, su inverso está en el cuadrante 1.
2) z = 5 − 3 i está en el cuadrante 4: su conjugado está en cuadrante 1. Por tanto, su inverso está en el cuadrante 1.
3) z = −5 − 4 i está en el cuadrante 3: su conjugado está en cuadrante 2. Por tanto, su inverso está en el cuadrante 2.
4) z = −5 + 3 i está en el cuadrante 2: su conjugado está en cuadrante 3. Por tanto, su inverso está en el cuadrante 3.
5) z = −2 − 3 i está en el cuadrante 3: su conjugado está en cuadrante 2. Por tanto, su inverso está en el cuadrante 2.
27. Si z1 = 3∠35o , z2 = 2∠−30o y z3 = 7∠70o , calcule:
a) z1 · z3
b) z32
c) 1/z12
d) z1 /z2
e) z1 · z22 /z3
Ma3002, Números Complejos: Problemas Resueltos
19
Solución
a) z1 · z3 = 3∠35o · 7∠70o = (3 · 7)∠35o +70o = 21∠105o
2
b) z32 = (7∠70o ) = 72 ∠2·70o = 49∠140o
2
2
c) 1/z12 = (1/3∠35o ) = (1/3)∠−35o = (1/9)∠−70o
d) z1 /z2 = (3∠35o ) / (2∠−30o ) = (3/2)∠35o −(−30o ) = (3/2)∠65o
e) z1 · z22 /z3
3∠35o ·(22 )
=
3∠35o ·(2∠−30o )2
7∠70o
=
=
3∠35o ·4∠−60o
7∠70o
12∠35o −60o
7∠70o
=
=
12
7 ∠−25o −70o
=
∠2·(−30)o
7∠70o
=
12∠−25o
7∠70o
12
7 ∠−95o
28. Para cada uno los números complejos:
√
3+i
1) z1 =
(−2 − 2 i)
(−2 − 2 i)
2) z2 = √
( 3 + i)
1
√
3) z3 =
(−2 − 2 i) · ( 3 + i)
√
3+i
4) z4 =
(−2 − 2 i)2
1
√
5) z5 =
(−2 − 2 i) · ( 3 + i)2
determine el argumento principal en grados. Sugerencia: Utilice la forma polar.
Solución
√
Observe que los números c1 = 3 + i y c2 = −2 − 2 i se repiten en los cálculos que debemos hacer. Y observe también que
éstos son fáciles de llevar a la forma polar:
q√
√
√
Para c1 = 3 + i, a = |c1 | = ( 3)2 + 1 = 4 = 2 y que al estar c1 en el primer cuadrante su argumento principal se
puede calcular como
1
−1
√
= 30o
θ = tan
3
p
√
√
Para c2 = −2 − 2 i, b = |c2 | = (−2)2 + (−2)2 = 8 = 2 2 y que al estar en el tercer cuadrante debemos corregir la
tangente inversa para el cálculo de su argumento
−2
φ = tan−1 √
− 180o = 45o − 185o = −135o
−2
√ Por lo tanto c1 = 2∠30o y c2 = 2 2 ∠−135o
√
1) z1
3+i
c1
=
=
(−2 − 2 i)
c2
o
2
2
∠30
√
√
=
=
2 2 ∠30o −(−135o )
(2 2)
∠−135o
√1
=
2
∠165o
2) z2
(−2 − 2 i)
c2
√
=
c1
( √3 + i)
√ (2 2)∠−135o
2 2
=
=
2∠30o
2
∠−135o −30o
√
=
2∠−165o
=
Ma3002, Números Complejos: Problemas Resueltos
3) z3
1
1
√
=
c2 · c1
(−2 − 2 i) · ( 3 + i)
1
√
= 4 √2 1
= 4 √2 1
=
)∠−135o +30o
)∠−105o
(2 2)∠−135o ·2∠30o
(
(
1
1
√
=
= 4 √2
4 2
o
o
=
√
4) z4
20
=
=
=
=
∠−(−105 )
∠105
3+i
c1
= 2
2
(−2 − 2 i)
c2
o
2 o
2
2∠30o
2 = √ 2∠30
√ ∠30
= 8∠−270
o
(2 2) ∠2·(−135o )
(2 2)∠−135o
1
2
8 ∠30o −(−270o ) = 4 ∠300o
1
1
4 ∠300o −360o = 4 ∠−60o Corregir para argumento principal
29. Con los números complejos:
(7 + 8 i)
(8 + 7 i)
(8 + 7 i)
2) z2 =
(7 + 8 i)
1) z1 =
1
(7 + 8 i) · (8 + 7 i)
(8 + 7 i)
4) z4 =
(7 + 8 i)2
1
5) z5 =
(7 + 8 i) · (8 + 7 i)2
3) z3 =
determine:
a) el modúlo de z1
b) el argumento de z2
c) el argumento de z3
d) el modúlo de z4
e) el modúlo de z5
Sugerencia: Utilice la forma polar.
