Sistemas con parámetros ccss Soluciones Selectividad

Modelo 2014. Problema 1B.- (Calificación máxima: 2 puntos)
Se considera el sistema lineal de ecuaciones dependiente del parámetro real a:
 x + 3y + z = 1

 2x + 6 y + z = 0
− x + ay + 4z = 1

a) Discútase en función de los valores del parámetro a ∈ R. b) Resuélvase para a = 0.
Solución.
El sistema se clasifica en función de los rangos de las matrices de coeficientes (A) y ampliada
a.
(A*), según el teorema de Rouchè-Frobenius.
 1 3 1
 1 3 1 1




A =  2 6 1
A* =  2 6 1 0  A ⊂ A* ⇒ rg A ≤ rg A* ≤ n = 3
 − 1 a 4
−1 a 4 1




Si A ≠ 0 ⇒ rg A = rg A* = n = 3. Sistema compatible determinado. Se discute el tipo de sistema
para los valores del parámetro que anulan el determinante de la matriz de coeficientes ( A = 0) .
1 3 1
det A = 2 6 1 = 24 − 3 + 2a − (− 6 + a + 24) = a + 3 ; A = 0 ; a + 3 = 0 ; a = ‒3
−1 a 4
Discusión.
i.
ii.
Si a ≠ ‒3, A ≠ 0 ⇒ rg A = rg A* = n = 3. Sistema compatible determinado.
Si a = ‒3, A = 0 ⇒ rg A < 3 ,
1 1
2 1
= −1 ≠ 0 ⇒ rg A = 2. Para calcular el rango de la matriz
ampliada se tiene en cuenta que rg A ≤ rg A* ⇒ rg A* ≥ 2. Para estudiar si la matriz
ampliada tiene rango 3, se estudian los menores orlados al menor
1 1
. De los dos menores
2 1
orlados, uno de ellos es el determinante de la matriz de coeficientes, que es cero, el otro es
1 1 1
1 0 = 8 ≠ 0 ⇒ rg A* = 3 ≠ rg A. Sistema
el formado por la 1ª, 3ª y 4ª columna. 2
−1 4 1
incompatible.
b.
 x + 3y + z = 1

a = 0.  2x + 6 y + z = 0 Teniendo en cuenta que a ≠ 0, el sistema es compatible
− x
+ 4z = 1

determinado, y se puede resolver mediante el método de Cramer.
x=
Ax
A
; y=
Ay
A
; z=
Az
A
a =0
A =a +3 = 0+3=3
x=
1 3 1
0 6 1
1 0 4
3
8 

Solución:  7, − , 2 
3 

=
21
=7; y=
3
1 1 1
2 0 1
−1 1 4
3
1
=
−8
; z=
3
1 3 1
2 6 0
−1 0 1
3
=
6
=2
3
Septiembre 2013. Ejercicio 1B. (Puntuación máxima: 2 puntos)
Se considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales, dependiente del parámetro k :
= 0
kx + y

 x + ky − 2z = 1
kx − 3y + kz = 0

a) Discútase el sistema según los diferentes valores de k:
b) Resuélvase el sistema para k = 1:
Solución.
a.
El sistema está definido por las matrices de coeficientes y ampliada.
0 
0 0
k 1
k 1




A =  1 k − 2
A* =  1 k − 2 1  A ⊂ A* ⇒ rg A ≤ rg A* ≤ 3 n =3
k − 3 k 
k − 3 k 0




Si A ≠ 0 , rg A = rg A* = n = 3, el sistema será compatible determinado, por lo tanto se discute
el tipo de solución del sistema, para los valores del parámetro a que anulan el determinante de la matriz
de coeficientes.
k 1
0
A = 1 k − 2 = k 3 − 2k + 0 − (0 + k + 6k ) = k 3 − 9k = k ⋅ k 2 − 9 = k ⋅ (k + 3) ⋅ (k − 3)
k −3 k
(
)
k=0

A = 0 :  k = −3
 k =3

i.
ii.
Discusión:
Si k ≠ 0, ±3. A ≠ 0 , rg A = rg A* = n = 3, S.C.D. (solución única, método de Cramer)
0 
0 1


0 1
Si k = 0, A =  1 0 − 2  , A = 0 , rg A < 3.
= −1 ≠ 0 , rg A = 2. Para estudiar el
1 0
0 − 3 0 


rango de la matriz ampliada, se parte del menor de orden dos distinto de cero utilizado en la
3 1
 y se estudian sus menores orlados, uno de ellos es el
matriz de coeficiente 

1 3
determinante de la matriz de coeficientes, que es cero, y solo queda por estudiar el menor
0 1 0
1
0
1 = 0 , rg A* = 2 = rg A < n = 3 , sistema compatible indeterminado.
0 −3 0
iii.
0 
3 1


3 1
Si k = 3, A =  1 3 − 2  , A = 0 , rg A < 3.
= 8 ≠ 0 , rg A = 2. Para estudiar el
1
3
3 − 3 3 


rango de la matriz ampliada, se sigue el mismo procedimiento utilizado en el apartado
3 1 0
anterior, quedando por estudiar solo el menor 1
3
1 ≠ 0 , rg A* = 3 ≠ rg A , sistema
3 −3 0
incompatible.
iv.
0 
− 3 1


−3 1
Si k = ‒3, A =  1 − 3 − 2  , A = 0 , rg A < 3.
= 8 ≠ 0 , rg A = 2. Para estudiar
1 −3
 − 3 − 3 − 3


el rango de la matriz ampliada, se sigue el mismo procedimiento utilizado en el apartado
2
−3 1 0
anterior, quedando por estudiar solo el menor 1 − 3 1 ≠ 0 , rg A* = 3 ≠ rg A , sistema
−3 −3 0
incompatible
b.
Para k = 1, sistema compatible determinado. Se puede resolver por cualquier método. Utilizando
el método de Cramer:
= 0
x + y

 x + y − 2z = 1
 x − 3y + z = 0

x=
Ax
y=
A
Ay
Az
z=
A
A
k =1
A = k 3 − 9k = 13 − 9 ⋅ 1 = −8
0 1
0
1 1 −2
0 −3 1
−1 1
=
=
−8
−8 8
1 1 1
Solución:  , − , − 
8 8 2
x=
y=
1 0 0
1 1 −2
1 0 1
−8
=
1
1
=−
−8
8
z=
1 1 0
1 1 1
1 −3 0
−8
=
4
1
=−
−8
2
Junio 2013. Problema 1B.- (Calificación máxima: 2 puntos)
Se considera el sistema lineal de ecuaciones dependientes del parámetro real a:
= 2
ax − 2 y

3x − y − z = − 1
 x + 3y + z = 1

a) Discútase en función de los valores del parámetro a ∈ R
b) Resuélvase para a = 1.
Solución.
a − 2 0 2 
a − 2 0 




A* =  3 − 1 − 1 − 1
a.
A =  3 − 1 − 1
1 3
1 1 
1 3

1 

A ⊂ A* ⇒ rg A ≤ rg A* ≤ 3 . n = 3.
Si A ≠ 0 ⇒ rg A = 3 = rg A* = n Sistema compatible determinado. Se discute el tipo de solución
del sistema para los valores del parámetro que anulan el determinante de la matriz de coeficientes.
a −2 0
det A = 3
1
− 1 − 1 = −a + 2 + 0 − (0 − 6 − 3a ) = 2a + 8
3
1
A = 0 ⇒ 2a + 8 = 0 ; a = −4
Discusión:
i.
Si a ≠ ‒4. A ≠ 0 ⇒ rg A = 3 = rg A* = n Sistema compatible determinado.
3
Si a = ‒4.
ii.
− 4

A* =  3
 1

− 4 − 2 0 

 4 −2
A = 0 ⇒ rg A < 3 A =  3 − 1 − 1
= −4 − (− 6) = 2 ≠ 0 ⇒ rg A = 2 .
 1
 3 −1
3
1


−2 0 2 

− 1 − 1 − 1 rgA* ≥ 2 . De los menores orlados al menor 4 − 2 , solo queda
3 −1
3
1 1 
4 −2
por estudiar 3
1
b.
2
− 1 − 1 = 2 ≠ 0 , rg A* = 3 ≠ rg A. Sistema incompatible.
3
1
Para a = 1, sistema compatible determinado, se puede resolver mediante el método de Cramer.
= 2
 x − 2y
a =1

A = 2a + 8 = 2 ⋅1 + 8 = 10
3x − y − z = − 1
 x + 3y + z = 1

2 −2 0
1 2 0
1 −2 2
−1 −1 −1
x=
Ax
A
=
1
3
10
1
3 −1 −1
=
4
10
y=
Ay
A
=
1
1
10
1
=
−8
10
z=
Az
A
=
3
−1 −1
1
3
10
1
=
30
=3
10
Modelo 2013. Problema 1A.- (Calificación máxima: 2 puntos)
Discútase el sistema siguiente en función del parámetro a ∈ R:
= a
x − y

x
+
az
= 0

2 x − y + a 2 z = 1

Solución.
El sistema viene definido por las matices de coeficientes (A) y ampliada (A).
1 −1 0 
1 −1 0 a 




A = 1 0 a 
A* =  1 0 a 0 
2 −1 a2 
2 −1 a2 1




A ⊂ A* ⇒ rg A ≤ rg A* ≤ 3; n = 3
Si A ≠ 0 ⇒ rg A = rg A* = n = 3 Sistema compatible determinado. Se discute el tipo de
solución del sistema para los valores del parámetro a que anulan el determinante de la matriz de
coeficientes.
1 −1 0
a = 0
A = 1 0 a = 0 − 2a + 0 − 0 − a 2 − a = a 2 − a = a (a − 1)
A = 0 ⇒ a (a − 1) = 0 : 
a = 1
2 −1 a2
(
i.
)
Discusión.
Si a ≠ 0, 1. A ≠ 0 ⇒ rg A = rg A* = n = 3 Sistema compatible determinado.
4
ii.
Si a = 0.
1

A* =  1
2

1 −1 0

 1 −1
A = 0 ⇒ rg A < 3. A =  1 0 0 
= 0 − (− 1) = 1 ≠ 0 : rg A = 2 .
 2 −1 0 1 0


−1 0 0

1 −1
0 0 0  rg A* ≥ 2. De los menores orlados al menor
, solo queda por
1 0

−1 0 1
1 −1 0
estudiar 1
0
0 = 1 , rg A* = 3 ≠ rg A. Sistema incompatible.
2 −1 1
iii.
Si a = 1.
1

A* =  1
2

1 −1 0

 1 −1
A = 0 ⇒ rg A < 3. A =  1 0 1 
= 0 − (− 1) = 1 ≠ 0 : rg A = 2 .
2 −1 1 1 0


−1 0 1

1 −1
0 1 0  rg A* ≥ 2. De los menores orlados al menor
, solo queda por
1 0
− 1 1 1 
1 −1 1
estudiar 1
0
0 = 0 rg A* = 2 = rg A. Sistema compatible indeterminado.
2 −1 1
Septiembre 2012. Ejercicio 1B. (Puntuación máxima: 3 puntos)
Se considera el siguiente sistema de ecuaciones, dependiente del parámetro real k:
x + y + z = 2

 x + ky + 2z = 5
kx + y + z = 1

(a) Discútase el sistema según los diferentes valores de k.
(b) Resuélvase el sistema para k = 0.
(c) Resuélvase el sistema para k = 2.
Solución.
Sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas que viene definido por las matrices de
a.
coeficientes(A) y ampliada(A*).
1 1 1
 1 1 1 2




