El problema de las tres lentes

ENSEÑANZA
REVISTA MEXICANA
DE FíSICA.H
(3) 291-298
JU1\'IO 2001
El problema de las tres lentes
Kun Bernardo Wolf y Guillermo Krtitzsch
Celllro de Ciencias Físicas, Universidad Nacional AWul/ol1la de México
Apartado postal 48.3, 62251 Cuemavaca, Mor., Ml'xico
R.ecibido el 17 de noviembre de 2000; ac.:eptado el 15 de enero de 2001
¿Con cuántas lentes podemos fabricar "todos" los sistemas ópticos? En el régimen paraxial (rayos de ángulo pequeño y lentes delgadas), el
problema se reduce a uno soluble con matrices y algún ingenio. Se ha concluido en la referencia estándard [E.C.G. Sudarshan, N. ~fukunda
and R. Simon, Oplica Aeta 32 (1985) 855] que el mínimo son tres lentes. Nuestro análisis es sencillo y revela mejor la estructura de las
fronteras entre distintas configuraciones 6pticas. Notamos que para formar imágenes equivalentes se requieren sólo dos lentes. Decimos qué
hacer cuando únicamente haya mano lentes de unas cuantas dislancias fncales.
Óptica geométrica
IJl'scriplvres:
\Vith huw many Icns.es can we build "all" opeical systems? In (he p.lraxial régimc (rays of small angles and thin lenses). lhe problem is
reduc.:ed(o one solvable with matrices and sorne wil. It has been concluded in the slandard rcference IE.C.G. Sudarshan. N. Mukunda and R.
Simon, Oplica ACfa32 (1985) 855} that the minimum is three lenses. Our analysis is simple and revcals bcner the structure of the boundaries
hetwcen different optical configurations. \Ve note (hallO form equivalent images only two lenses are required. \Ve say what to do when we
only have al hand lenses of a few focal di~tances.
Keywords:
Geometrical oplics
PAes: 02.IO.Gd: 42.79.Bh
1. Elcmcntos y hcrramicntas
Todo taller
de óptica
tendrá
un inventario
de lentes,
pero
::::::
bri.l preguntado esto al ver en el laboratorio una colección pequeña o incompleta de ellas. La solución a este problema fue
dada por Sudarshan, Mukunda y Simon en 1985 [1] para el
régimen paraxial en dos dimensiones
(véase también los elementos
de solución
de Arsenault
y !\lacukow
[2), que son
distintos). Mediante análisis de matrices de 2 x 2 se llega a
p
I~
¿cuál es el número mínimo de lentes necesario para fabricar cualquier sistema óptico? !vlás de un estudiante se ha-
(a)
(h)
1. a) Rayos que cruzan una pantalla quedan determina.
dos por su posición '1 y su ángulo (momento) !J. b) Espacio fase.
donde a cada rayo corresponde un punto. En el régimen paraxial
FIGURA
(q,l') E ll'.
la conclusión que el número mínimo de lentes es tres. Por
otro lado, en los últimos años. las aplicaciones
ópticas de la
transformada
fraccional
de rourier
al procesamiento
q
parale-
lo de señales (3), han enfocado interés en estos sistemas y
en su realización por diferentes configuraciones
de lentes. La
meta de este artículo es ordenar y pulir la solución completa
del problema con atención especial a los transformadores
de
Fourier; el objetivo
lector algunos
amplio
aspectos
es descubrir
matemáticos
Los rayos de la óptica
geométrica
amablemente
q'
p
para el
de la óptica.
se caracterizan,
z
(a)
como
está indicado en la Fig. 1. por su intersección
q con una pa~talla plana y sus ángulos fJ con la normal en ese punto. I~I
llamado régime" paraxial (caca del eje) simplifica la parte
angular considerando
sólo la aproximación
lineal de las funciones trigonométricas
y extrapolándola
a la recta. real. ~O11l0
mostramos en la Fig. 2. el efecto de un desplazamiento
( vuclo libre") a lo largo del eje por;; está dado por
(b)
2. a) Ruyos bajo desplazamiento de la pantalla q ("vuelo
libre'") a '1' por una distancia z 2: O. b) Sesgo vcrticnl correspon.
diente del espacio fase en la pnntalla: el ángulo de sesgo es
z.
FIGURA
El vector ]J se conoce como el momento óptico; es el
análogo del momento mecánico en la formulación
hamiltoniana de ambos
modelos
[.1). El vector compuesto
(~)
es
elemento genérico del espacio fase. En el mundo plano de
nuestros diagramas. la dimensión del espacio fase (y de las
matrices) es :tos; en el espacio real. es cu<¡lro.
KURT BERNARDO WOLF Y GUILLERMO
292
q q'
q
g
-~
-~
-~
z
p
-~-~
-~-
en el que una de sus lentes está en contacto con la pantalla.