Solución
Observe que los números c1 = 7 + 8 i y c2 = 8 + 7 i se repiten en los cálculos que debemos hacer. Y observe también que
aunque los argumentos no son fáciles de calcular son complementarios. Es decir, suma 90 grados. Le conviene hacer un
trı́angulo con catetos 7 y 8 para observar la relación.
√
√
Para c1 = 7 + 8 i, a = |c1 | = 72 + 82 = 113 y que al estar c1 en el primer cuadrante su argumento principal se puede
calcular como
8
−1
θ = tan
≈ 48.814o Con calculadora
7
√
√
Para c2 = 8 + 7 i, b = |c2 | = 82 + 72 = 113 = a al estar c2 en el primer cuadrante su argumento principal se puede
calcular
7
8
φ = tan−1
= 90o − tan−1
= 90o − θ
8
7
Por lo tanto c1 = a∠θ y c2 = a∠90o −θ
1) z1
=
(7 + 8 i)
c1
=
(8 + 7 i)
c2
a∠θ
a
a∠90o −θ = a ∠θ−(90o −θ)
=
1∠2·θ−90o = 1∠2·48.81o −90o = 1∠7.62o θ obtenida con calculadora
=
Ma3002, Números Complejos: Problemas Resueltos
2) z2
=
=
3) z3
=
=
=
21
c2
1
(8 + 7 i)
=
=
(7 + 8 i)
c1
z1
1
1
1∠7.62o = 1 ∠−7.62o = (1)∠−7.62o
1
1
=
(7 + 8 i) · (8 + 7 i)
c1 · c2
1
1
1
=
2
a∠θ · a∠90o −θ
(a )∠θ+90o −θ = (a2 )∠90o
1
1
1
1
a2 ∠−(90o ) = a2 ∠−90o = 113 ∠−90o = − 113 i
30. Si z = 5 + 7 i determine el cuadrante donde está
1) z 3
2) z 5
3) z 7
4) z 9
5) z 11
Etiquete los cuadrantes por enteros de manera que 1 significará primero, 2 segundo, etcétera.
Solución
La forma polar de z = 5 + 7 i = r eθ i tiene
r
θ
≈
≈
8.602
0.9505 ≈ 54.46o
Por tanto,
1) el argumento de z 3 es 3 θ ≈ 163.38o . Por tanto, z 3 cae en el segundo cuadrante.
2) el argumento de z 5 es 5 θ ≈ 272.311o . Por tanto, z 5 cae en el cuarto cuadrante.
√
31. Si z = 1 + 3 i , determine la parte real de:
1)z −2 2)z 2 3)z 3 4)z 4 5)z 6
Solución
Recuerde que el cálculo de potencias y raı́ces se facilita con la notación polar. Y en este caso el complejo z tiene un argumento
fácil de calcular. Como está en el primer cuadrante su argumento principal es:
√ !
3
−1
Arg(z) = tan
= 60o
1
su módulo será r = |z| =
1) z −2
2) z 2
4) z 4
5) z 6
−2
=
(2∠60o )
=
1
4
q
√
√
√
12 + ( 3)2 = 1 + 3 = 4 = 2. Por tanto la forma polar queda z = 2∠60o .