A =  1 k 2  A* =  1 k 2 5 
k 1 1
k 1 1 1




A ⊂ A* ⇒ rg A ≤ rg A* ≤ 3
Si el determinante de A es distinto de cero, el rango de A coincide con el de A* y con el número
de incógnitas, el sistema será compatible determinado. Teniendo en cuenta lo anterior, se discute el tipo
de solución del sistema para los valores del parámetro “a” que anulen el determinante de la matriz de
coeficientes ( A = 0) .
1 1 1
(
)
A = 1 k 2 = k + 2k + 1 − k 2 + 1 + 2 = −k 2 + 3k − 2 = −(k − 1)(k − 2)
k
1 1
k = 1
A = 0 ⇒ − (k − 1)(k − 2) = 0 : 
k = 2
i.
Discusión.
Si k ≠ 1, 2. A ≠ 0 ⇒ rg A = rg A* = n = 3 . Sistema compatible determinado.
5
1 1 1 

 1 1
Si k = 1. A = 0 ⇒ rg A < 3 A = 1 1 2 
= 1 ≠ 0 ⇒ rg A = 2 . Para estudiar el
1 1 1  1 2


rango de la ampliada se parte del menor de orden dos distinto de cero y solo se estudian sus
menores orlados. De los menores orlados solo queda por estudiar el formado por la 1ª, 3ª y
1 1 2
4ª columna 1 2 5 = −1 ≠ 0 ⇒ rg A* = 3 ≠ rg A . Sistema incompatible.
2 1 1
ii.
1 1 1

 1 1
Si k = 2. A = 0 ⇒ rg A < 3 A =  1 2 2 
= 1 ≠ 0 ⇒ rg A = 2 . Para estudiar el
2 1 1 1 2


rango de la ampliada se parte del menor de orden dos distinto de cero y solo se estudian sus
menores orlados. De los menores orlados solo queda por estudiar el formado por la 1ª, 2ª y
1 1 2
iii.
4ª columna 1 2 5 = 0 ⇒ rg A* = 2 = rg A ≠ n . Sistema compatible indeterminado.
1 1 1
b.
Para k = 0. Sistema compatible determinado (método de Cramer).
x + y + z = 2

+ 2z = 5
x

y + z = 1

x=
Ax
y=
A
Ay
z=
A
Az
A
k =o
A − k 2 + 3k − 2 = − 0 2 + 3 ⋅ 0 − 2 = −2
x=
2 1 1
5 0 2
1 1 1
−2
=1
y=
1 2 1
1 5 2
0 1 1
−2
= −1
z=
1 1 2
1 0 5
0 1 1
A
=2
Solución: (1, ‒1, 2)
c.
Para k = 2. Sistema compatible indeterminado de rango 2. De las tres ecuaciones que tiene el
sistema, solo dos son linealmente independientes. Para seleccionar las linealmente independientes, se
escogen las que contienen los términos del menor de orden dos distinto de cero que atribuyo ranngo sos al
sistema.
x + y + z = 2
x + y + z = 2

S :  x + 2 y + 2z = 5 → S' : 
 x + 2 y + 2z = 5
2x + y + z = 1

El sistema se resuelve en función de un parámetro. Se selecciona como parámetro la variable
cuyos coeficientes no formaron parte del menor de orden dos distinto de cero seleccionado para
determinar el rango del sistema (z = λ).
x + y + z = 2
z = λ x + y = 2 − λ

→

 x + 2 y + 2z = 5
 x + 2 y = 5 − 2λ
2−λ
x=
Ax
A
=
1
1
2−λ
Ay
5 − 2λ 2 4 − 2λ − (5 − 2λ )
1 5 − 2λ 5 − 2λ − (2 − λ )
=
= −1 ; y =
=
=
= 3−λ
1 1
1
A
1
1
1 2
Solución: (− 1, 3 − λ, λ ) ∀ λ ∈ R
6
Junio 2012. Ejercicio 1A. (Puntuación máxima: 3 puntos)
Se considera el sistema lineal de ecuaciones, dependiente del parámetro real a:
ay
−
7z
= 4a − 1
x +

x + (1 + a )y − (a + 6)z = 3a + 1

ay
−
6z
= 3a − 2

(a) Discútase el sistema según los diferentes valores de a.
(b) Resuélvase el sistema en el caso en el que tiene infinitas soluciones.
(c) Resuélvase el sistema en el caso a = ‒3.
Solución.
a.
La discusión del sistema se hace en función del rango de las matrices de coeficientes (A) y de la
ampliada (A*)
a
−7 
a
−7
4a − 1 
1
1




A =  1 1 + a − a − 6  A* =  1 1 + a − a − 6 3a + 1  A ⊂ A* ⇒ rg A ≤ rg A *
0
0
a
− 6 
a
−6
3a − 2 


Si A ≠ 0 ⇒ rg A = 3 = rg A* = n . Sistema compatible determinado, por tanto se estudia el
sistema para los valores del parámetro que anulan el determinante de la matriz de coeficientes.
1
a
−7
(
)
A = 1 1 + a − a − 6 = −6 − 6a + 0 − 7a − 0 − 6a − a 2 − 6a = a 2 − a − 6 = (a − 3)(a + 2)
0
a
−6
a = −2
A = 0 ; (a − 3)(a + 2) = 0 : 
 a =3
Discusión.
i.
ii.
Si a ≠ −2, 3 ⇒ A ≠ 0 . rg A = rg A* = n = 3. Sistema compatible determinado
1 − 2 − 7


1 −2
Si a = −2. A =  1 − 1 − 4  A = 0 ⇒ rg A < 3.
= 1 ≠ 0 rg A = 2
1 −1
0 − 2 − 6


1 − 2 − 7 − 9


1 −2
A* =  1 − 1 − 4 − 5  rg A* ≥ 2. De los menores orlados al menor
, solo queda
1 −1
 0 − 2 − 6 − 8


1 −2 −9
por estudiar 1
− 1 − 5 = 0 , rg A* < 3.
0 −2 −8
iii.
rg A = rg A* = 2 ≠ n = 3. Sistema compatible indeterminado
1 3 − 7


1 3
Si a = 3. A =  1 4 − 9  A = 0 , rg A < 3.
= −1 ≠ 0, rg A = 2.
1 4
0 3 − 6


 1 3 − 7 11


1 3
A* =  1 4 − 9 10  rg A* ≥ 2. De los menores orlados al menor
, solo queda
1 4
0 3 − 6 7 


1 3 11
por estudiar 1
4
0 −2
10 = 67 ≠ 0 , rg A* = 3.
7
rg A = 2 ≠ rg A*. Sistema incompatible
7
b.
El sistema tiene infinitas soluciones cuando es compatible indeterminado (a = −2)
x − 2 y − 7z = − 9

 x − y − 4z = − 5

− 2 y − 6z = − 8

El rango del sistema (rg A = rg A* = 2) indica que solo hay dos ecuaciones linealmente
independientes, para asegurarse de coger las correctas, se elimina la ecuación cuyos coeficientes no
formaron parte del menor de orden 2 (se elimina la tercera.
x − 2 y − 7 z = −9

 x − y − 4 z = −5
Para resolver el sistema, y teniendo en cuenta que hay 3 incógnitas y 2 ecuaciones, se considera
una de las variables como constante y se transforma en parámetro, resolviendo las otras variables en
función del parámetro. Para no equivocarse en la elección del parámetro se toma la variable cuyos
coeficientes no formaron parte del menor de orden 2 (z).
x − 2 y = −9 + 7 λ

 x − y = −5 + 4λ
Para resolver el sistema resultante se puede emplear cualquier método, yo recomiendo el método
de Cramer.
− 9 + 7λ − 2
Ax
− 5 + 4λ − 1 (− 9 + 7λ ) ⋅ (− 1) − (− 2) ⋅ (− 5 + 4λ )
x=
=
=
= −1 + λ
1 −2
A
1
1 −1
1 − 9 + 7λ
x=
Ay
A
=
1 − 5 + 4λ
1
=
(− 5 + 4λ ) ⋅1 − (− 9 + 7λ ) ⋅1 = 4 − 3λ
1
Solución: (− 1 + λ, 4 − 3λ, λ ) ∀ λ ∈ R
c.
Para a = −3, sistema compatible determinado.
x − 3y − 7z = − 13

x − 2 y − 3z = − 8

− 3y − 6z = − 11

a = −3
A = a2 − a − 6 =
(− 3)2 − (− 3) − 6 = 6
− 13 − 3 − 7
−8
x=
Ax
A
=
1 − 13 − 7
−2 −3
− 11 − 3 − 6
6
1
=
−8
−3
0 − 11 − 6 14 7
−8
4
=− ; y=
=
=
=
6
3
A
6
6 3
Ay
1 − 3 − 13
1 −2
z=
Az
A
=
−8
0 − 3 − 11
6
=
4 2
=
6 3
 4 7 2
Solución:  − , , 
 3 3 3
Modelo 2012. Ejercicio 1A. (Puntuación máxima: 3 puntos)
Se considera el siguiente sistema lineal de ecuaciones, dependiente del parámetro real k:
8
x + ky + kz = k

 x+y+z = k
 ky + 2z
= k

a) Discútase el sistema para los diferentes valores de k.
b) Resuélvase el sistema en el caso en que tenga infinitas soluciones.
c) Resuélvase el sistema para k = 4.
Solución.
El sistema esta descrito por la matriz de coeficientes (A) y la matriz ampliada (A*).
a.
1 k k 
1 k k k 




A =  1 1 1  A* =  1 1 1 k 
A ⊂ A* ⇒ rg A ≤ rg A* ≤ 3
n=3
0 k 2
0 k 2 k




Si el |A| ≠ 0, rg A = 3 = rg A* = n. Sistema compatible determinado. Se discute el tipo de
solución para los valores del parámetro K que anulan el determinante de la matriz de coeficientes.
1 k k
det A = 1 1 1 = 2 + 0 + k 2 − (0 + 2k + k ) = k 2 − 3k + 2 = (k − 1)(k − 2 )
0 k 2
k −1 = 0 : k = 1
A = 0 : (k − 1)(k − 2) = 0 : 
k − 2 = 0 : k = 2
Discusión:
i.
Si k ≠ 1, 2. |A| ≠ 0 ⇒ rg A = rg A* = n = 3. Sistema compatible determinado
1 1 1


ii.
Si k = 1: A =  1 1 1  . |A| = 0 ⇒ rg A < 3. Se busca un menor de orden dos distinto de
0 1 2


1 1
cero para comprobar si la matriz tiene rango 2.
= 1 ≠ 0 ⇒ rg A = 2. El rango de la
0 1
matriz ampliada se estudia en los menores orlados a
1 1
. De los dos menores orlados,
0 1
uno de ellos es el determinante de la matriz de coeficientes, por lo tanto solo queda por
1 1 1
estudiar 1 1 1 = 0 ⇒ rg A* = 2. Sistema compatible indeterminado (rg A = rg A* = 2 < n
0 1 1
= 3).
iii.
1 2 2


Si k = 2: A =  1 1 1  . |A| = 0 ⇒ rg A < 3. Se busca un menor de orden dos distinto de
0 2 2