Lejos de ser un problema trivial, la agregació~ de elementos
ópticos revela una estructura sui gelleris de regIOnes con fronteras abiertas y cerradas en a. b, c. En la Seco 6 comentamos
algunas referencias de valor histórico y dejamos el pro~l~ma
en más dimensiones (que podría fascinar a un matematlco)
abierto.
2. El espacio abe de los sistemas ópticos
(b)
(a)
KROTZSCll
FIGURA 3. a) Acción de una lente delgada (convexa) sobre los rayos referidos a dos pantallas (de entrada q y salida (/) coinci~c~tcs;
la distancia focal es f ::= l/g. b) Sesgo horizontal del espacIo fase;
el ángulo de sesgo es"'" g.
L.I .¡cción de una lente delgada de potencia gaussiana g,
como se muestra en la Pig. 3, es
Cuando a lo largo del eje óptico colocamos (de izquierda a
derecha como siempre viaja la luz en el mundo paraxial) dos
subsistemas MI y M2, las transformaciones del espacio fase (3) se multiplicarán de la manera siguiente:
[J.-J(MIP'1(M,)]
: (~)
= .\o1(M¡)
= .\o1(M¡)
=
_ M-I
,
La distancia/ocal f
1/9 indica dónde se cruzan rayos originalmente paralelos. A diferencia de los espacios vacíos (1)
que no pueden ser negativos. las lentes pueden ser convexas
(9 > O). cóncavas (9 < O). o triviales (y = O).
Lentes y espacios vacíos son los elementos básicos con
los que contamos para construir sistemas ópticos paraxialcs,
cuya acción sobre el espacio fase será lineal, y genéricamente
de la forma
[M(M,)
dp - b'l ),
-cp + a'l
ad _ cb
=
J.
(3)
Adelantamos que el determinante de estas matrices es la unidad. porque lo es para los elementos ópticos (1) Y(2). De esta
manera, asociando sistemas ópticos .;\If(M) con matrices M
de 2 x 2, resolvemos el problema de las tres lentes mediante
el análisis matemático de matrices de 2 x 2 [5}.
En el caso real, cuando p y q son 2-vectores en el plano
de la pantalla (y el espacio fase 4-dimensional), los sistemas
ópticos descritos por (3) son aquellos compuestos por lentes con superficies esféricas (delgadas) alineadas sobre un eje
óptico z (sistemas axial mente simétricos). En la Seco 2 precisaremos la relación entre la concatenación de los elementos
ópticos y la multiplicación de sus matrices. Allí también presentamos los transformadores fraccionales de Fourier y algunas de sus propiedades. Finalmente, definimos el espacio abe
de sistemas ópticos que, aunque obvio, los autores no han
encontrado en la literatura.
En las Secs. 3, 4 Y 5 determinamos las regiones del espacio abe que corresponden a sistemas ópticos realizables con
una, dos y tres lentes, respectivamente. La restricción fundamental consiste en que los espacios vacíos z solamente puedan tener longitud positiva z > O; el Iímitc z = Ocorresponde a un cambio de configuración. o a un sistema restringido
G)]
(~)]
1')
(,\o1(M¡) :
,\o1(M¡) : '1
(Ji)
=
l\1.~
I M~I
'1
=
(MI M,)-I
= ,\o1(MIl\h)
=(
1
: [M2
:
e;)
: (~).
(4)
Como vemos, para que la concatenación de elementos
ópticos corresponda con la multiplicación de sus matrices, la
acción genérica (3) de ,\01(M) requiere que sea la inversa de
la matriz 1\'1 la que actúe sobre las coordenadas del espacio
fase de los rayos. Así, con la ventaja de respetar el orden de
los elementos, trabajaremos en adelante con las matrices M.
Del desarrollo (4) también sigue que ,\01(1)
1 es el
elemento unidad. y que la asociatividad de tres o más factores vale. Ahora notemos que los elementos ópticos, desplazamientos y lentes (1 )-(2), están asociados con matrices de determinante unidad, llamadas unimodulares. Como
det(MI M,)
det MI det M" la matriz de cualquier sistema óptico compuesto también tendrá determinante unidad.
Esto a su vez implica que el inverso de cualquier sistema (pa.
.-axial) exisle. y es [,\o1(M)¡-r
,\o1(M-I). El conjunto de
matrices que representan a estos sistemas cumplen en consccuencia los axiomas de un grupo. El conjunto de matrices (3)
pertenecen al grupo de transformaciones lineales, unimodu.
lares y reales de un espacio de 2 dimensiones, que se indica
por SL(2, iR). La condición de unimodularicdad implica que
en las Figs. 2 y 3 anteriores (espacio óptico de dos dimensiones y espacio fase también de dos dimensiones), el arca del
espacio fase de rayos, dpdr¡, se conserve bajo la acción de
todo sistema óptico. Esta ley de conservación se asemeja al
principio de Lavoisier o al de Liouville: la luz (los rayos de la
óptica geométrica) no se crea ni se destruye, sólo se transfor-
R,., ..Mex. Frs. 47 (3) (2001) 291-298
=
=
=
EL PROBLEMA DE LAS TRES LENTES
q
q'
293
q
a
1
'"
~
,,1
z
p
1
-~1
'"
I
(a)
(b)
FIGURA 4. a) Sistema DLD que rcaliza las transformadas fmecio.
naJes de Fourier con potencias O :5 (l < 2. b) ROlación del espacio
fase de rayos por un ángulo (1r j2)ct hajo este sistema ()ptico.
ma. Es decir, el espacio fase de rayos se comporta como un
fluido incompresible. Comentaremos más sobre m;:ísdimensiones en la sección de conclusiones.