= 2−2
∠−2·60o
=
1
4 ∠−120o
· (cos(−120o ) + sen(−120o ) i) =
2
1
4
· − 12 −
=
(2∠60o ) = 22
=
4 · (cos(120o ) + sen(120o ) i) = 4 · − 21 +
=
(2∠60o ) = 24
=
16 · (cos(240o ) + sen(240o ) i) = 16 · − 21 −
=
(2∠60o ) = 26
=
64∠360o −360o = 64∠0o = 64 = 64 + 0 i
4
6
∠2·60o
∠4·60o
∠6·60o
√
3
2
i = − 81 −
√
3
8
i
= 4∠120o
√
3
2
√
i = −2 + 2 3 i
= 16∠240o
√
3
2
√
i = −8 − 8 3 i
= 64∠360o
Un estudiante de Ingenierı́a deberı́a conocer los valores de las funciones trigonométricas en ángulos simples.
Ma3002, Números Complejos: Problemas Resueltos
22
32. Si z = −4 − 4 i determine el cuadrante donde está
√
1) la segunda raı́z de 4 z
√
2) la tercera raı́z de 5 z
√
3) la segunda raı́z de 6 z
√
4) la primera raı́z de 7 z
Solución
Notas: 1) Las raı́ces estarán ordenadas de manera que la primera raı́z es la principal; ubicando la raı́z primera las siguientes
estarán ubicadas siguiendo el orden de aparición en el sentido antihorario. 2) Para los cuadrantes estarán etiquetados por
enteros de manera que 1 significará primero, 2 segundo, etcétera.
A tener presente:
Que si z = r CIS(θ) entonces la j raı́z n-esima de z es
√
θ + 2 π (j − 1)
n
r · CIS
n
√
Respuesta: La forma CIS de z es z = 4 2 · CIS − 34 π . Por lo tanto,
√
1) el argumento de la segunda raı́z de 4 z es
α=
− 34 π + 2 π (2 − 1)
5
=
π ≈ 56.25o
4
16
por tanto, tal raı́z está en el primer cuadrante.
33. Si una raı́z cuarta del número complejo z es el complejo
w = 2 − 2i
determine el argumento en grados de las raı́ces restantes de z. Reporte sus resultados como números en el intervalo
(−180o , 180o ].
Solución
Sabemos que las raı́ces n-ésimas de un número complejo forman un polı́gono regular de n lados. Tenemos que se tratan de
raı́ces cuartas. Es decir, que el polı́gono regular es de cuatro lados. En ángulo en el cual están separadas es 3600 /4 = 90o . Y
todas ellas tienen el mismo módulo. Para generar todas las raı́ces de z, usemos la raı́z conocida w rotándola ángulos de 90
grados. Llevemos a w a su forma polar:
p
√
√
−2
−1
2
2
|w| = 2 + (−2) = 8 = 2 2 y Arg(w) = tan
= −45o
2
Observe que√al estar w en el cuarto cuadrante no hubo necesidad de corregir el valor que da la tangente inversa. Ası́
w = ro = 2 2 ∠−45o . Las tres raı́ces que nos faltan (son cuatro en total y w es una) son:
√ r1 = 2 2
√ r2 = 2 2
√ r3 = 2 2
∠−45o +90o
√ = 2 2
∠−45o +2·90o
∠−45o +3·90o
∠45o
√ = 2 2
∠135o
√ = 2 2
∠225o
√ = 2 2
34. Resuelva la ecuación:
4 − i + 4 z + z2 = 0
Reporte las partes imaginarias de las raı́ces.
Solución
∠225o −360o
√ = 2 2
∠−135o
Ma3002, Números Complejos: Problemas Resueltos
23
Esta será la estrategı́a: dejaremos sólo los términos en z en el lado derecho; en vista de que la mayor potencia de z es 2,
completaremos cuadros perfectos.
z2 + 4 z
z + 4z + 4
(z + 2)2
2
= −4 + i
= 4−4+i
= i
Si tomamos raı́z cuadrada en ambos lados tenemos:
√
2
z+2= i
las raı́ces cuadradas de i se obtienen de la fórmula:
π
+ 2πj
R = cis 2
, para j = 0, 1
2
Es decir,
1√
+ 2 √2 +
R=
− 21 2 −
1
2
1
2
√
√2 i
2i
Ası́ las soluciones a la ecuación son:
√
√
−2 + 21 √2 + 12 √2 i
z = −2 + R =
−2 − 12 2 − 12 2 i
35. Resuelva la ecuación:
3
(z − (−1 + 5 i)) = i
Reporte los módulos de las raı́ces.