1 2
cero para comprobar si la matriz tiene rango 2.
= −1 ≠ 0 ⇒ rg A = 2. El rango de la
1 1
matriz ampliada se estudia en los menores orlados a
1 2
. De los dos menores orlados,
2 1
uno de ellos es el determinante de la matriz de coeficientes, solo queda por estudiar
1 2 2
1 1 2 = −2 ≠ 0 ⇒ rg A* = 3. Sistema incompatible indeterminado (rg A = 2 ≠ rg A* =
0 2 2
3).
9
x + y + z = 1

b.
Se pide resolver el sistema compatible indeterminado (k = 1): x + y + z = 1 . Por ser de
 y + 2z = 1

rango 2, el sistema tiene dos ecuaciones linealmente independientes por lo que se debe eliminar
una. Aunque en este caso queda claro que deberá ser la 1ª o la 2ª (son iguales), ante cualquier
duda, se eliminaran las que no formen parte del menor de orden dos distinto de cero.
x + y + z = 1

 y + 2z = 1
Para resolver el sistema, se transforma una variable en parámetro y se resuelve el sistema en
función de él. La variable que se transforma en parámetro en la que sus coeficientes no formaron parte del
menor de orden dos distinto de cero (z = λ)
 x=λ
x + y = 1 − λ 
:  y = 1 − 2λ

 y = 1 − 2λ  z = λ

Solución: (λ, 1‒2λ, λ) ∀ λ ∈ R.
 x + 4 y + 4z = 4

k = 4:  x + y + z = 4 . Sistema compatible determinado. Se resuelve por
 4 y + 2z
= 4

c.
cualquier método (Cramer).
x=
Ax
Ay
y=
A
A
z=
Az
A
k =4
A = (k − 1)(k − 2) = (4 − 1)(4 − 2 ) = 6
x=
4 4 4
4 1 1
4 4 2
6
=
24
=4
6
y=
1 4 4
1 4 1
0 4 2
6
=
12
=2
6
z=
1 4 4
1 1 4
0 4 4
6
=
− 12
= −2
6
Junio 2011. Ejercicio 1A. (Puntuación máxima: 3 puntos)
Se considera el sistema lineal de ecuaciones dependiente del parámetro real a:
ax + y + z = a

ay + z = 1

ax + y + az = a

a) Discútase el sistema según los diferentes valores de a
b) Resuélvase el sistema en el caso en que tenga infinitas soluciones.
c) Resuélvase el sistema para a = 3.
Solución.
a.
El sistema esta definido por la matriz de coeficientes (A) y por la ampliada (A*).
a 1 1
a 1 1 a 




A =  0 a 1  A* =  0 a 1 1  A ⊂ A* ⇒ rg A ≤ rg A* ≤ 3 ; n = 3
a 1 a 
a 1 a a 




Si el A ≠ 0 , rg A = 3 = rg A* = n. Sistema compatible determinado, por lo que se discute el
sistema para los valores del parámetro que anulan la matriz de coeficientes.
10
a 1 1
a 2 = 0 : a = 0
0 a 1 = a 3 + a + 0 − a 2 + a + 0 = a 3 − a 2 = a 2 (a − 1) : A = 0 : 
 a − 1 = 0 : a = 1
a 1 a
(
i.
ii.
)
Discusión:
Si a ≠ 0, 1. A ≠ 0 Sistema compatible determinado.
0 1 1


Si a = 0. A = 0 rg A < 3. A =  0 0 1  Hay que buscar un menor de orden dos distinto
0 1 0


0
1 1 0



1 1
1 1
de cero.
= 1 ≠ 0 rg A = 2. A* =  0 0 1 1  Partiendo del menor
≠ 0 , en la
0 1
0 1
0 1 0 0


matriz ampliada solo queda un menor orlado por estudiar, el formado por las columnas 2ª, 3ª
y 4ª.
1 1 0
0 1 1 = 1 ≠ 0 ⇒ rg A* = 3
1 0 0
rg A ≠ rg A * . Sistema incompatible
iii.
 1 1 1


Si a = 1. A = 0 rg A < 3. A =  0 1 1 Hay que buscar un menor de orden dos distinto
 1 1 1


 1 1 1 1


1 1
1 1
de cero.
= 1 ≠ 0 rg A = 2. A* =  0 1 1 1 Partiendo del menor
≠ 0 , en la
0 1
0 1
 1 1 1 1


matriz ampliada solo queda un menor orlado por estudiar, el formado por las columnas 1ª, 2ª
y 4ª.
1 1 1
0 1 1 = 0 ⇒ rg A* < 3
1 1 1
rg A = rg A* < n = 3. Sistema compatible indeterminado
x + y + z = 1
Sistema equivalente: S' ≡ 
y + z = 1

b.
x +
a = 1: S' ≡ 

y + z = 1
y + z = 1
Restando las ecuaciones se obtiene el valor de x = 0.
= 0 z = λ x =
0
x

→

y
+
z
=
1
y
=
1
−
λ


Solución: (0, 1 ‒ λ, λ) ∀ λ ∈ R
c.
3x + y + z = 3

a = 3. Sistema compatible de terminado (Cramer): 
3y + z = 1
3x + y + 3z = 3

A = a 3 − a 2 = 33 − 32 = 18
11
3 1 1
1 3 1
x=
Ax
A
=
3 1 3
18
=
3 3 1
3 1 3
0 1 1
0 3 1
Ay
3 1 3
3 3 3
A
0
16 8
6 1
= ; y=
=
=
= ; z= z =
=
=0
A
18
18
18 9
A
18
18 3
8 1 
Solución:  , , 0 
9 3 
Septiembre 1010. F.M. Ejercicio 1B. (Puntuación máxima: 3 puntos)
Se consideran las matrices:
2
−1 
a − 2
x
 0


 
 
A= 2
a
2  ; X =  y  ; O =  0
 2a 2(a + 1) a + 1
z
 0


 
 
c) Para a = 0, calcúlense todas las soluciones del sistema lineal A·X = 0.
Solución.
 − 2 2 − 1  x   0   − 2 x + 2 y − z = 0

     
c.
a = 0:  2 0 2  ⋅  y  =  0  :  2 x
+ 2z = 0
 0 2 1   z  0 
2y + z = 0

     
 A ≠ 0 : S.C.D. (x = y = z = 0)
Sistema homogéneo, rg A = rg A* ⇒ Sistema compatible. 
 A = 0 : S.C.I.
Para a = 0, |A| = 0:
2 0
0 2
= 4 ≠ 0 ⇒ rg A = rg A* = 2 < n = 3. Sistema compatible
indeterminado.
Tomando como ecuaciones linealmente independientes a las que contienen el menor de
orden dos distinto de cero:
+ 2z = 0
2 x
S' : 
2y + z = 0

Para resolver el sistema se toma como parámetro la variable cuyos coeficientes no
formaron parte del menor de orden 2.
 x = −λ
2 x = −2λ 
1
S' (z = λ ) : 
: y = − λ ∀ λ ∈ R
2
 2 y = −λ 
 z=λ
Septiembre 2010. F.G. Ejercicio 1A. (Puntuación máxima: 3 puntos)
Se considera el siguiente sistema lineal de ecuaciones dependiente del parámetro real a:
1
 1 − 1
1
 

  y  


2
⋅
x
+
−
3
2
⋅
=
 

    22 
1
 − 4 a   z   7a 
 


 
a) Discútase el sistema para los diferentes valores del parámetro a.
b) Resuélvase el sistema para el valor de a para el cual el sistema tiene infinitas soluciones.
c) Resuélvase el sistema para a = 0.
Solución.
Operando e igualando las matrices se obtiene el sistema de ecuaciones lineales. Este primer paso
no es necesario hacerlo.
1
 1 − 1
1
 x   y−z   1 
 x+y−z   1 
 

  

  y  
  
  


2
⋅
x
+
−
3
2
⋅
=
22
:
2
x
+
−
3
y
+
2
z
=
22
:
 

    
  
  
 2 x − 3y + 2z  =  22 
1
 − 4 a   z   7a 
 x   − 4 y + az   7a 
 x − 4 y + az   7a 
 


 
  
  

  
12
 x + y −z =1

2x − 3y + 2z = 22
 x − 4 y + az = 7a

El sistema esta definido por la matriz de coeficientes (A) y la matriz ampliada (A*).
 1 1 − 1
1 1 −1 1 




A =  2 − 3 2  : A* =  2 − 3 2 22  : rg A ≤ rg A* ≤ n = 3
1 − 4 a 
 1 − 4 a 7a 




Si el determinante de la matriz de coeficientes en distinto de cero, el rg A = 3 = rg A* = n, el
sistema es compatible determinado. Se estudia el tipo de solución para los valores del parámetro que
anulan el determinante de la matriz de coeficientes.
1 1 −1
a.
2 = −3a + 2 + 8 − (3 + 2a − 8) = 15 − 5a
a
det A = 2 − 3
1 −4
A = 0 : 15 − 5a = 0 : a = 3
Discusión.
i.
ii.
Si a ≠ 3. |A| ≠ 0 ⇒ rg A = rg A* = n = 3. Sistema compatible determinado.
 1 1 − 1


1 1
Si a = 3. A =  2 − 3 2  |A| = 0 ⇒ rg A < 3.
= −5 ≠ 0 ⇒ rg A = 2. El rango de
2 −3
1 − 4 3 


la ampliada se estudia a partir del menor de orden dos, estudiando sus menores orlados. De
los dos menores orlados, uno es el determinante de la matriz de coeficientes, que es nulo, y
solo nos queda uno más por estudiar que está formado por las columnas 1ª, 2ª y 4ª.
1
1
1
2 − 3 22 = 0 ⇒ rg A* < 3
1 − 4 21
rg A = rg A* = 2 < n = 3. Sistema compatible indeterminado
b.
 x + y− z =1
 x + y−z =1

rgA = rgA*= 2
Para a = 3. S : 2x − 3y + 2z = 22    
→ S' : 
2x − 3y + 2z = 22
 x − 4 y + 3z = 21

El rango del sistema (2), informa del número de ecuaciones linealmente independientes, que son
las que se deberán usar para resolver el sistema. Para seleccionar las ecuaciones linealmente
independientes, recomiendo tomar las ecuaciones que contienen a los coeficientes del menor de orden dos
distinto de cero que ha permitido definir el rango del sistema, de esta forma nos aseguramos que las
ecuaciones escogidas son linealmente independientes, en nuestro caso la 1ª y la 2ª.
Como el número de incógnitas es superior al número de ecuaciones linealmente independientes,
es necesario transformar una incógnita en parámetro y resolver el sistema en función del parámetro. En la
selección de la incógnita que se debe transformar en parámetro, recomiendo tomar como parámetro la
variable cuyos coeficientes no se usaron en el menor de orden dos (z).
 x + y−z =1
 x + y = 1+ λ
z =λ
S' : 
→ S' : 
2 x − 3y + 2z = 22
2x − 3y = 22 − 2λ
Para resolver el sistema se puede usar cualquier método, recomiendo el método de Cramer por
ser el más metódico.
1+ λ
1
Ax
22 − 2λ − 3 − 3 − 3λ − (22 − 2λ ) − 25 − λ
1
x=
=
=
=
= 5+ λ
−5
−5
5
A
1 1
2 −3
13
1+ λ
1
y=
Ay
A
=
2 22 − 2λ
1
1
=
22 − 2λ − (2 + 2λ ) 20 − 4λ
4
=
= −4 + λ
−5
−5
5
2 −3
1
4


Solución:  5 + λ, − 4 + λ, λ  ∀ λ ∈ R
5
5


 x + y −z =1
a=0

a = 0: 2x − 3y + 2z = 22 Sistema compatible determinado. A = 15 − 5a = 15
 x − 4y = 0

c.
x=
Ax
A
=
1
1 −1
22 − 3 2
0 −4 0
15
=
Ay
32
=
y=
5
A
1 1 −1
2 22 2
1 0 0
15
=
Az
8
z=
=
5
A
1 1
1
2 − 3 22
1 −4 0
15
=7
 32 8 
Solución:  , , 7 
 5 5 
Junio 2010. F.G. Ejercicio 1B. (Puntuación máxima: 3 puntos)
Se considera el siguiente sistema lineal de ecuaciones, dependiente del parámetro real k:
kx − 2 y + 7z = 8

 x − y + kz = 2
 −x+y+z=2

a) Discútase el sistema según los diferentes valores de k.
b) Resuélvase el sistema en el caso en que tenga infinitas soluciones.
c) Resuélvase el sistema para k = 0
Solución.
a.
Las matrices que definen el tipo de sistema son la matriz de coeficientes (A) y ampliada (A*).
 k − 2 7
 k − 2 7 8