Un conjunto distinguido de sistemas ópticos. ilustrado en
la Fig. 4, se logra con una lente equidistante entre dos pantallas. Cambiando la distancia a las pantallas, como veremos
más adelante. recorreremos (parte de) el círculo de los transformadores !racciOlw/es de Fourier. Genéricamente, de potencia (l son
Fa
('Os
= ,\1
:"
.
(
2
sen
"2
cas
- Sl'U -O
~QJ'
E !JImod 4.
(5 )
"
Su acción sobre el espacio fase (3) es hacerlo rotar rígidamente alrededor del origen por un :íngulo (,,/2)0 contrario
a las manecillas del reloj. como se ve en la figura. Cuando
(l
1, la transformación es F: (p, '1) -'1, p). El reemplazo de la posición por momento y del momento por (menos)
posición, es la muy conocida acción de la transformada ¡megral de Fourier sobre las funciones de onda de la I11cc.ínica
cuántica y de la óptica ondulatoria. El conjunto de matrices (5) forma el subgrupo de rotaciones 80(2) e 8L(2,!JI)
porque su producto es :F0' :F°2 = ;:°1 +°2 módulo 4.
Ahora usaremos los tres parámetros independientes ll,b,r,
de una matriz unimodular M ==
=(
e
(ab)
=
=
=
Las transformadas fraccionales de Fourier (5) evitan la singularidad del plano fl
O porque sobre su círculo se cumple
b = -l/e
= 1 Y d = O. Los planos a = O Y a = 1 así como
b
O Y e := O serán referencias útiles corno fronteras entre regiones de realizabilidad por sistemas de 1, 2 Y 3 lentes,
corno ahora procederemos a mostrar.
=
=
Q
~l
=
FIGURA 5. El espacio (lOe de sistemas ópticos parax:iales. Es el
espacio R3 con el plano a := O excluido. Cada punto correspon.
de a una transformación distinta sobre el espacio fase. y a cualquier
configurnción de lentes que la logre. La transformación unidad (sistema trivial) está en el PUnlO (a
1, b
O, e
O) que tomamos
por origen de los ejes. Sobre el eje -e marcamos los vuelos lihres
(positivos). y las lentes sohre el eje b. Marcamos también el círculo
de transformadores fraccionales de Fourier. que se encuentran en el
plano ¡, = -c entre tl = :!:l; este círculo cruza de manera conlínua
el plano singular (l = O.
d
..
como ejes cartesIa-
nos de un espacio :R3 que representamos con el "cubo" de
la Fig. 5, donde cada punto (a, b, e) E !JI3corresponde a un
sistema óptico paraxial. El sistema unidad M
1 está en el
origen de coordenadas (a = 1, b = O, e = O). Podemos pensar en e como el eje de desplazamientos (O). marcando los
elementos positivos (1) que son naturales en el laboratorio:
también marcamos el eje b de las lentes (L). El eje (l es el
factor de magnificación de la imagen, que puede ser positivo
o negativo -pero 110 cero-. El plano a := O debe ser removido de ese espacio R3 porque allí la correspondencia entre
puntos y sistemas ópticos es inválida: como debe cumplirse
be := -1 por la condición de unimodulariedad, la segunda
coordenada del plano que excluimos de la figura se vuelve el
cuarto parámetro d. que ahora es independiente de f) := -l/c.
3, Configuraciones de una lente
Comenzaremos considerando la configuración DLO, dond~
una lente de potencia gaussiana 9 E 3~ está entre dos espacios vacíos no-negativos =) 2: O Y Z2 2: O. El sistema es
!/)
1
;\1 (
1
-Z2
.'i
)
1 - Z,.'i .
(6)
Entre los tres parámetros ave genéricos y los tres parámetros libres del sistema DLD. ZI' g. Z2 podemos despejar las
siguentcs relaciones:
b
=
= g,
y sus inversas.
I-d
ZI
a-be-l
:= -b- :=
av
!I
= iJ,
1- a
b
(8)
No todos los sistemas ópticos son realizables en configuración DLO; por ejemplo, si quisiéramos realizar el sistema
,\1
GD
en esta configuración, la pri,mera de las Ecs. (8)
nos informaría que zl == -1.10 cual esta fuera del rango per-
Re\'. Mex. Fís. 47 (3) (200!) 291-298
KURT BERNARDO WOLF y GUILLERMO
294
KROTZSCIl
con factor de magnificación
{/
Las demás caras son abicl1as.
