Polinomios. 68 Ejercicios para practicar con soluciones 1 Efectúa

Polinomios. 68 Ejercicios para practicar con soluciones
1
Efectúa las siguientes divisiones usando la Regla de Ruffini. ¿Cuál es exacta?
a) 2x 3 + 6x 2 − 3x + 1 : (x + 1) ; b) 5x 4 + 4x 3 + 3x 2 + 2x + 1 : (x − 1) ;
(
c) (3x
)
3
)
+ 15x − 3x − 15 : (x + 5 ).
2
(
)
Solución:
a) c(x) = 2 x 2 + 4 x − 7; r(x) = 8;
b) c(x) = 5 x 3 + 9 x 2 + 12 x + 14; r(x) = 15;
c) c(x) = 3 x 2 − 3; r(x) = 0 ⇒ exacta .
2
Efectúa las siguientes divisiones usando la Regla de Ruffini. ¿Cuál es exacta?
a) x 3 + 3 : (x + 1) ; b) 2x 4 + 3x 2 − 5 : (x − 2 ) ; c) 2x 3 − 18x 2 + 22x + 42 : (x − 7 ).
(
)
(
)
(
)
Solución:
a) c(x) = x 2 − x + 1; r(x) = 2;
b) c(x) = 2 x 3 + 4 x 2 + 11 x + 22; r(x) = 39;
c) c(x) = 2 x 2 − 4 x − 6; r(x) = 0 ⇒ exacta
3
Dados los polinomios p(x), q(x) y r(x) escritos más abajo, calcula:
a) p(x) + q(x);
b) p(x) - q(x);
c) p(x) + q(x) - r(x);
d) p(x) - q(x) - r(x).
p(x) = 4x 2 − 13x + 20 ; q(x) = 10x 2 − 7x + 8 ; r(x) = 5x − 1.
Solución:
a) p(x) + q(x) = 14 x 2 − 20 x + 28;
b) p(x) − q(x) = −6 x 2 − 6 x + 12;
c) p(x) + q(x) − r(x) = 14 x 2 − 25 x + 29;
d) p(x) − q(x) − r(x) = −6 x 2 − 11 x + 13.
4
Dados los polinomios p(x), q(x) y r(x) escritos más abajo, calcula:
a) p(x)·q(x);
b) p(x)·r(x);
c) q(x)·r(x).
p(x) = 4x 2 − 13x + 20 ; q(x) = 10x 2 − 7x + 8 ; r(x) = 5x − 1.
1
Solución:
a) p(x) ⋅ q(x) = 40 x 4 − 158 x 3 + 323 x 2 − 244 x + 160;
b) p(x) ⋅ r(x) = 20 x 3 − 69 x 2 + 23 x − 20;
c) q(x) ⋅ r(x) = 50 x 3 − 45 x 2 + 47 x − 8.
5
Dados los polinomios p(x), q(x) y r(x) escritos más abajo, calcula:
a) p(x)·q(x);
b) p(x)·r(x);
c) q(x)·r(x).
p(x) = 3x 2 + 5x − 6 ; q(x) = 5x 2 + 8x − 9 ; r(x) = 3x + 4.
Solución:
a) p(x) ⋅ q(x) = 15 x 4 + 49 x 3 − 17 x 2 − 3 x + 54;
b) p(x)·r(x) = 9 x 3 + 27 x 2 + 2 x − 24;
c) q(x)·r(x) = 15 x 3 + 44 x 2 + 5 x − 36.
6
Efectúa las siguientes divisiones usando la Regla de Ruffini. ¿Cuál es exacta?
a) x 3 + 6x 2 + 5x − 12 : (x + 4 ) ; b) 4x 3 − 9x + 8 : (x + 2 ) ; c) 7x 4 − 5x 2 + 1 : (x − 1).
(
)
(
)
(
)
Solución:
a) c(x) = x 2 + 2 x − 3; r(x) = 0 ⇒ exacta;
b) c(x) = 4 x 2 − 8 x + 7; r(x) = −6;
c) c(x) = 7 x 3 + 7 x 2 + 2 x + 2; r(x) = 3.
7
Dados los polinomios p(x), q(x) y r(x) escritos más abajo, calcula:
a) p(x) + q(x);
b) p(x) - q(x);
c) p(x) + q(x) - r(x);
d) p(x) - q(x) -r(x).
p(x) = 3x 2 + 5x − 6 ; q(x) = 5x 2 + 8x − 9 ; r(x) = 3x + 4.
Solución:
a) p(x) + q(x) = 8 x 2 + 13 x − 15;
b) p(x) − q(x) = −2 x 2 − 3 x + 3;
c) p(x) + q(x) − r(x) = 8 x 2 + 10 x − 19;
d) p(x) − q(x) − r(x) = −2 x 2 − 6 x − 1.