* 
A =  1 − 1 k  ; A =  1 − 1 k 2  A ⊂ A* ⇒ rg A ≤ rg A* ≤ n = 3
−1 1 1
 −1 1 1 2




Si |A| ≠ 0, rg A = 3 = rg A* = n sistema compatible determinado, teniendo en cuenta esto, se
estudia el tipo de solución para los valores del parámetro k que anulan el determinante de la matriz de
coeficientes.
k −2 7
det A = 1 − 1 k = −k 2 + k + 2
−1 1 1
k = −1
A = 0 : −k 2 + k + 2 = 0 : 
k=2
Discusión.
i.
ii.
Si k ≠ −1, 2 ⇒ |A| ≠ 0: rg A = 3 = rg A* = n Sistema compatible determinado.
−1 − 2 7 


−1 − 2
Si k = −1. A =  1 − 1 − 1 : |A| = 0: rg A < 3.
= 3 ≠ 0 , rg A = 2
1 −1
−1 1

1

14
 −1 − 2 7 8


−1 − 2
A =  1 − 1 − 1 2  rg A* ≥ 2. De los dos menores orlados al menor
, solo
1 −1
 −1 1

1
2


−1 − 2 8
queda por estudiar el formado por la 1ª, 2ª y 4ª columna 1 − 1 2 = 12 ≠ 0 rg A* = 3.
−1 1 2
*
iii.
rg A = 2 ≠ rg A* = 3. Sistema incompatible
 2 − 2 7


−1 2
Si k = 2. A =  1 − 1 2  : |A| = 0: rg A < 3.
= −3 ≠ 0 , rg A = 2
1 1
−1 1 1


 2 − 2 7 8


−1 2
A* =  1 − 1 2 2  rg A* ≥ 2. De los dos menores orlados al menor
, solo
1 1
 −1 1 1 2


−2 7 8
queda por estudiar el formado por la 2ª, 3ª y 4ª columna − 1 2 2 = 0 rg A* < 3.
1
1 2
rg A = rg A* = 2 < n = 3. Sistema compatible indeterminado
b.
Para k = 2 el sistema es compatible indeterminado de dos ecuaciones y tres incógnitas. Para
escoger las ecuaciones que son linealmente independientes se toman las que contienen los coeficientes del
menor de orden dos (3ª y 4ª).
 x − y + 2z = 2

− x + y + z = 2
Para resolver el sistema se trasforma una variable en parámetro, recomiendo tomar como
parámetro la variable cuyos coeficientes no formaron el menor de orden 2 (x).
− y + 2 z = 2 − λ
x =λ:
 y+z = 2+λ
2−λ 2
y=
−1 2 − λ
2+λ 1 2
1 2+λ 4
= +λ z=
=
−1 2
−1 2
3
3
1 1
1 1
4
 2
Solución:  λ, + λ, 
3
 3
c.
Para k = 0, sistema compatible determinado, se resuelve por el método de Cramer.
− 2 y + 7z = 8


−y
=2
 x
− x + y + z = 2

x=
Ax
A
; y=
Ay
A
; z=
Az
A
A(k = 0) = −0 + 0 + 2 = 2
2
x=
8 −2 7
2 −1 0
2 1 1
2
= 12 ; y =
0 8 7
1 2 0
−1 2 1
2
Solución: (12, 10, 4)
15
= 10 ; z =
0 −2 8
1 −1 2
− 1 2
2
=4
Junio 2010. F.G. Ejercicio 1B. (Puntuación máxima: 3 puntos)
Se considera el siguiente sistema lineal de ecuaciones, dependiente del parámetro real k:
1
 x − y + kz =

2
2x − ky + z =
 x − y − z = k −1

d) Discútase el sistema según los diferentes valores de k.
e) Resuélvase el sistema para el valor de k para el cual el sistema tiene infinitas soluciones.
f) Resuélvase el sistema para k = 3
Solución.
a.
Al sistema lo caracterizan la matriz de coeficientes (A) y la ampliada (A*).
1 
1 −1 k 
1 −1 k




A =  2 − k 1  A* =  2 − k 1
2 
 1 − 1 − 1
 1 − 1 − 1 k − 1




A ⊂ A* ⇒ rg A ≤ rg A* ≤ 3 ; n = 3
Si A ≠ 0 ⇒ rg A = 3 = rg A* = n Sistema compatible determinado. Se discute el tipo de
solución para los valores del parámetro que anulan el determinante de la matriz de coeficientes.
1 −1 k
A = 2 −k
1
1 = k 2 − k − 2 = (k + 1) ⋅ (k − 2)
−1 −1
k + 1 = 0 : k = −1
A = 0 : (k + 1) ⋅ (k − 2) = 0 : 
k − 2 = 0:k = 2
Discusión:
Si k ≠ −1, 2: |A| ≠ 0 ⇒ rg A = 3 = rg A* = n. Sistema compatible determinado (Cramer).
 1 − 1 − 1


1 −1
= 1 − (− 2) = 3 rg A = 2. El rango
ii.
Si k = −1: A =  2 1 1  |A| = 0 ⇒ rg A < 3,
2 1
 1 − 1 − 1


de la ampliada se estudia a partir del menor de orden 2 distinto de cero utilizado para
determinar el rango de la matriz de coeficientes.
1 −1 −1 1 

* 
A = 2 1 1
2 
1 −1 −1 − 2


De los orlados menores orlados al menor de orden dos del que partimos, solo queda por
estudiar el menor de orden tres formado por la 1º, 2º y 4º columna.
1 −1 1
i.
2
1
2 = −9 ⇒ rg A* = 3 ≠ rg A. Sistema incompatible
1 −1 − 2
iii.
 1 −1 2 


1 2
Si k = 2: A =  2 − 2 1  |A| = 0 ⇒ rg A < 3,
= 1 − 4 = −3 rg A = 2.
2 1
 1 − 1 − 1


1 −1 2 1

* 
A =  2 − 2 1 2
1 −1 −1 1


1 2
, solo queda por estudiar el formado por la 1ª, 3ª y 4ª
De los menores orlados a
2 1
columna.
16
1 2 1
2 1 2 = 0 ⇒ rg A* = 2
1 −1 1
rg A = rg A* = 2 < n = 3. Sistema compatible indeterminado.
b.
Para k = 2, sistema compatible indeterminado de rango 2, lo cual indica que solo hay dos
ecuaciones linealmente independientes. Se toman como linealmente independientes las ecuaciones que
contienen a los términos del menor de orden dos distinto de cero.
1 2
 x − y + 2z = 1
≠ 0 ⇒ S': 
2 1
2 x − 2 y + z = 2
Sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas, para resolverlo se transforma una variable en
parámetro, escogiéndose como parámetro la variable cuyos coeficientes no formaron parte del menor de
orden 2 (y).
 x − y + 2z = 1 y = λ  x + 2z = 1 + λ
S': 

→
2 x − 2 y + z = 2
 2 x + z = 2 + 2λ
Aplicando el método de Cramer, se obtiene la solución.
1+ λ 2
x=
2 + 2λ 1 (1 + λ ) ⋅ 1 − 2 ⋅ (2 + 2λ ) − 3 − 3λ
=
=
=1+ λ
1 2
1− 4
−3
2 1
1
z=
1+ λ
2 2 + 2λ 1 ⋅ (2 + 2λ ) − (1 + λ ) ⋅ 2
0
=
=
=0
1 2
1− 4
−3
2 1
Solución: (1+λ, λ, 0) ∀ λ ∈ R
c.
Para k = 3. Sistema compatible determinado. Método de Cramer.
 x − y + 3z = 1

S : 2 x − 3 y + z = 2
 x−y−z = 2

x=
Ax
A
; y=
Ay
A
; z=
Az
A
A(k = 3) = 3 − 3 − 2 = 4
2
1
x=
−1
3
2 −3 1
2 −1 −1
4
1 1
=3 ; y=
3
2 2 1
1 2 −1
4
1
=
5
; z=
4
−1 1
2 −3 2
1 −1 2
4
=
−1
4
 5 1
Solución:  3, , − 
 4 4
Modelo 2010. Ejercicio 1A. (Puntuación máxima: 3 puntos)
Se considera el siguiente sistema lineal de ecuaciones, dependiente del parámetro real k:
x + ky + z = 1

 2 y + kz = 2
x+y+z = 1

17
a) Discútase el sistema para los diferentes valores de k.
b) Resuélvase el sistema en el caso en que tenga infinitas soluciones.
c) Resuélvase el sistema para k = 3.
Solución.
a.
Sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas que viene descrito por las matices de coeficientes
(A) y ampliada (A*).
1 k 1 
1 k 1 1




A = 0 2 k
A* =  0 2 k 2 
1 1 1 
1 1 1 1




A ⊂ A* ⇒ rg A ≤ rg A* ≤ 3. n = 3
i.
ii.
La discusión del tipo de solución en función del parámetro se puede hacer de dos formas:
Por el teorema de Rouché
Por Gauss.
Por el teorema de Rouché-Frobenius. Si el determinante de la matriz de coeficientes es distinto
de cero, el rango de la matriz A es tres, el de la ampliada también (A ⊂ A* ⇒ rg A ≤ rg A*) y coincide
con el número de incógnitas, sistema compatible determinado. Por lo tanto se discute el sistema para los
valores del parámetro que anulan el determinante de la matriz de coeficientes.
Por Gauss. Por ser un sistema con igual número de ecuaciones que de incógnitas, si el
determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero el sistema es compatible determinado. Por lo
tanto se discute el sistema para los valores del parámetro que anulan el determinante de la matriz de
coeficientes.
1 k 1
det A = 0 2 k = 2 + k 2 + 0 − (2 + k + 0) = k 2 − k = k (k − 1)
1 1 1
k = 0
A = 0 : k (k − 1) = 0 : 
k = 1
Discusión: (Rouché-Fröbenius)
Si k ≠ 0, 1. |A| ≠ 0 ⇒ rg A = rg A* = n = 3. Sistema compatible determinado (solución
única). Se puede calcular mediante el método de Cramer.
1 0 1


1 0
ii.
Si k = 0. A =  0 2 0  |A| = 0 ⇒ rg A < 3.
= 2 ≠ 0 ⇒ rg A = 2.
0 2
1 1 1


1 0 1 1


A* =  0 2 0 2  rg A* ≥ 2 (A* no puede tener menor rango que A). Si se toma como
1 1 1 1


1 0
referencia el menor
, de sus menores orlados, solo que queda por estudiar el formado
0 2
por la 1ª, 2ª y 4ª columna, el otro es el determinante de la matriz de coeficientes que para a =
1 0 1
i.
0 es nulo. 0 2 2 = −2 ≠ 0 . rg A* = 3 ≠ rg A. Sistema incompatible (no tiene solución).
1 1 1
iii.
 1 1 1
1 1 1 1