(l.
Las regiones DLD cóncavas y convexas S0." .disjuntas, y. :c
tocan sólo a través de la arista de lentes tnvlales. Su unJon
define la región de sistemas realizables con una lente ..
El círculo de transformadas
fraccionales
de Founcr (5)
marcado en la Fig. 5 está parcialmente
contenido en la región
DLD-convcxa de la Fig. 6. Como es fácil convencerse de (6)
v la Pi2. 4, con una lente convexa
j"ormad"'-orcs :F0 con potencia
Casos especiales
O
se pueden
realizar
lrans-
< n < 2 -pero no más-o
de la configuración
DLD son la DL (vista
=
O. que cicrra la cara (l = 1 de la región de
lIna lenle). y la LD, donde",
= O Y d = 1, de modo que
antes para
Regionc~ del c~pacio (liJe de si~tell1as óptico~ que P~ll;den ser realizada con una lente en (.'onfiguracilm DL[): la reglón
superior con un;:1lente cóncava y la inferior con ~na lenle COllvexa.
Estas regiones incluyen las líneas de len!es L (cJe b). ue despla,:amienw posiLivo D (semieje -e), y de transformadorc~ uc Foufler
con potencia O ::; n < 2.
FIGURA 6.
(l
=: 1 + be con e < O. Ésta es una superficie reglada generada por Iínc3s p3r~clas 31 plano (kl) que cruzan el eje e con
úngulo aret an e; como esperado. esta superficie
da en la unión de las regiones DLD.
4. Configuraciones
Con
mitido. Por ello. analizaremos
ahora las Ecs. (7) para determinar la región del espacio abe que .'11' está permitida para esta configuración.
Hay dos casos distintos a considerar: lentes
cóncavas y lentes convexas.
= [}
El caso de una lente cóncava b
< O es sencillo porque - Y=:2 2: () implica (1 2: 1, Y en consecuencia
(' ~ O. Est.l
región es el oelante del espacio mostrado en la parte superior
de la Fig. 6. La frontera b de la región es abierta (exc1uímos
lentes triviales f)
O); la frontcra e también es abierta, cxcepto por los desplazamientos
triviales que están únicamente
en la arisla ("
1,!J < O. r
O); Y finalmente. la frontera a
1 es cerrada y const3 de los sistemas reducidos DL.
con Z')
O. Consecuentemente,
la región de sistemas OLD.
cónca~os es la unión de un octante abierto, un cuadrante de
plano y una semi-línea,
=
=
=
dos
lentes
DLDLD.
está conteni-
de dos lentes
tcnemos
gcnéricamente
con tres espacios
la configuración
y por ende
vacíos
con cinco
parámetros ajustables, para cubrir una región del espacio abe
de sistemas ópticos. que debe contener propiamente
a la región DLD de la sección anterior. Hay un caso restringido imparlante: la configuración
LDL donde las dos lente,') están en
contacto con las pantallas objeto e imagen. Analizaremos
primero esta última, para utilizarla luego corno base de inducción.
Con dos lentes de potencias
gaussianas
z
paradas por un desplazamiento
ópticos cuyas matrices son
!11. 9"2 E :R. se.
2: O. realizamos
sistemas
=
(J
a
2:
=
l.
1,
,,<
O,
e
< O. }
D) están todas en la arista (a
(sistemas
= O,e::; O).
=
Las lentes convexas en configuración
DLD llenan otra rcgión del espacio abe de sistemas ópticos. Cuando b
>O
= [}
en (7), entonces 9z'] 2::: O. de modo que (J :S" 1; pero hay
cuatro posibilidades.
11
1. 1 > a > O, 11
O (el plano
singular>. y (l < 0, que determinan que (' esté en los rangos
siguientes:
=
O<a::;l.
(l
< O,
b
!J
> O,
> O,
a
(e
(9)
" < O. " = O.
Las lentes triviales
l."
=
Z2
=
Éste es el semi-espacio
(' =
DLD ) . (10)
( conVexa
Este rango es la región inferior del espacio abe en la Fig, 6.
El cuadrante frontera (J
1 nuevamente
contiene los siste-
=
=
=
mas reducidos DL con Z2
O. La cara c:
caracteriza
los sistemas que forma1l imugen.
imagen [dada por (3)J depende solamente de
objeto (y no dc la dirección del rayo), como
O de la región
es decir, cuya
la posición del
/\.1 : q H aq.
=
1 - 91"
-z ::;O
mostrado
92) .
" = !/¡a +
1 - Z!h
d
=
(11)
en la Fig. 7. La frontera
O es abierta, porque cuando las dos lentes están en contacto (z
O). el sistema degenera en L y ocupa únicamente
la línea (a
1.!J E :11."
O). En panicular. están e.\cluidos de la región LDL los magnificadores puros, sistemas (3)
=
=
representados
singular a
=
por matrices diagonales.