Solución
De la ecuación tenemos al sacar raı́z cúbica:
√
3
z − (−1 + 5 i) = i
y de allı́
z = −1 + 5 i +
√
3
i
Ma3002, Números Complejos: Problemas Resueltos
24
Las tres raı́ces cúbicas de i son
√
r0
r1
r2
= CIS( π6 ) = 23 + 12 i√
= CIS( π6 + 23π ) = − 23 +
= CIS( π6 + 43π ) = i
1
2
i
Por tanto, las tres raı́ces de nuestra ecuación son
√
z1
z2
z3
= 23√− 1 + 11
2 i → |z1 | ≈ 5.501
= − 23 − 1 + 11
2 i → |z2 | ≈ 5.807
= −1 + 4 i → |z3 | ≈ 4.123
Para hacer este problema en la calculadora, primeramente definimos la función cis:
Ela figura anterior también se muestra cómo generar las raı́ces cúbicas de i. En la siguiente figura se ilustra cómo sumar a
cada una de estas raı́ces el complejo −1 + 5 i.
Teniendo la lista de resultados, el siguiente paso es obtener el módulo y luego su aproximación numérica.
36. Resuelva la ecuación:
4
(3 − 5 i + (−3 − i) z) = −1
Reporte las partes reales de las raı́ces.
Solución
Primeramente obtengamos las raı́ces cuartas de z0 = −1:
r
θ
=
|z0 | = 1
= arg(zo ) = −π
Ma3002, Números Complejos: Problemas Resueltos
25
Las raices cuartas están dadas por la fórmula:
√
θ + 2πn
4
R = 1cis
para n = 0, 1, 2, 3
4
Ası́ al tomar raı́z cuadrta en la ecuación original se tiene
3 − 5 i + (−3 − i) z = R
Por tanto
z=
R − 3 + 5i
−3 − i
Teniendo la lista de resultados, el siguiente paso es obtener la parte real de cada complejo y luego su aproximación numérica.
37. Suponga dados los siguientes números complejos en sus diferentes representaciones:
1) z1 = 3 − 2 i
2) z2 = (2, 4)
1
3) z3 = 5 e 3 π i
4) z4 = 5 cis(− 43 π)
5 2
5) z5 =
−2 5
Ma3002, Números Complejos: Problemas Resueltos
26
Determine la parte real de
w = 3 z1 − z2 − 3 z3 − 4 z4 + z5
Solución
Como hay sumas involucradas, es conveniente convertir todos los complejos a la forma binomial:
1) z1 = 3 − 2 i
2) z2 = 2 + 4 i
3) z3 = 5 · cos( 13 π) + sen( 13 π) i =
cos(− 34
4) z4 = 5 ·
π) +
sen(− 43
5
2
+
π) i =
5
√
3
2
i
− 52
+
5
√
2
3
i
5) z5 = 5 + 2 i
Entonces basta capturar los números complejos y hacer la operación pedida:
38. Suponga dados los siguientes números complejos en sus diferentes representaciones:
1) z1 = 3 − 2 i
2) z2 = (2, 4)
1
3) z3 = 5 e 3 π i
4) z4 = 5 cis(− 43 π)
5 −2
5) z5 =
2
5
Determine la parte real y la parte imaginaria de:
z3 + 5 z4
2 z1 + 2 z5
Solución
Ma3002, Números Complejos: Problemas Resueltos
39. Suponga dados los siguientes números complejos en sus diferentes representaciones:
1) z1 = 3 − 2 i
2) z2 = (2, 4)
1
3) z3 = 5 e 3 π i
4) z4 = 5 cis(− 43 π)
5 −2
5) z5 =
2
5
Determine la parte real de:
1) (z1 )2
2) (z2 )3
3) (z3 )4
4) (z4 )5
Solución
40. Suponga dados los siguientes números complejos en sus diferentes representaciones:
1) z1 = 3 − 2 i
2) z2 = (2, 4)
1
3) z3 = 5 e 3 π i
4) z4 = 5 cis(− 43 π)
5 −2
5) z5 =
2
5
Determine la parte imaginaria de la raı́z principal de:
√
1) 2 z1
√
2) 3 z2
√
3) 4 z3
27
Ma3002, Números Complejos: Problemas Resueltos
4)
√
5
28
z4
Solución
Si recordamos que la calculadora proporciona la raı́z principal de números complejos y que ya tenemos capturados los
números de un problema anterior:
41. Suponga dados los siguientes números complejos en sus diferentes representaciones:
1) z1 = −4 + 5 i
2) z2 = (3, 5)
1
3) z3 = 3 e 2 π i
4) z4 = 3 cis(− 23 π)
Determine el argumento principal de cada uno. Reporte su resultado en radianes en (−π, +π].