1 1
Si k =1. A =  0 2 1 |A| = 0 ⇒ rg A < 3.
= 2 ≠ 0 ⇒ rg A = 2. A* =  0 2 1 2 
0 2
 1 1 1
1 1 1 1




rg A* ≥ 2 (A* no puede tener menor rango que A). Si se toma como referencia el menor
18
1 1
, de sus menores orlados, solo que queda por estudiar el formado por la 1ª, 2ª y 4ª
0 2
columna, el otro es el determinante de la matriz de coeficientes que para a = 0 es nulo.
1 1 1
0 2 2 =0.
1 1 1
(infinitas soluciones).
i.
ii.
iii.
rg A = rg A* = 2 < n = 3. Sistema compatible indeterminado
Discusión: (Gauss)
Si a ≠ 0, 1. |A| ≠ 0 . Sistema compatible determinado (solución única). Se puede calcular
mediante el método de Cramer.
1 0 1 M 1
 1 0 1 M 1  x + z = 1

 E 3 = E 3 − E 1  
 
Si k = 0:  0 2 0 M 2  = 
 =  0 1 0 M 1  :  y = 1 Sistema
1 1 1 M 1   E 2 = E 2 2  0 1 0 M 0  y = 0



 
incompatible (no tiene solución). Se produce una incongruencia entre la 2ª y 3ª ecuación.
1 1 1 M 1
1 1 1 M 1



 x + y + z = 1
Si a =1:  0 2 1 M 2  = {E 3 = E 3 − E 1 } =  0 2 1 M 2  : 
Sistema
1 1 1 M 1
 0 0 0 M 0   2y + z = 2




compatible indeterminado (infinitas soluciones).
b.
El sistema tiene infinitas soluciones para k = 1. Dos métodos, Cramer ó Gauss.
x + y + z = 1

EQUIV x + y + z = 1
Cramer: k = 1.  2 y + z = 2 ← →
Sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas.
 2y + z = 2
x + y + z = 1

Para resolverlo se transforma una variable en parámetro (z = λ) y se resuelven las otras dos en función del
parámetro (λ) mediante cualquier método (Cramer)
x + y + z = 1 z =λ x + y = 1 − λ
→

 2y + z = 2
 2y = 2 − λ
1− λ
x=
Ax
A
=
2−λ 2
2
1 1− λ
Ay 0 2−λ
1
=
−λ
:y=
2
A
2
=
λ
2−λ
= 1−
2
2
λ 
 λ
Solución:  − , 1 − , λ 
2 
 2
1 1 1 M 1

 x + y + z = 1 z =λ x + y = 1 − λ
2−λ
λ
Gauss: k = 1.  0 2 1 M 2  : 
→
:y=
= 1−
2
y
+
z
=
2
2
y
=
2
−
λ
2
2

0 0 0 M 0 


λ
 λ
1 − + y = 1 − λ : y = −
2
 2
λ 
 λ
Solución:  − , 1 − , λ 
2 
 2
c.
Para k = 3. Sistema compatible determinado, solución única. Dos métodos, Cramer ó Gauss.
 x + 3y + z = 1
Ay
Ax
Az

:y=
:z =
Cramer: k = 3.  2 y + 3z = 2 x =
|A| = 32 − 3 = 6
A
A
A
 x + y+z =1

19
x=
1 3 1
1 1 1
2 2 3
0 2 3
0 2 2
1 1 1
1 1 1
1 1 1
6
=
2 1
= :y=
6 3
1 3 1
0
= 0:z =
6
2
1
Solución:  , 0, 
3
3
6
=
1 3 1 M 1
1 3 1 M



Gauss: k = 3.  0 2 3 M 2  = {E 3 = E 3 − E1 } =  0 2 3 M
1 1 1 M 1
0 − 2 0 M



x + z = 1
2 
2
: z = : x + = 1 : x =

3 
3
 3z = 2
6
=
4 2
=
6 3
1   x + 3y + z = 1
 
2  :  2 y + 3z = 2 : y = 0 :
0   − 2 y = 0
1
3
2
1
Solución:  , 0, 
3
3
Septiembre 2009. Ejercicio 1B. (Puntuación máxima: 3 puntos)
Se considera el siguiente sistema lineal de ecuaciones dependiente del parámetro real k:
x+y+z = 3

x + ky + z = 3
 kx − 3z = 6

a) Discútase el sistema según los valores de k.
b) Resuélvase el sistema en el caso en que tenga infinitas soluciones
c) Resuélvase el sistema para k = 3
Solución.
a.
Sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas en el que la matriz de coeficientes depende de un
parámetro. El sistema viene definido por las matrices:
1 1 1 
 1 1 1 3



* 
A = 1 k 1 
A =  1 k 1 3
 k 0 − 3
 k 0 − 3 6




A ⊂ A* ⇒ rg A ≤ rg A* ≤ n = 3
Si |A| ≠ 0 ⇒ rg A = rg A* = n = 3. Sistema compatible determinado. Teniendo en cuenta lo
anterior, se discute el tipo de solución del sistema para los valores del parámetro que anulan el
determinante de la matriz de coeficientes (|A| = 0).
1 1 1
(
)
det A = 1 k 1 = −3k + k + 0 − k 2 − 3 + 0 = −k 2 − 2k + 3 = −(k + 3) ⋅ (k − 1)
k 0 −3
 k + 3 = 0 : k = −3
A = 0 : −(k + 3) ⋅ (k − 1) = 0 : 
 k −1 = 0 : k = 1
Discusión:
i. Si k ≠ −3, 1. |A| ≠ 0 ⇒ rg A = rg A* = n = 3. Sistema compatible determinado.
1
1 
 1


1 1
ii. Si k = −3. A =  1 − 3 1  |A| = 0 ⇒ rg A < 3.
= −4 ≠ 0 rg A = 2
1 −3
 − 3 0 − 3


20
1
1 3
 1
 A ⊂ A* 


*
A =  1 − 3 1 3  teniendo en cuenta que 
 rg A ≥ 2. De los menores orlados a
rg A = 2
 − 3 0 − 3 6


1
1 3
1 1
solo queda por estudiar el menor: 1 − 3 3 = −60 ≠ 0 rg A* = 3 ≠ rg A
1 −3
−3 0 6
Sistema Incompatible
1 1 1 


1 1
iii. Si k = 1. A = 1 1 1  |A| = 0 ⇒ rg A < 3.
= 3 ≠ 0 rg A = 2
0 −3
1 0 − 3 


*
1 1 1 3 
 A ⊂ A* 


*
A = 1 1 1 3  teniendo en cuenta que 
 rg A ≥ 2. De los menores orlados a


rg
A
=
2
1 0 − 3 6 




1 1 3
1 1
solo queda por estudiar el menor: 1 1 3 = 0 rg A* = 2 = rg A < n = 3
0 −3
0 −3 6
Sistema compatible indeterminado.
b.
El sistema tiene infinitas soluciones para k = 1.
x + y + z = 3

Equivalente x + y + z = 3
x + y + z = 3   →
 x − 3z = 6
 x − 3z = 6

Sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas, se resuelve en función de una de las variables que
se convierte en un parámetro (z = λ).
x + y + z = 3 z = λ x + y = 3 − λ

→

 x − 3z = 6
 x = 6 + 3λ
El sistema se resuelve por sustitución
6 + 3λ + y = 3 − λ : y = −3 − 4λ
Solución: (3 − λ, − 3 − 4λ, λ )
*
c.
k = 3. Teniendo en cuenta el apartado a, sistema compatible determinado. Cramer.
x+y+z = 3

x + 3y + z = 3 A(k = 3) = −(3 + 3) ⋅ (3 − 1) = −12
 3x − 3z
= 6

1 3 1
3 1 1
1 1 3
1 3 1
3 3 1
1 3 3
A
3 6 −3
A
6 0 − 3 − 30 5
A
3 0 6 − 24 1
y
0
x= x =
=
=
y=
=
=
=0 z= z =
=
=
A
− 12
− 12 2
A
− 12
− 12
A
− 12
− 12 2
Junio 2009. Ejercicio 1A. (Puntuación máxima: 3 puntos)
Se considera el siguiente sistema de ecuaciones, dependiente el parámetro real k:
 x + y + kz = 4

 2 x − y + 2z = 5
− x + 3 y − z = 0

a) Discútase el sistema según los diferentes valores del parámetro k.
b) Resuélvase el sistema en el caso en que tenga infinitas soluciones.
c) Resuélvase el sistema para k = 0.
Solución.
a.
El sistema está definido por las matices de coeficientes (C) y ampliada (A).
21
1 1 k


C =  2 −1 2 
 − 1 3 − 1


 1 1 k 4


A =  2 −1 2 5 
 −1 3 −1 0 


Entre estas matrices se dan las siguientes relaciones:
C ⊂ A ⇒ rg C ≤ rg A ≤ 3 = n (número de incógnitas)
Si el |C| ≠ 0, rg C = rg A = n = 3, siendo en ese caso el sistema compatible determinado, por
tanto se discute el tipo de solución del sistema para los valores del parámetro k que anulan el
determinante de la matriz de coeficientes.
1 1 k
det C = 2 − 1 2 = 1 − 2 + 6k − (k − 2 + 6) = 5k − 5 = 5(k − 1)
−1 3 −1
det C = 0 : 5(k − 1) = 0 : k = 1
Discusión. (Rouché)
i.
Si k ≠ 1. |C| ≠ 0, rg C = rg A = n = 3. Sistema compatible determinado. Sistema de Cramer.
1 1 1


1 1
ii.
Si k = 1. C =  2 − 1 2  : C = 0 ⇒ rg C < 3
= −3 ≠ 0 : rg C = 2 . Para estudiar el
2 −1
 − 1 3 − 1


rango de la ampliada, se tiene en cuenta que rg A ≥ rg C = 2. Si se parte del menor de orden
dos de la matriz de coeficientes, sus menores orlados son la matriz de coeficientes, cuyo
determinante es cero, y el menor formado por la 1ª, 2ª y 4ª columna.
1 1 4
2
− 1 5 = 0 rg A = 2 = rg C < n = 3. Sistema compatible indeterminado.
−1
3
0
Discusión. (Gauss)
i.
Si k ≠ 1. |C| ≠ 0, Sistema compatible determinado. Sistema de Cramer.
 1 1 1 M 4
1 1 1 M 4 

 E 2 = E 2 − 2 E 1  

ii.
Si k = 1:  2 − 1 2 M 5  = 
 =  0 − 3 0 M − 3 =
 − 1 3 − 1 M 0   E 3 = E 3 + E1   0 4 0 M 4 




Se simplifican la 2ª y 3ª ecuación
1 1 1 M 4
1 1 1 M 4




=  0 1 0 M 1  = {E 3 = E 3 − E 2 } =  0 1 0 M 1  Sistema compatible
0 1 0 M 1
0 0 0 M 0




indeterminado.
b.
Para k = 1. El sistema equivalente los forman las dos ecuaciones que contienen al menor de
orden 2 distinto de cero.
 x+y+z = 4

2 x − y + 2 z = 5
Para resolver el sistema se toma z como constante y se transforma en un parámetro (z = λ).
 x + y = 4−λ

 2 x − y = 5 − 2λ
El sistema se puede resolver por cualquier método obteniendo:
x = 3 − λ

 y = 1 ∀ λ∈R
 z=λ

22
Si el sistema se ha discutido por Gauss, este apartado se resolvería con el sistema asociado a la
1 1 1 M 4


x + y + z = 4
matriz  0 1 0 M 1  <> 
, cuyas soluciones son las mismas.
y =1

0 0 0 M 0


 x+y=4

Para k = 0, el sistema es del tipo Cramer,  2x − y + 2z = 5 siendo el determinante de
− x + 3 y − z = 0

c.
coeficientes: det C = 5(0 − 1) = −5
4
x=
Ax
C
=
1
0
5 −1
2
0
−1
3
−5
= 3; y =
Ay
C
=
1
4
0
1
1
2
5
2
2
−1 5
−1 0 −1
−5
=1; z =
Az
C
=
−1
3
−5
4
0
=0
Septiembre 2007. Ejercicio 1A. (Puntuación máxima: 3 puntos)
Dado el sistema lineal de ecuaciones, dependiente del parámetro real a:
x + ay + z = 1