Excluyendo el plano
LDL está caracterizada
por
= 0, la región
O i a E 'R.
a=l.
e < O. }
e E 31.
=
En consecuencia,
b E 3~, (' ~ O, }
!J E !R. r - O.
con LDL's llenamos
(LDL).
( 12)
los dos octantes de si 5-
i"
lemas (" > 1.!J::; O, e < O) Y (O
< l. ¡, 2: O. e < O). que
no fueron realizables con configuraciones
de una lente. Siste.
mas que C<len en la intersección de las regiones DLD y LDL
pueden realizarse con ambas configuraciones.
Ahora despegaremos
de la pantalla la primera lente de
una configuración
LDL. para examinar el caso semi-restringido DLDL de dos len les. La composición
Re" Met. Frs. 47 (3) (2001) 291-29R
de un desplazamien-
EL PROBLEMA DE LAS TRES LENTES
295
a
a
e
FIGURA 7. Región del espacio (lbe de ~islcmas óptico.'. realizables
en una configuraó6n
restringida de um. lentes LDL.
z >
to D (no trivial, con
O), Y el LOL genérico
a i" O
( <:<0
e~ el tercer cuarto del círculo rr ::; (J :S: (3j2)rr. correspondientes a potencias 2 :S o :S 3 de la transformada
de Pouricr.
El resto del ciclo requerirá al menos un elemento óptico más.
a' = a i" O
( e' :;::e - tu
O
En (13), (' <
Y
-z
de (12), es
b E !JI) _
riE!JI
-
En pal1icular.
estamos
c~pacjo e' 2: O vedado
li=bE'R)
d'=d-zb
. (13)
interesados
en penetrar el semipara configuraciones
más simples.
<
O,
a
de modo que sólo
O
<
pue-
de dar lugar a e' 2: O; la región e' < O no tiene restricción.
Eliminando primas. la región del espacio abe realizable con
sistemas DLDL es
a i" O,
a < O,
bE 'R,
e
e
bE 'R,
< O, }
2: O,
(DLDL)
( 14)
y se muestra en la Fig. 8. InterscCla con la región DLD con.
vexa (a < O, b > (J, c ~ O) (ef Fig. 6), e incluye los magnificadores puros con inversión. a < 0, que se encuentran sobre
sición de D
y
DLOL.
Para
puede realizarse
e=
LDL a una transformada
(11'
den.
(2)n, la compo-
fraccional
de Fou-
rier(5)es
v =!!1 +!h-!It 2!h)_
,,=
...
l'OS
Usando
las primas
to establece
que a'
como
=
a
e
s.cn
e).
(¡ 5)
- sen (} ('os (J
anteriormente,
=
cos(}. mientras
el primer
elemen-
que los elemen-
tos antidiagonales
relacionan
los micmbros de la igualdad
sen (J
= Vi =: -e' =: =1 a -e =: ZI cos B + Z2. De aquí resulta
=v
que en la nueva región e'
implica que sólo pueden
2:
=
O. la restricción -e'
sen B :S O
cubrirse los ángulos de rotación
=
que -e'
ZI(I-C
::; O y e :S O sólo
pueden ser satisfechas si tI
O, en (1(2)11'
(3(2)11'
{el punto (l = O de este conjunto, C0l110 vimos antes, est;:í
íT::; (J::; 211", mientras
:s
("e tib) ( -z1 O) = (a:e = e" -- zdzb b' == db)
1
:s e :s
bien definido). En consecuencia,
con sistemas DLDL podernos cubrir solamente la intersección
de estos dos intervalos.
RCI'.
(JI
=;:::
'
(16)
donde (l y e están restringidas en ( 14) Y b E R. Podemos satisfaccr la relación a' =a-zb
> Osia > Oosi(a < O,b<O);
y podemos satisfacer e'
e - zd
(ca' - z) j a 2: O si
(l
< () o (a > e ~ O). Esto se traduce en seis condiciones que -eliminando
primaspermiten acceder al cua.
=
o.
(a
>
O,
v
E
R, e 2:
=
O), no cubierto
por los sistemas
semi-restringidos
DLDL en (14), o al cuadrante (a < O, " E
}J~,V < O) que ya cubrimos. De esta manera, con sistemas
genéricos de dos lentes complelamos
la región previa con el
v < a, e 2: O). En
nuevo octante (a > O,
la región de los sistemas
ópticos
la Pig. 9 mostramos
abe que pueden ser realiza-
dos con dos lentes.
Z
(
La región DLDL excluye el cuadrante
(a > O, b E 'R,
e ;::: O) en la Fig. 8. Para intentar cubrirlo utilizaremos
la
la configuración
DLDLD de dos lentes entre tres espacios
vacíos. Rasándonos
en los resultados previos para sistemas
DLOL, agregamos una D más:
dranle
el semieje vertical inferior.