aPara z1 = −4+5 i, reconocemos que el número está en la forma binómica y podemos calcular el argumento usando la
tangente inversa, pero estando el número en el segundo cuadrante debemos corregir sumando π:
5
−1
Arg (z1 ) = π + tan
≈ 2.2455
−4
a) bPara z2 = (3, +5), reconocemos que el número está en la forma de par ordenado y podemos calcular el argumento
usando la tangente inversa, estando el número en el primer cuadrante directamente tenemos:
5
Arg (z2 ) = tan−1
≈ 1.03038
3
1
b) cPara z3 = 3 e 2 π i , reconocemos que el número está en la forma polar y obtenemos directamente el módulo (r = 3) y
el argumento (θ = 12 π):
1
π ≈ 1.5708
2
c) d Para z4 = 3 cis − 23 π , reconocemos que el número está en la notación CIS y obtenemos directamente el módulo
(r = 3) y el argumento (θ = − 23 π):
Arg (z3 ) =
2
Arg (z4 ) = − π ≈ −1.04719755
3
42.
d ) Si
1
1√
i−
3
2
2
determine las raı́ces cuartas de z. Reporte los argumentos de la raı́z principal y las dos siguientes; debe reportar 3 valores
intepretados como ángulos en radianes en el intervalo (−π, π].
Solución
En los problemas de potencias y raı́ces es más conveniente usar la forma polar. En nuestro ejemplo
5
1√
1
z=−
3 + i = 1 · e6 π i
2
2
de donde
z=
r
θ
=
=
1
5
6
π = 150o
Ma3002, Números Complejos: Problemas Resueltos
29
θ=
r=1
5
6
π
Las raı́ces cuartas de z se obtienen de la fórmula:
θ + 2πj
i
√
4
a = 4r·e
j
para los valores j = 0, 1, 2, 3
θ1 = θ0 +
1
4
π
θ0 =
θ
4
=
5
24
π
Capturamos z y determinamos su módulo (r) y su argumento (θ):
Habiendo limpiado la variable ı́ndice j, capturamos la fórmula de las raı́ces cuartas:
Ma3002, Números Complejos: Problemas Resueltos
Generamos con el comando seq la lista con las raı́ces cuartas:
Y determinamos sus argumentos (note la ventaja de aplicar la función angle sobre una lista):
43. Si
1) z1 = −5 + 3 i
3
2) z2 = 2 e 4 π i
calcule
w1 =
z23
z1 + z2
y w2 =
z1 − z2
z1 − z2
Reporte Re(w1 ), Im(w1 ), Re(w2 ) y Im(w2 )
Solución
Capturamos los números complejos en nuestra calculadora y ponemos las fórmulas que definen w1 y w2 .
30
Ma3002, Números Complejos: Problemas Resueltos
31
44. Para cada uno de los números complejos:
1) z1 = (−1 + 5 i) · (−5 − 4 i)
2
2) z2 = (3 + 5 i)
(5 + 4 i) · (2 + 5 i)
3) z3 =
5 − 5i
(−1 + 2 i)
4) z4 =
(5 + 3 i)2
1
5) z5 =
(4 + 5 i) · (−1 − 3 i)2
Determine:
a) la parte imaginaria de z1
b) la parte real de z2
c) el modúlo de z3
d) el argumento de z4
e) el argumento de z5
Solución
Al ingresar los datos en la calculadora automáticamente se realizan las operaciones. Capturaremos cada cálculo en una
variable; como los nombres z1, z2 etc son palabras reservadas, utilizaremos otros nombres para las variables donde se
almacenarán los resultados.