 2 y + az = 2
 x + y+z =1

(a) Discutir el sistema para los distintos valores de a.
(b) Resolver el sistema para a =3 y a = 1.
Solución.
a.
Sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas que viene descrito por las matices de coeficientes
(A) y ampliada (A*).
1 a 1
1 a 1 1




A = 0 2 a 
A* =  0 2 a 2 
1 1 1
1 1 1 1




A ⊂ A* ⇒ rg A ≤ rg A* ≤ 3. n = 3
iii.
iv.
La discusión del tipo de solución en función del parámetro se puede hacer de dos formas:
Por el teorema de Rouché
Por Gauss.
Por el teorema de Rouché-Frobenius. Si el determinante de la matriz de coeficientes es distinto
de cero, el rango de la matriz A es tres, el de la ampliada también (A ⊂ A* ⇒ rg A ≤ rg A*) y coincide
con el número de incógnitas, sistema compatible determinado. Por lo tanto se discute el sistema para los
valores del parámetro que anulan el determinante de la matriz de coeficientes.
Por Gauss. Por ser un sistema con igual número de ecuaciones que de incógnitas, si el
determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero el sistema es compatible determinado. Por lo
tanto se discute el sistema para los valores del parámetro que anulan el determinante de la matriz de
coeficientes.
1 a 1
det A = 0 2 a = 2 + a 2 + 0 − (2 + a + 0) = a 2 − a = a (a − 1)
1 1 1
a = 0
A = 0 : a (a − 1) = 0 : 
a = 1
iv.
Discusión: (Rouché-Frobenius)
Si a ≠ 0, 1. |A| ≠ 0 ⇒ rg A = rg A* = n = 3. Sistema compatible determinado (solución
única). Se puede calcular mediante el método de Cramer.
23
v.
1 0 1


1 0
Si a = 0. A =  0 2 0  |A| = 0 ⇒ rg A < 3.
= 2 ≠ 0 ⇒ rg A = 2.
0 2
1 1 1


1 0 1 1


A* =  0 2 0 2  rg A* ≥ 2 (A* no puede tener menor rango que A). Si se toma como
1 1 1 1


referencia el menor
1 0
, de sus menores orlados, solo que queda por estudiar el formado
0 2
por la 1ª, 2ª y 4ª columna, el otro es el determinante de la matriz de coeficientes que para a =
1 0 1
0 es nulo. 0 2 2 = −2 ≠ 0 . rg A* = 3 ≠ rg A. Sistema incompatible (no tiene solución).
1 1 1
vi.
iv.
v.
vi.
 1 1 1
1 1 1 1




1 1
Si a =1. A =  0 2 1 |A| = 0 ⇒ rg A < 3.
= 2 ≠ 0 ⇒ rg A = 2. A* =  0 2 1 2 
0 2
 1 1 1
1 1 1 1




rg A* ≥ 2 (A* no puede tener menor rango que A). Si se toma como referencia el menor
1 1
, de sus menores orlados, solo que queda por estudiar el formado por la 1ª, 2ª y 4ª
0 2
columna, el otro es el determinante de la matriz de coeficientes que para a = 0 es nulo.
1 1 1
0 2 2 =0.
rg A = rg A* = 2 < n = 3. Sistema compatible indeterminado
1 1 1
(infinitas soluciones).
Discusión: (Gauss)
Si a ≠ 0, 1. |A| ≠ 0 . Sistema compatible determinado (solución única). Se puede calcular
mediante el método de Cramer.
1 0 1 M 1
 1 0 1 M 1  x + z = 1

 E 3 = E 3 − E 1  
 
Si a = 0:  0 2 0 M 2  = 
 =  0 1 0 M 1  :  y = 1 Sistema
1 1 1 M 1   E 2 = E 2 2  0 1 0 M 0  y = 0



 
incompatible (no tiene solución). Se produce una incongruencia entre la 2ª y 3ª ecuación.
1 1 1 M 1
1 1 1 M 1



 x + y + z = 1
Si a =1:  0 2 1 M 2  = {E 3 = E 3 − E 1 } =  0 2 1 M 2  : 
Sistema
1 1 1 M 1
 0 0 0 M 0   2y + z = 2




compatible indeterminado (infinitas soluciones).
b.
Dos métodos, Cramer ó Gauss,
x + 3y + z = 1
Ay
Ax
Az

Cramer: a = 3.  2 y + 3z = 2 x =
:y=
:z =
A
A
A
 x + y+z =1

1 3 1
1 1 1
2 2 3
x=
1 1 1
6
0 2 3
=
|A| = 32 − 3 = 6
1 3 1
0 2 2
1 1 1 0
1 1 1 4 2
2 1
= :y=
= = 0:z =
= =
6 3
6
6
6
6 3
2
1
Solución:  , 0, 
3
3
24
x + y + z = 1

EQUIV x + y + z = 1
a = 1.  2 y + z = 2 ← →
Sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas. Para
 2y + z = 2
x + y + z = 1

resolverlo se transforma una variable en parámetro (z = λ) y se resuelven las otras dos en función del
parámetro (λ) mediante cualquier método (Cramer)
x + y + z = 1 z =λ x + y = 1 − λ
→

 2y + z = 2
 2y = 2 − λ
1− λ 1
1 1− λ
Ay 0 2−λ 2−λ
Ax
2−λ 2 −λ
λ
=
=
=
= 1−
x=
:y=
2
2
2
2
2
A
A
λ 
 λ
Solución:  − , 1 − , λ 
2
2 

1 3 1 M 1
1 3 1 M



Gauss: a = 3.  0 2 3 M 2  = {E 3 = E 3 − E1 } =  0 2 3 M
1 1 1 M 1
0 − 2 0 M



x + z = 1
2 
2
: z = : x + = 1 : x =

3 
3
 3z = 2
1   x + 3y + z = 1
 
2  :  2 y + 3z = 2 : y = 0 :
0   − 2 y = 0
1
3
2
1
Solución:  , 0, 
3
3

1 1 1 M 1

 x + y + z = 1 z = λ x + y = 1 − λ
2−λ
λ
a = 1.  0 2 1 M 2  : 
→
:y=
= 1−
2
2
 2y = 2 − λ
 0 0 0 M 0   2y + z = 2


λ
 λ
1 − + y = 1 − λ : y = −
2
2

λ 
 λ
Solución:  − , 1 − , λ 
2 
 2
Junio 2007. Ejercicio 1A. (Puntuación máxima: 3 puntos)
Se considera el sistema lineal de ecuaciones dependiente del parámetro real a:
 x − 2y + z = 0

3x + 2 y − 2z = 3
2x + 2 y + az = 8

a) Discutir el sistema para los distintos valores de a.
b) Resolver el sistema para a = 4.
Solución.
a) El sistema está caracterizado por las matices:
1 −1 2 
1 − 2 1 0




*
A =  3 2 − 2
A =  3 2 − 2 3
2 2
2 2
a 
a 8 


A ⊂ A * ⇒ rg A ≤ rg A * ≤ 3
n=3
Si el determinante de A es distinto de cero, rg A = 3 = rg A* = n = 3, el sistema será compatible
determinado, pudiendo calcular la solución por el método de Cramer, por lo tanto se discute el tipo de
solución del sistema para los valores del parámetro que anulan el determinante de la matriz de
coeficientes.
25
1 −1 2
A = 3 2 − 2 = 8a + 14
2 2
a
A = 0 : 8a + 14 = 0
a=−
14
7
=−
8
4
Discusión.
7
; |A| ≠ 0, rg A = rg A* = n = 3. Sistema compatible determinado, La solución se
4
puede obtener mediante el método de Cramer.
2 
 1 −1


1 −1
7
Sí a = − ; A =  3 2
− 2  |A| = 0, rg A < 3.
= 5 ≠ 0 ; rg A = 2.
3 2
4
 2 2 − 7 4


1
0
1 − 2


1 −1
*
A = 3 2
− 2 3  rg A* ≥ 2. Los menores orlados al menor
, uno es el
3 2
 2 2 − 7 4 8


1 −1 0
Sí a ≠ −
i)
ii)
determinante de la matriz de coeficientes, que es cero y es otro es 3
2
3 = 46 ≠ 0
2
2
8
rg A = 3. rg A ≠ rg A , sistema incompatible.
*
*
 x − 2y + z = 0
a =4

b) Para a = 4: 3x + 2 y − 2z = 3 Sistema compatible determinado. A = 8 ⋅ 4 + 14 = 46
2 x + 2 y + 4 z = 8

0 −2
3
x=
Ax
A
=
8
2
2
1
1 0
−2
4
46
1
3 3 −2
=
1 −2 0
3
2
3
2 8 4
Az
2
46
46
= 1: y =
=
=
= 1: z =
=
46
46
46
A
A
2
8
46
Ay
=
46
=1
46
Septiembre 2007. Ejercicio 1B. (Puntuación máxima: 3 puntos)
Se considera el sistema lineal de ecuaciones, dependiente del parámetro real a:
 x + y + 2z = 2

− 2 x + 3 y + z = 1
− x + ay + 3z = 3

(a) Discutir el sistema para los distintos valores de a.
(b) Resolver el sistema para a = 2.
Solución.
Sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas que viene definido por las siguientes matrices:
a.
 1 1 2
 1 1 2 2




A = − 2 3 1
A* =  − 2 3 1 1  A ⊂ A* ⇒ rg A ≤ rg A ≤ 3
 −1 a 3
 −1 a 3 3 




Si |A| ≠ 0, el sistema es compatible determinado, por lo tanto, se discute el tipo de solución en
función de los valores de a que anulen el determinante de la matriz de coeficientes.
1 1 2
A = − 2 3 1 = 9 − 1 − 4a − (− 6 + −6 + a ) = 20 − 5a
−1 a 3
A = 0 : 20 − 5a = 0 : a = 4
Discusión.
i.
Si a ≠ 4. |A| ≠ 0. Sistema compatible determinado. La solución se puede obtener mediante el
método de Cramer.
26
 1 1 2


Si a = 4. A =  − 2 3 1  |A| = 0 ⇒ rg A < 3. Para estudiar si la matriz tiene rango 2, se
 −1 4 3


1 1
busca un menor de orden dos distinto de cero,
= 3 − (− 2) = 5 ≠ 0 ⇒ rg A = 2.
−2 3
ii.
rg A* ≥ 2. Hay que estudiar si la matriz ampliada tiene rango 3, para ello se estudian los
1 1
menores orlados al menor
. De los dos menores orlados, uno es el determinante de
−2 3
1
1 2
la matriz de coeficientes que es nulo, y el único que queda por estudiar es − 2 3 1 = 0 .
−1 4 3
*
rg A = 2.
rg A = rg A* = 2 < n = 3. Sistema compatible indeterminado
Otra forma de hacer este caso seria por Gauss.
 1 1 2 M 2
1 1 2 M 2
1 1 2 M 2

 E 2 = E 2 + 2 E 1  



−
2
3
1
M
1
=
0
5
5
M
5
=
{
E
=
E
−
E
}
=
=

 

 0 5 5 M 5
 
3
3
2
 − 1 4 3 M 3   E 3 = E 3 + E1   0 5 5 M 5 
 0 0 0 M 0






Sistema compatible indeterminado
b.
Para a = 2 el sistema es compatible determinado, según la discusión del apartado a, y por tanto se
resuelve por el método de Cramer.
x=
Ax
y=
Ay
z=
A
A
A = 20 − 5a = 20 − 5 ⋅ 2 = 10
Az
A
a =2
2 1 2
1
3 4 3
10
1
−2 1 1
1 3 1
x=
2 2
=
0
=0
10
y=
−1 3 3
10
1 2
−2 3 1
=
0
=0
10
z=
−1 4 3
10
Modelo 2006. 1A. (Puntuación máxima: 3 puntos)
Sea el sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro a
 x + y + (a + 1)z = 9