E! tercer cuarto del ciclo de Fourier
tro de la nueva región
FIG~Rt~ 8, Si~temas ópticos realizables cn una configuración ~emircstnnguJa de dos lentes DLDL. que incluye el círculo de transformadores de Fourier con potencias O :S Q < 3.
El cuarto cuarto del ciclo de transformadores
fraccionales de Fourier está contenido en la nueva región ganada con
sistemas DLDLD. Con DLD's pudimos realizar :F0 para potencias O :S. O' < 2; así, concatenando
dos de estos sistcmas alcanzamos ahora potencias O :S o: < 4. Pero estamos
impedidos de cerrar el ciclo de lransformadores
de Fourier
con la pOlencia O'
4, lo cual es distinto del sistema óptico
=
=
identidad (l
O, Y subraya la complejidad del problema en
las frontcras entre regiones en quc esto es realizable. Las caras de la región DLDLD son abiertas, excepto en la línea de
lentes L (el eje b), donde el conjunto es cerrado. En consecuencia, quedan aún excluidos los magnificadores
positivos
puros (cl semieje +a) y los vuelos libres negativos (el semieje +c).
falta,
Necesitaremos
(a> O,b
Mex. Fis. ~7 (3) (200 1) 291-298
e: O,e
tres lentes para cubrir el octante
~ O).
que
KURT BERNARDO WOLF y GUILLERMO
296
KROTZSCH
Z2
Z2
a
~
-c
Z/
Z/
-c
FIGURA 10. El plano (Z¡,Z2)
de longitud de espacios vacíos en
configuraciones DLDL; sólo el primer cuadrante es r.ealizahle:Las
líneas az} + Z2 + e = Omueslrnn sislemas que realizan el mismo
sistema óptico (a, b, e).
e
FIGURA 9. Sistemas óplicos realizables con dos lentes en la conli\!uración genérica DLDLD. Incluye ahora transformadores de Fou;icr con O < n < ~. El octante que queda vacío requiere dc al
mcno~ una ¡;;ntc más para ser realizado.
u{¡ - (1
+ {¡c)g,
- ag,
abf1t
Revisaremos ahora la correspondencia entre puntos del
espacio abe y sistemas ópticos. En la sección anterior. esta asociación era 1: 1 en las regiones permitidas, y estuvo dada por las relaciones directa e inversa (7) y (8) con
los parámetros del sistema óptico OLD. En la configuración
LOL. las relaciones inversas a (11) también son 1: 1,
!JI
=
(l
-
1
-c-,-'
z
y válidas para e
un sislema óplico
=
-e,
=
!1-2
< O. Pero si
,"t (~ ~)
d - 1
1-
c
S0l110S
(l
+ /w
( I 7)
fU;
+ g,
- b
91!h
b - g, - ng,
bg2
( 19)
con dos parámetros libres. gil g}.. que podemos escoger juiciosamente entre las pocas lentes que tengamos a disposición
de manera que el plano contenido en el espacio ZI' Z2' Z3 de
las Ecs, (19). Ilg,z, + r/¡y,z, + bg2Z3 = 2b - di/¡ - "Y"
intersecte el octante Z)l Z2' Z2 2: o.
requeridos a fabricar
con una configuración DLDL
(con parámetros z¡, 91' =2_ !h respectivamente),
invertimos (13). obtenemos las tres relaciones
y para ello
a-cYt-1
ZI=----
aYI
Aquí podemos escoger un parámetro libre (en algún intervalo
válido) para construir una familia de sistemas ópticos con el
mismo efecto sobre el espacio fase de rayos. Los dos desplazamientos z¡ deben cumplir aZI + =2 + e = O Yser positivos;
en el plano ZI-z2 mostrado en la Fig. 10. la familia es una recta que corta los ejes en -e/a y -e respectivamente. Cuando
c < O (dentro de la región DLDL en la Fig, 7), la recta lendrá un segmento en el primer cuadrante ZI' Z2 2: O. finito
cuando a > O Y semi-infinito cuando a < O. Cualquier par
(ZI' Z2) en ese segmento permite realizar el sistema óptico
deseado. Si nuestro estuche de lentes tiene sólo un número
pequeño de potencias gaussianas !Ji' podemos escoger una
que ajuste Z2 con flt = (1 - ({)/ Z2' Ybuscar otra que cumpla
9, = (1, - !It)/'L
Los espacios vacíos son literalmente gratis. por lo cual
podemos preferir la realización de una
9,
,"t (: ~)
en la con-
figuración genérica de dos lentes DLDLD en la región cubierta por estos sistemas. Con ayuda de MATHEMATlCA, se
inviertc (16) en las trcs relacioncs siguientes:
Re\'. M,'x,
n"
5. Configuraciones
de tres lentes
Configuraciones de tres lentes completarán el octante qut.:falta. (a > O.b 2: O,e 2: O). de sistemas que IIO son realizables
con dos lentes y que se muestra en la Fig. 9. Procederemos a
construir sistemas restringidos de tres lentes LDLDL (donde
las lentes extremas tocan las pantallas) colocando una lente L
frente a sistemas semi-restringidos de dos lentes DLDL. Cllyos parámetros aiJe se encuentran en la región llena. Después
examinaremos la región que aún así queda irrealizada. Como
antes. multiplicamos las matrices correspondientes:
b)
d
= (", = + gc
II
c/=c
b' = b
d'=d
+ 9d)
(20)
donde los parámetros a, b, e cumplen con las restricciones (14). y donde buscamos en los punlos (lI' > O,b' ~ O.