Lo que se pide de los números complejos se obtiene en forma directa mediante algunos comandos de la calculadora como se
ilustra en las figuras siguientes:
Ma3002, Números Complejos: Problemas Resueltos
32
45. Determine el número complejo z = x + y i que satisface la ecuación:
z = −5 i z̄ + (−5 + i)
Reporte el valor de x y de y.
Solución
A tener presente:
Qué es el conjugado de un número complejo:
x+yi = x−yi
Cuándo dos números complejos son iguales:
a1 + b1 i = a2 + b2 i → a1 = a2 y b1 = b2
Un número complejo es cero si y sólo si su parte real y su parte imaginaria son cero:
w = 0 ↔ Re(w) = 0 y Im(w) = 0
Sustituyendo z = x + y i en la ecuación:
z
x+yi
x+yi
=
=
=
=
=
−5 i z̄ + (−5 + i)
−5 i (x + y i) + (−5 + i)
−5 i (x − y i) + (−5 + i)
−5 y − 5 x i + −5 + i
−5 y − 5 + (1 − 5 x) i
De la igualdad obtenemos las ecuaciones:
x
y
= −5 y − 5
= 1 − 5x
Resolviendo las ecuaciones obtenemos:
x=
5
13
yy=−
12
12
Debemos entregar como respuesta
0.416, −1.083
Este problema se puede hacer fácilmente en la calculadora. Primeramente se limpian la variables x, y y z. Después se define
z como x + y i. Seguido de ello notamos que como en muchas situaciones es más conviente escribir la relación A = B como
A − B = 0; con esta observación la expresión que va a dar origen a nuestras ecuaciones se maneja como
z − (−5 i z̄ + (−5 + i)) = 0
Salvamos el lado derecho en una variable auxiliar, y resolvemos para x y y obligando que la parte real y la parte imaginaria
sean cero.
Ma3002, Números Complejos: Problemas Resueltos
33
46. Sean z1 y z2 dos numeros complejos tales que
|z1 | = 3 y |z2 | = 6
Determine el módulo de 1) z1 + z2 y el de 2) z1 − z2 si el ángulo entre z1 y z2 es de 30 grados.
Solución
A tener presente:
Que la suma y la resta de números complejos se rigen por la ley del paralelogramo.
z1 + z2
z2
z2 − z1
α
z1
α
o
180 − α
La ley de los cosenos: que en un triángulo cuyos lados a y b y cuyo ángulo entre ellos es θ el lado apuesto a θ, digamos
c, debe cumplir:
c2 = a2 + b2 − 2 a b cos(θ)
b
c
θ
a
Respuesta:
De los resultados comentados si a = |z1 |, b = |z2 |, c = |z2 − z1 | y d = |z2 + z1 | entonces
c2
=
=
o
32 + 6 2 −
√ 2 · 3 · 6 · cos(30 )
45 − 18 3
por tanto, c = |z2 − z1 | ≈ 3.7179.
d2
0
o
= 32 + 6 2 +
√ 2 · 3 · 6 · cos(180 − 30 )
= 45 + 18 3
por tanto, d = |z2 + z1 | ≈ 8.7279.
Ma3002, Números Complejos: Problemas Resueltos
34
47. Si |z1 | = 3 y |z2 | = 5, determine el módulo de los siguientes números complejos:
1) z1 /z2
2) z1 z2
√
3) z2 z1
√
4) (z¯1 )2 z2
√
5) (z1 )2 / 3 z¯2
Solución
A tener presente:
Las propiedades del módulo en números complejos:
• El módulo del conjugado es igual al módulo del número sin conjugar:
|z| = |z|
• El módulo de un producto es igual al producto de los módulos:
|z1 · z2 | = |z1 | · |z2 |
• El módulo de una potencia es la potencia del módulo:
n
|z n | = |z|
• El módulo
p de una raı́z es la raı́z del módulo:
√
| n z| = n |z|
Respuesta:
1) |z1 /z2 | = |z1 |/|z2 | = 3/5
2) |z1 z¯2 | = |z1 | · |z2 | = 3 · 5 = 15
p
√
√
√
3) |z2 z1 | = |z2 | · | z1 | = |z2 | · |z1 | = 5 3
48. Sean z1 y z2 dos numeros complejos tales que
√
|z1 | = 65 y |z2 | = 9
Suponga que z1 − z2 = −1 + i. Determine el módulo de z1 + z2 .