3x − 2 y + z = 20a


x + y + 2az = 9

a) Discutir el sistema para los diferentes valores del parámetro a.
b) Resolver el sistema en el caso de que tenga infinitas soluciones.
c) Resolver el sistema para a = 2.
Solución.
a.
El sistema se puede discutir de dos formas:
I.
Por rango de matrices.
II.
Por Gauss
I.
Por Rangos de matrices. El sistema viene definido por las matrices
 1 1 a + 1
1 1 a +1 9 



* 
A = 3 − 2
1 
A = 3 − 2
1
20a 
1 1
1 1
2a 
2a
9 


A ⊂ A * ⇒ rgA ≤ rgA * ≤ 3;
27
n=3
=
10
=1
10
En todo sistema con igual número de ecuaciones que de incógnitas, si el determinante de la
matriz de coeficiente (A) es distinto de cero el sistema es compatible determinado. Teniendo en cuenta lo
anterior se discute el sistema para los valores del parámetro que anulas el determinante de A.
1 1 a +1
1 = −4a + 1 + 3 ⋅ (a + 1) − [− 2(a + 1) + 6a + 1]
2a
A = 3 −2
1 1
|A| = −5a + 5 : |A| = 0 : a = 1
Discusión:
1. Si a ≠ 1 ⇒ A = 0. rgA = rgA * = n = 3. Sistema compatible determinado.
2.
Si a = +1
1

A* = 3
1

1 1 2


1 1
A =  3 - 2 1  : A = 0 ⇒ rgA < 3 ⋅
≠ 0 rg A = 2
3 −2
1 1 2


1 2 9

1 1
− 2 1 20  el único menor de orden 3 orlado a
que queda por estudiar es:
3 −2

1 2 9
1 1
9
3 − 2 20 = 0 ⇒ rg A * = 2
1 1
9
rg A = rg A * = 2 < n = 3
Sistema compatible indeterminado.
El sistema equivalente está formado por dos ecuaciones, que son las ecuaciones que contienen a
los términos del menor de orden dos (1ª y 2ª ecuación).
 x + y + 2z = 9
S′ ≡ 
3x − 2 y + z = 20
II.
Por Gauss:
2a M 9 
x + y + (a + 1)z = 9  1 1 a + 1 M 9  E ↔ E  1 1

 1 3


3
x
−
2
y
+
z
=
20
a
:
3
−
2
1
M
20
a
=
3
−
2
1 M 20a  =




1 1 a +1 M 9 
 x + y + 2az = 9  1 1
2a M 9 




2a M
9
1 1



=
 0 − 5 1 − 6a M 20a − 27 
E 2 = E 2 −3E1


0 1− a M
0

E = E −E  0
3
3
1
1 − a = 0; a = 1
Discusión:
1.
2.
b.
Si a ≠ 1. Sistema compatible determinado.
2 M 9 
1 1


Si a = 1.  0 − 5 − 5 M − 7  . Sistema compatible indeterminado.
0 0
0 M 0 

Dependiendo del método aplicando en el apartado a
I.
Por Rangos de matrices.
 x + y + 2z = 9 
S′ : 
:
3x − 2 y + z = 20
z = cte
→
z=λ
28
 x + y = 9 − 2λ

3x − 2 y = 20 − λ
Aplicando el método de Cramer, se calculan x e y en función de λ:
9 − 2λ 1
x=
20 − λ − 2 − 18 + 4λ − (20 − λ ) − 38 + 5λ 38
=
=
=
−λ
1 1
5
−5
−5
3 −2
1 9 − 2λ
y=
II.
3 20 − λ 20 − λ − (27 − 6λ ) − 7 + 5λ 7
=
=
= −λ
−5
−5
−5
5
7
 38

SOLUCIÓN :  − λ, − λ, λ  ∀ λ ∈ R
5
 5

Gauss:
2 M 9 
1 1


0 − 5 − 5 M − 7
0 0
0 M 0 

De la 2ª ecuación se despeja y;
x + y + 2z = 9 c = cte x + y = 9 − 2λ
; → 

z = λ  5 y = 7 − 5λ
 5+5 = 7
y=
7
−λ
5
y se sustituye en la 1ª ecuación para despejar x.
7
38
x + − λ = 9 − 2λ ; x =
−λ
5
5
7
 38

SOLUCIÓN :  − λ, − λ, λ  ∀ λ ∈ R
5
5


c.
Dependiendo del método empleado en a:
I. Por Rangos de matrices.
a = 2. Sistema compatible determinado, la solución se obtiene por el método de Cramer.
 x + y + 3z = 9

a = 2 : 3x - 2y + z = 40
A = −5 ⋅ 2 + 5 = −5
 x + y + 4z = 9

9
1
3
1
40 − 2 1
x=
9
1
−5
4
9
3
1
58
;
5
− 13
;
−5
5
 58 − 13 
SOLUCIÓN :  ,
,0 
5
 5

y=
1
9
4
=
z=
II. Gauss:
Para a = 2, se sustituye en el sistema triangula rizado.
4 M 9
x + y + 4z = 9 
1 1



0
−
5
−
11
M
13
:
−
5y − 11z = 13 : z = 0


0 0
− 1 M 0 
− z = 0 

Resolviendo por sustitución
x+y=9 
13
58
; x=
: y = −
− 5y = 13
5
5
 58 − 13 
SOLUCIÓN :  ,
,0 
5
 5

29
9
3 − 2 40
3 40 1
=
1
1
1
−5
9
=0
Septiembre 2005. Ejercicio 1B. (Puntuación máxima: 3 puntos)
Se considera el siguiente sistema lineal de ecuaciones que depende del parámetro real p
 x+y+z = 0

− x + 2 y + pz = −3
 x − 2y − z = p

(a) Discutir el sistema según los distintos valores de p.
(b) Resolver el sistema para p = 2.
Solución.
a.
El sistema viene definido por las matrices:
1
1
1
1
0 
1
1




A =  −1 2
p  A* =  − 1 2
p − 3  A ⊂ A* ⇒ rg A ≤ rg A* ≤ 3 = n (número de
 1 − 2 − 1
 1 − 2 −1 p 




incógnitas)
Sí el A ≠ 0 , el sistema es compatible determinado, por lo tanto, se discute el sistema para los
valores del parámetro p que anulan el A .
1
1
1
A = −1 2
p = 3p − 3 = 0 : p = 1
1 − 2 −1
Discusión:
i.
Si p ≠ 1, A ≠ 0 y por tanto rg A = rg A* = n = 3. Sistema compatible determinado. La
ii.
solución se puede obtener por el método de Cramer.
1
1
1


Si p = 1. A =  − 1 2
1  , A = 0 , rg A < 3. Se busca un menor de orden dos distinto
 1 − 2 − 1


1 1
de cero para comprobar si tiene rango 2.
= 3 ≠ 0 , rg A = 2.
−1 2
1
1
0 
1


A* =  − 1 2
1 − 3  , rg A* > 2. Hay que estudiar si puede tener rango tres. Se
 1 − 2 −1 1 


estudian los menores orlados al menor de orden 2 anterior. De los dos posible, uno es el
determinante de la matriz de coeficientes, que es cero, el otro es el formado por la 1ª, 2ª y 4ª
1
1
0
columna. − 1
1
2
−2
− 3 = −6 ≠ 0 , rg A*= 3.
1
rg A ≠ rg A* ⇒ Sistema incompatible.
b.
 x+y+z = 0

 − x + 2 y + 2 z = −3 .
 x − 2y − z = 2

Según la discusión del apartado a, el sistema es compatible determinado y se resuelve por el
método de Cramer.
30
A = 3p − 3 = 3 ⋅ 2 − 3 = 3
p=2
x=
Ax
A
=
0
1
1
1
−3
2
2
−1 − 3
2
− 2 −1
3
=
0
Ay
1
3
= 1: y =
=
3
A
2
1
1
1
1
2
−1
2
−3
−2
2
−1
3
=
Az
1
0
= 0:z =
=
3
A
3
=
−3
= −1 :
3
Junio 2005. 1A. (puntuación máxima: 3 puntos).
Se considera el siguiente sistema lineal de ecuaciones, dependiente, del parámetro real k
 2 x − 3y + z = 0

 x − ky − 3z = 0
5x + 2 y − z = 0

Se pide.
(a) Discutir el sistema para los distintos valores de k.
(b) Resolver el sistema en los casos en los que sea posible.
Solución.
a.
2 − 3 1 


A =  1 − k − 3
 5 2 − 1


Sistema homogéneo, se caracteriza por que la matriz A y la A* son iguales (se diferencian en una
columna de ceros) y por tanto también son iguales sus rangos, por lo que siempre son compatibles. Si
A ≠ 0 , el sistema es compatible determinado. Teniendo en cuanta lo anterior, el sistema se discute en
función de los valores del parámetro que anular el A .
2 −3 1
det A = 1 − k − 3 = 7k + 56 = 0 : k = −8
5 2 −1
Discusión:
i.
Si k ≠ 8. A ≠ 0 ⇒ rg A = rg A* = n = 3. Sistema compatible determinado. Solución trivial
ii.
b.
•
•
(x = y = z = 0).
2 − 3 1 


Si k = 8.  1 8
3  A = 0 rg A < 3
 5 2 − 1


Sistema compatible indeterminado.
2 −3
1
8
= 10 ≠ 0 rg A = rg A* = 2 < n = 3 .
Si k ≠ 8, sistema compatible determinado. Solución trivial. x = y = z = 0
Si k = 8, sistema compatible indeterminado de rango 2, por lo tanto solo hay dos ecuaciones
linealmente independientes. Para asegurarse que la ecuaciones elegidas son las linealmente
independientes, se escogen la ecuaciones que contienen a los términos del menor de orden 2
distinto de cero.
2 x − 3 y + z = 0

 x − 8y − 3z = 0
Para resolver el sistema se transforma una variable en parámetro (x = λ) y se resuelven
en función de λ.
− 2λ 1
− 3 − 2λ
A
Az
− λ − 3 7λ
8
−λ
y
− 3y + z = −2λ
19λ
: y=
=
=
= 7λ z =
=
=
= 19λ

1
1
A
−3 1
A
−3 1
 8y − 3z = −λ
8
−3
Solución: (λ, 7λ, 19λ ) ∀ λ ∈ R
31
8
−3
Septiembre 2004. Ejercicio 1A. (Puntuación máxima: 3 puntos)
Se considera el sistema lineal de ecuaciones dependientes del parámetro real m:
 mx + y − 3z = 5

 − x + y + z = −4
x + my − mz = 1

(a) Discútase el sistema según los diferentes valores del parámetro m.
(b) Resuélvase el sistema para m = 2.
Solución.
a.
Al sistema lo describen dos matrices, la matriz de coeficientes(A), y la matriz ampliada(A’)
 m 1 −3 
 m 1 −3 5 