c' ~ O) del octante por cubrir. Es evidente que con II < O.
e'
e > O Y una lente!J E R apropiada. ni puede alcanzar cualquier valor real. De esta manera llenamos el octante
(a' > 0, l/ 2: 0, (:' > O). Sin embargo. el valor (:' = O está
excluido de este conjunto porque entonces a = a' < () es fija. En consecuencia. con configuraciones restringidas de tres
lentes LDLDL podemos realizar todos los sistemas ópticos.
excepto el cuadrante de plano (a > 0, b 2: O,e == O) indicado
en la Fig. 11, que examinaremos adelante.
Con un mínimo de tres lentes. dos de ellas coincidentes
con las pantallas de entrada y salida, podemos producir en
particular los de.\plazamie1l/os f1egati\'os que ocupan el
=
47 (3) (2001) 291-298
EL PROBLEMA DE LAS TRES LENTES
a
297
Los sistemas que 110 pueden ser realizados con los cinco
elementos LDLDL ocupan el cuadrante plano (a > O, b::: O.
e
O). Esto es eVIdente en (22) porque e O aparece en dos
de los tres denominadores; az} + Z2 Y ZI + dZ2 no pueden ser
cero con a y b en este cuadrante. El cuadrante "prohibido"
es un plano n~cesariamente abierto en su arista a == O, Ycerrado en su ansta IJ == O. Prominentemente, los magnificadores puros positivos representados por matrices diag (a, a-I),
(l > 0.110 pueden ser realizados en configuraciones restringidas de tres lentes. Si preccdemos el arreglo LDLDL con un
desplazamiento, como en (13), es fácil ver que de e i O podemos pasar a e' == O con una Z apropiada (y a i O). De esta
manera, con la configuración de tres lentes semi-restringida
DLDLDL, llenamos el plano de la Fig. 11 Ycubrimos todo el
espacio abe de sistemas ópticos paraxiales.
Si nos preguntamos cómo (y con qué parámetros libres) podemos construir con tres lentes en configuración
=
FIGURA 11. El cuadrante plano 110 realizable con configuraciones
restringidas de (res lenles LDLDL. Para llenar esta región (que incluye magnificadores puros positivos) se requiere de 1.1configuración general semi.rcsrringida DLDLDL.
=
(a b),
DLDLDL un sistema deseado .1\.1
basta invertir el
e el
producto genérico de tres desplazamientos ' positivos'1'z z 2'
Y Z3 Y tomar las tres lentes!l¡, 92' Y 93 por parámctros libres.
Obtenemos
eje +c. En la Rcf. 1, se encontró un resultado para sistemas
DLDLDLD (sin restricción) y se propuso un arreglo equivalente al siguiente LDLDL con dos de tres lentes iguales y
convexas:
_
z} -
(21 )
e
y,
Y3 ==
e
+ ZI + Z2
+ ZI + dZ2
(22)
eZ2
Si lo que deseamos es un vuelo libre V:; negativo. tomamos
a 1 el, b O Ye
z > O, Y encontramos las igualdades
= =
=
Z2
== -
1
Z3
(23)
donde Z == Z + ZI + Z2' En particular, si queremos un sistcma
con espacios iguales Zl == Z2 == z. tendrcmos también lentes
iguales 91 == Y2 == Y3 = 3/z. Es decir, descubrimos un nuevo
arreglo óptico:
(24)
El aparato (24) cs más eficiente que el de Sudarshan, t\.lukunda y Simon [IJ en (21), porque su longitud total es 2z,
y es simétrico bajo reflexión z t-+ -z (esto elimina algunas
aberraciones más allá del régimen paraxial).
n,.
1
a'h - b
!h
!I¡ 92
+ - + -' --,
19t+a!}-l
== - +
y,
(aY3 - o)y,
(25)
Por ejemplo, para construir los magnificadores puros b ==
O == e sobre el eje a de la Fig. 5 con tres lentes iguales
91 == Y2
93 == .'l. reducimos las relaciones anteriores a
=
ay
2+a
Z2
= --,
1 + 2a
ay
!J
(26)
Cuando a > O, con tres lentes convexas iguales que hayamos
encontrado en el estuche podemos determinar las distancias a
las que debemos colocarlas para obtener el magnificador de.