Solución
A tener presente:
Que la suma y la resta de números complejos se rigen por la ley del paralelogramo.
z1 + z2
z2
z2 − z1
α
z1
α
o
180 − α
La ley de los cosenos: que en un triángulo cuyos lados a y b y cuyo ángulo entre ellos es θ el lado apuesto a θ, digamos
c, debe cumplir:
c2 = a2 + b2 − 2 a b cos(θ)
Ma3002, Números Complejos: Problemas Resueltos
35
b
c
θ
a
Como z1 − z2 = −1 + i =
√
a = |z1 | = 65
b = |z2 | = 9
√
c = |z2 − z1 | = 2
√
2 CIS( 34 π), entonces para calcular el ángulo θ entre z1 y z2 utilicemos la ley de los cosenos con:
Despejamos θ de:
c2 = a2 + b2 − 2 a b cos(θ)
y obtenemos
θ ≈ .1243549945 = 7.125016344o
Si nosotros utilizamos la información del problema 15 de esta misma tarea tenemos:
|z1 + z2 |2 = |z1 |2 + |z2 |2 − 2 |z1 | |z2 | cos(180o − 7.125016344o )
Por tanto,
|z1 + z2 | ≈ 17.02938637
49. Resuelva la ecuación:
4
(3 − 5 i + (−3 − i) z) = −1
Reporte las partes reales de las raı́ces.
Solución
Primeramente obtengamos las raı́ces cuartas de z0 = −1:
r
θ
=
=
|z0 | = 1
Arg(zo ) = −π
Las raices cuartas están dadas por la fórmula:
√
θ + 2πn
4
R = 1 · cis
para n = 0, 1, 2, 3
4
Ası́ al tomar raı́z cuarta en la ecuación original se tiene
3 − 5 i + (−3 − i) z = R
Por tanto
R − 3 + 5i
z=
−3 − i
Ma3002, Números Complejos: Problemas Resueltos
36
Teniendo la lista de resultados, el siguiente paso es obtener la parte real de cada complejo y luego su aproximación numérica.
50. Si
z1 + z2 = 10 + 4 i , z1 + z2 = 10 − 8 i
z1 − z3 = 4 − 2 i , z1 − z3 = 4 + 4 i
z1 · z4 = 1 + 5 i , z1 · z4 = −5 − i
1
2
3
z1 /z5 = − , z1 / (z5 ) = +
i
2
5 10
determine la parte imaginaria de:
1) z1 − z3
2) z1 − z3
3) z1 · z4
4) z1 + z2
5) (z1 ) / (z5 )
Solución
Recordemos las propiedades importantes que tiene el conjugado de un número complejo
El conjugado del conjugado de un número complejo es el número complejo original:
(c) = c
El conjugado de una suma(resta) de números complejos es la suma(resta) de los conjugados de los complejos:
c ± e=c ± e
El conjugado de un producto de números complejos es el producto de los conjugados de los complejos:
c·e=c · e
El conjugado de un división de números complejos es la división de los conjugados de los complejos:
c
c
=
e
e
Ma3002, Números Complejos: Problemas Resueltos
Con ello mente para determinar
1) z1 − z3 , calculemos su conjugado
z1 − z3 = z1 − z3 = z1 − z3 =dato 4 + 4 i
Por lo tanto, z1 − z3 = 4 + 4 i = 4 − 4 i
2) z1 − z3 , calculemos su conjugado
z1 − z3 = z1 − z3 =dato 4 − 2 i
Por lo tanto, z1 − z3 = 4 − 2 i = 4 + 2 i
3) z1 · z4 , calculemos su conjugado
z1 · z4 = z1 · z4 = z1 · z4 =dato 1 + 5 i
Por lo tanto, z1 · z4 = 1 + 5 i = 1 − 5 i
4) z1 + z2 , calculemos su conjugado
z1 + z2 = z1 + z2 = z1 + z2 =dato 10 − 8 i
Por lo tanto, z1 + z2 = 10 − 8 i = 10 + 8 i
5) (z1 ) / (z5 ), calculemos su conjugado
z1
z5
=
z1
z1
=
=dato −1/2
z5
z5
Por lo tanto, (z1 ) / (z5 ) = −1/2 = −1/2 = −1/2 + 0 i
37