A =  −1 1
1 
A' =  − 1 1
1 − 4  A ⊂ A’ ⇒ rg A ≤ rg A’ ≤ n = 3
 1 m − m
 1 m −m 1 




En todo sistema con igual número de ecuaciones que de incógnitas, sí el determinante de la
matriz de coeficientes es distinto de cero, el sistema es compatible determinado y se puede resolver por el
método de Cramer. Teniendo en cuenta lo anterior, el sistema se discute para los valores del parámetro
que anulan el determinante de la matriz de coeficientes.
−3
1 = − m ² + 1 + 3m − (− 3 + m ² + m ) = −2m ² + 2m + 4 = −2(m + 1)(m − 2)
m 1
A = −1 1
m −m
1
m + 1 = 0 : m = −1
A = 0 ⇔ −2(m + 1)(m − 2 ) = 0 : 
 m − 2 = 0:m = 2
Discusión
i.
Sí m ≠ −1, 2. A ≠ 0 rg A = rg A’ = n = 3. Sistema compatible determinado(solución
única).
 − x + y − 3z = 5

ii.
Si m = −1: − x + y + z = −4 . Es estudio se puede hacer de dos formas:
 x − y+z =1

- Mediante los rangos de A y A’, siguiendo el criterio de Rouché.
 − 1 1 − 3


1 1
A =  −1 1
1  : A = 0 rg A < 3 ;
= 2 ≠ 0. rg A = 2
1 1
 1 −1 1 


 −1 1 − 3 5 


1 1
A' =  − 1 1
1 − 4  Los menores orlados a
son, el determinante de la matriz de coeficiente,
−1 1
 1 −1 1

1 

1
que es nulo para m = −1, y el menor formado por las columnas 2ª, 3ª y 4ª, 1
−1
−3
1
1
5
− 4 = 6 ≠ 0 que por
1
no ser nulo indica que el rg A’ es tres. rg A = 2 ≠ rg A’ sistema incompatible
-
Gauss
 −1 1 − 3 M 5 
 −1 1 − 3 M 5 




−
1
1
1
M
−
4





→

 E 2 = E 2 − E1  0 0 4 M − 9 
 1 − 1 1 M 1  E3 = E 3 + E1  0 0 − 2 M 6 




Sistema incompatible, la 2ª y 3ª ecuación se han convertido en incongruentes.
iii.
 2 x + y − 3z = 5

Sí m = 2 : − x + y + z = −4 . Es estudio se puede hacer de dos formas también:
 x + 2 y − 2z = 1

32
-
2 1

A =  −1 1
1 2

2 1

A' =  − 1 1
1 2

Mediante los rangos de A y A’, siguiendo el criterio de Rouché.
− 3

2 1
1  : A = 0 rg A < 3 ;
= 2 ≠ 0. rg A = 2
-1 1
− 2 
−3 5 

2 1
1 − 4  Los menores orlados a
son, el determinante de la matriz de coeficiente,
−
1 1

−2 1 
2 1 5
que es nulo para m = −1, y el menor formado por las columnas 1ª, 2ª y 4ª, − 1 1 − 4 = 0 que por ser
1
2
1
nulo indica que el rg A’ es dos. rg A = 2 = rg A’ < n = 3, sistema compatible indeterminado con un grado
de indeterminación.
(Grado de indeterminación = n(incógnitas) − rg A, indica el número de parámetro necesarios para
resolver el sistema)
Teniendo en cuenta que el rg A = 2, el sistema tiene dos ecuaciones linealmente independientes,
que son las que forman el sistema equivalente que permite calcular las infinitas soluciones.
Las ecuaciones linealmente independientes son las que contienen a los términos del menor de
rango dos distinto de cero:
 2x + y − 3z = 5
S' : 
 − x + y + z = −4
- Gauss.
 2 1 −3 M 5 
 1 2 −2



→ − 1 1 1
 − 1 1 1 M − 4  E↔
E2
1
 1 2 −2 M 1 
 2 1 −3



1

  → 0
E3 = E3 + E 2
0

M 1 
1 2 − 2 M 1 



M − 4  

→ 0 3 − 1 M − 3  →
E 2 = E 2 + E1 
M 5  E3 = E3 − 2 E1  0 − 3 1 M 3 
2 −2 M 1 

3 − 1 M − 3
0 0 M 0 
Sistema compatible indeterminado con un grado de indeterminación.
(Grado de indeterminación = n(incógnitas) − nº de ecuaciones, indica el número de parámetro necesarios
para resolver el sistema)
b.
-
Rouché: Se resuelve empleando el sistema equivalente
 2x + y − 3z = 5
S' : 
 − x + y + z = −4
Tomando la z como constante y transformándola en un parámetro(z = λ):
 2x + y = 5 + 3λ
S' : 
 − x + y = −4 − λ
se obtiene un sistema con igual número de ecuaciones que de incógnita que se resuelve por el método de
Cramer.
5 + 3λ 1
2 5 + 3λ
x=
−4−λ 1
2
1
=
9 + 4λ
4
= 3+ λ
3
3
x=
−1 1
−1 − 4 − λ
2
1
=
−3+λ
1
= −1 + λ
3
3
−1 1
4
1


S =  3 + λ, − 1 + λ , λ  ∀ λ ∈ R
3
3


-
Gauss: A partir de la matriz triangularizada se obtiene el sistema asociado
33
1 2 − 2 M 1 

  x + 2 y − 2z = 1
 0 3 − 1 M − 3 → 
 0 0 0 M 0   3y − z = −3


Tomando la z como constante y transformándola en un parámetro(z = λ):
 x + 2 y = 1 + 2λ

 3 y = −3 + λ
despejando y de la segunda ecuación y sustituyendo en la primera se resuelve el sistema.
x = 3 + 4 λ
3

λ
y
=
−
1
+
∀ λ∈R

3
 z=λ

Modelo 2004. 1A. (Puntuación máxima: 3 puntos)
Se considera el siguiente sistema lineal de ecuaciones. Dependiente del parámetro m:
2x + y − z = 2 

x + y + 2z = 5 
− x + (m + 2)z = 3
a) Discutir el sistema para los distintos valores de m.
b) Resolver el sistema para m = 3.
Solución.
a.
En todo sistema con igual número de ecuaciones que de incógnitas si el determinante de la
matriz de coeficientes es distinto de cero, el sistema es compatible determinando, pudiéndose obtener la
solución, por el método de Cramer. Teniendo en cuenta lo anterior , se discute el sistema para los valores
del parámetro m que anulan el determinante de la matriz de coeficientes.
2 1
−1
det A = A = 1
1
2
= 2m + 4 − 2 + 0 − (1 + 0 + m + 2) = m − 1.
−1 0 m + 2
A = 0;
Discusión;
I)
m − 1 = 0;
m =1
Si m ≠ 1 ⇒ A ≠ 0 sistema compatible determinado.
 2x + y − z = 2

Si m = 1  x + y + 2z = 5
− x + 3z = 3

Aplicando el método de Gauss:
2
5 
2
5 
 2 1 −1 2
 1 1 2 5
1 1
1 1










→ 2 1 − 1 2  E=


→ 0 − 1 − 5 − 8  E=


→ 0 − 1 − 5 − 8 
 1 1 2 5  F
↔
F
E
−
2
E
E
+
E
3
3
2
 − 1 0 3 3  1 2  − 1 0 3 3  E 32 = E 32 + E1  0 1
0 0
5
8 
0
0 






II)
 x + y + 2z = 5
S1 : 
y + 5z = 8

b.
Sistema compatible indeterminado.
Para m = 3; Sistema compatible determinado.
Método de Cramer:
x=
Ax
A
y=
Ay
A
A = m −1 = 3 −1 = 2
34
z=
Az
A
x=
2 1 −1
2
5 1
3 0
1 5
-1 3
2
2
5
=
−6
= −3;
2
y=
2 −1
2
2
5
2
=
16
= 8;
2
z=
1 2
1 1 5
−1 0 3
2
=
0
=0
2
Junio 2001. Ejercicio 1A. (Puntuación máxima: 3 puntos)
Considérese el sistema de ecuaciones dependiente del parámetro real a:
ax + y + z = 1 

x + ay + z = a 
x + y + az = a 2 
(a) Discútase el sistema según los valores da a
(b) Resuélvase el sistema para a = −1.
Solución.
a)
Sistema de 3 ecuaciones con tu incógnita en función de un parámetro “a”. Para estudiar un
sistema con igual número de ecuaciones que de incógnitas en función de un parámetro hay que saber que
valores del parámetro anulan el determinante de la matriz de coeficiente.
a 1 1
 ax + y + z = 1



A = 1 a 1
 x + ay + z = a
1 1 a 
x + y + az = a 2



a 1 1
det A = 1 a 1 = a 3 + 1 + 1 − a − a − a = a 3 − 3a + 2 = (a − 1)2 ·(a + 2)
1 1 a
Discusión
I)
II)
Si a ≠ 11 − 2 ⇒ A ≠ 0 ⇒ S.C.D. solución única, que se puede obtener por el
método de CRAMER.
x + y + z = 1

Si a = 1. S ≡ x + y + z = 1 sistema equivalente a : S' ≡ {x + y + z = 1 S.C.I con dos
x + y + z = 1

grados de indeterminación.
− 2 x + y + z = 1

III)
Si a = −2. S ≡ x − 2 y + z = −2
 x + y − 2z = 4

Este sistema se puede estudiar por dos métodos.
a1) Gauss: Se triangularía la matriz asociada al sistema
1 M 1 
1 − 2M 4 
− 2 1
 1
 1 1 − 2M 4 



 E 2 = E 2 − E 1  

 1 − 2 1 M − 2  = {E1 ↔ E 3 } = 1 − 2 1 M − 2  = 
 =  0 − 3 3 M − 6 =
E = E 3 + 2E 1  
 1
− 2 1

1 − 2 M 4 
1 M 1   3


 0 3 − 3M 9 
1 1 − 2M 4 


= {E 3 = E 3 + E 2 } =  0 − 3 3 M − 6 
0 0
0 M 3 

La tercera ecuación se convierte en una incongruencia, por lo que el sistema es incompatible
35
a2) Estudiando los rangos de las matrices que definen el sistema.
1 
1
1 
− 2 1
− 2 1




A =  1 − 2 1  A' =  1 − 2 1 − 2 
 1
 1
1 − 2 
1 − 2 4 


−2 1
rg A:
= 3 ≠ 0 ⇒ rg A ≥ 2 y teniendo en cuenta que el determinante de A es nulo para a = −2
1 −2
rg A = 2
−2
1
≠ 0 , el rango de la ampliada será tres si alguno de los menores
1 −2
orlados al anterior es distinto de cero, en caso contrario será dos. Los menores orlados son el determinante
−1 1
1
rg A’: Tomando el menor
− 2 − 2 = 3 ≠ 0 , por tanto
de la matriz de coeficientes, que es nulo para a = −2, y 1
1
1
4
rg A’ = 3
Según el teorema de Rouché, el sistema es incompatible por tener los rangos de sus matrices
diferentes.
− x + y + z = 1

b)
S :  x − y + z = −1 dos métodos:
 x + y−z =1

Ax
Ay
Az
b1 ) Cramer: x =
y=
z=
A
A
A
A = (a − 1)2 ·(a + 2) = (− 1 − 1)2 ·(− 1 + 2) = 4
1
x=
1
1
−1 −1 1
1 1 −1
4
=
0
= 0.
4
y=
−1
1
1
1
−1 1
1 −1
1
=
4
Solución (0, 1, 0)
4
=1
4
z=
−1
1
1
1
−1 −1
1 1
b2 )Gauss:
 −1 1 1 M 1 
 −1 1 1 1 

 E 2 = E 2 + E 1  

 1 − 1 1 M − 1 = 
 =  0 0 2 0
 1 1 − 1 M 1   E 3 = E 3 + E1   0 2 0 2 




matriz que se asocia al sistema:
− x + y + z + 1 − x + y + z + 1
 

2z = 0  : 
z=0
 : −x + 1 + 0 = 1 : x = 0



2y = 2  
y =1

Solución (0, 1, 0)
36
4
1
=
0
=0
4