seado. Cuando a < O, podemos realizar magnificadores con
dos lentes convexas DLDL como vimos anteriormente (o. si
insistimos en metcr una lente más, tendremos que cuidar que
sea tal que las tres distancias (25) sean positivas). Para a
1
tenemos el sistema unidad realizado como {DL)3 con tres distancias iguales y longitud total f
l/y:
=
=-
Rl"'. Ml'.l.
cY3)Y'
(alh - b)y,
91
ZI
Z¡Z2
e
+ (eI+ y,
-----~---
a-I+I+a
+ UZI + z2
ez¡
=
1
Yt
El aparato tiene longitud 3z y actúa C0l110 un espacio negativo -2. No hay indicación en [1] sobre cómo se encontró
la solución (21). Para trascender las soluciones de ensayoy-error, invertiremos los cinco parámetros 91' 21,92' zl' 9:1
de la configuración restringida LDLDL en términos de los
parámetros (1,1J. (: del sistema deseado, escogiendo dos de
ellos independientes -por "simetría" tomamos los dos vuelos libres. Despejando las relaciones para los otros tres obtenemos
y,
-
=
(27)
0
Con esta configuración cerramos el ciclo de 360 de transformadas fraccionales de Fourier.
Es importante notar en toda la discusión anterior, que
cuando juzgamos el desempeño de un sistema óptico por las
imágelles que nos proyecta sobre sobre una pantalla, es decir.
cuando somos ciegos a la dirección de los rayos que llegan,
entonces perdemos un parámetro. En efecto, vemos de (3)
que las matrices de dos sistemas ópticos que difieran en sus
47 (3) (2001) 291-298
KURT BERNARDO WOLF y GUILLERMO
298
elementos d Y [J. Ilevaróín el mismo rayo (P, '1) al mismo punto en la pantalla. (/ (p. q) = al} - ('p. Ignorar el par;:ímctro b
corresponde a proyectar el espacio (liJe. de todas nuestras fi2:uras sobre el plano (1('. Bajo este criterio de desempeño.
;¡stemas DLD de una lente cóncava ocuparán el cuadrante
(o > t, (' < O): sislcmas de una lente convexa, los dos cuadranles (j < 1. e < O) Y (" > O." 2 O), cte.; y "todos"
los sistemas ópticos serán realizables por configuraciones de
hasta dos lentes. DLDLD.
6. Conclusiones
Habiendo resuelto el problema de las tres lentes. queremos
agregar algunas líneas de contcxlO .\ la solución. Aquí heIllOS trabajado con sistemas ópticos planos. En la tres dimensiones del espacio 'real', la dimensión del espacio fase y de las matrices. como apuntamos. es cuatro. No serán
matrices generales de -1 x -1 las que representen sistemas
ópticos. sino sólo aquéllas que también preserven la estructura IlllmillOlliafla [.1] dcl modelo. El principio de LavoisierLiouvillc (que implica unimodulariedad) tiene que gcnerali~
zarse a preservar los l'arélllesiJ d£, Poissoll {<JI']')}
c5¡,j
entre las coordenadas cartesianas de posición y momento en
cualquier número N de dimensiones. Las matrices de trans~
formación que cumplen con estas condiciones son las matrices SilllplécticllS [G], que no detallaremos más que indi-
=
1. E.eG. Slldarshatl.
(I"S5) 855.
N. J\l11kllnda, ami R. Siman. 0pliCll Acta 32
KROTZSCH
car su grupo por Sp(2.N, :R). Sucede que. accidentalmente
5p(2, !R) = 5L(2, 11).
El grupo de matrices 5p( 4, 'JI) tiene 10 parámetros, y los
elementos ópticos a nuestra disposición son desplazamientos positivos como antes en (1). Y lentes (Htigmáticas dadas
por (2) donde la potencia g¡llIssiana .rJ se recmplaza por una
matriz simétrica g de 2 x 2 que tiene 3 par;.ímetros libres. Se
puede demostrar que a partir de estos elemcntos también sc
genera el grupo completo de todos los sistemas ópticos [7].
Allí los transformadores fraccionales de Fouricr, que en dos
dimensiones son puntos sobre un círculo Si. en cuatro dimensiones son puntos en una hiperesfera S:J [81. Lo que para
dos dimensiones era el grupo de rotaciones 50(2)
U(l),
en cuatro dimensiones se generaliza al grupo de matrices uni~
larias de 2 x 2, U(2) ~ 50(2) 0 50(3).
=
Desafortunadamente, los argumentos y figuras que nos
ayudaron en este artículo para resolver el caso en tres dimensiones, tendrían que generalizarse a diez. Creemos que es un
problema abierto. Vale decir que la descomposición en sistemas de lentes y espacios 110 es el punto de vista natural en la
teoría de grupos. Allí es lTIi.lsconveniente utilizar otras paraIlletrizaciones, COIllO la de lwas;]\l,'a, que factoriza a cualquier
sistema óptico en un transformador de Fourier y un formador de irmígen astigmálico [7,8). Con ello se gana claridad
en la teoría, alÍn cuando se glose sobre su realizabilidad con
configuraciones ópticas mínimas.
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