8
Efectúa las siguientes divisiones usando la Regla de Ruffini. ¿Cuál es exacta?
a) 4x 2 − 13x + 10 : (x − 2 ) ; b) 5x 2 + 8x − 9 : (x + 1) ; c) x 4 − x 2 − 2 : (x − 1).
(
)
(
)
(
Solución:
a) c(x) = 4 x − 5; r(x) = 0 ⇒ exacta;
b) c(x) = 5 x + 3; r(x) = −6;
c) c(x) = x 3 + x 2 ; r(x) = −2.
2
)
9
Dados los polinomios p(x) y q(x) escritos más abajo, calcula:
a) p(x) + q(x);
b) q(x) - p(x);
c) p(x)·q(x).
p(x) = x 3 − 5x 2 + 7 ; q(x) = 2x 3 + 6x 2 − 3x + 1.
Solución:
a) p(x) + q(x) = 3 x 3 + x 2 − 3 x + 8;
b) q(x) − p(x) = x 3 + 11 x 2 − 3 x − 6;
c) p(x)·q(x) = 2 x 6 − 4 x 5 − 33 x 4 + 30 x 3 + 37 x 2 − 21 x + 7.
10 Efectúa las siguientes divisiones usando la Regla de Ruffini. ¿Cuál es exacta?
a) x 4 + x 2 + 1 : (x − 1) ; b) 3x 4 + 15 : (x + 3 ) ; c) x 3 − 9x : (x − 3 ).
(
)
(
)
(
)
Solución:
a) c(x) = x 3 + x 2 + 2 x + 2; r(x) = 3;
b) c(x) = 3 x 3 − 9 x 2 + 27 x − 81; r(x) = 258;
c) c(x) = x 2 + 3 x; r(x) = 0 ⇒ exacta .
11 Dados los polinomios p(x), q(x) y r(x) escritos más abajo, calcula:
a) p(x) + q(x);
b) p(x) - q(x);
c) p(x) - q(x) + r(x);
d) p(x) - q(x) - r(x).
p(x) = 3x 4 + 4x 3 − 2x 2 + 5 ; q(x) = x 4 − 3x 3 + 2x 2 − 1 ; r(x) = x 4 + x 2 + 1.
Solución:
a) p(x) + q(x) = 4 x 4 + x 3 + 4;
b) p(x) − q(x) = 2 x 4 + 7 x 3 − 4 x 2 + 6;
c) p(x) − q(x) + r(x) = 3 x 4 + 7 x 3 − 3 x 2 + 7;
d) p(x) − q(x) − r(x) = x 4 + 7 x 3 − 5 x 2 + 5.
12 Realiza las siguientes divisiones:
a) 3x 4 + 5x 3 + x − 7 : x 3 − 2
(
b) (x
4
)(
)(
)
)
+ x 3 + 7x : x 2 + x + 1
Solución:
a) c(x) = 3 x + 5
r(x) = 7 x + 3
b) c(x) = x 2 − 1
r(x) = 8 x + 1
3
13 Dados los polinomios p(x), q(x) y r(x) escritos más abajo, calcula:
a) p(x) + q(x);
b) p(x) - q(x);
c) p(x) + q(x) - r(x);
d) p(x) - q(x) + r(x).
p(x) = x 4 − x 2 + 3 ; q(x) = 2x 4 + 3x 2 − 5 ; r(x) = x 2 − 16 .
Solución:
a) p(x) + q(x) = 3 x 4 + 2 x 2 − 2;
b) p(x) − q(x) = − x 4 − 4 x 2 + 8;
c) p(x) + q(x) − r(x) = 3 x 4 + x 2 + 14;
d) p(x) − q(x) + r(x) = − x 4 − 3 x 2 − 8.
14 Realiza las siguientes divisiones:
a) x 3 − 3x 2 + 6x − 2 : x 2 + x − 1
(
b) (x
4
− x3
)(
+ 8x + 4 ) : (x
Solución:
a) c(x) = x − 4
2
)
− x + 2)
r(x) = 11 x − 6
b) c(x) = x 2 − 2
r(x) = 6 x + 8
15 Efectúa las siguientes divisiones usando la Regla de Ruffini. ¿Cuál es exacta?
a) x 3 − x 2 − 42x : (x − 6 ) ; b) 4x 3 − 3x 2 + 6x − 5 : (x + 1) ; c) x 4 + 1 : (x − 1).
(
)
(
)
(
Solución:
a) c(x) = x 2 + 7 x ; r(x) = 0 ⇒ exacta;
b) c(x) = 4 x 2 − 7 x + 13 ; r(x) = −18;
c) c(x) = x 3 + x 2 + x + 1 ; r(x) = 2.
16 Dados los polinomios p(x), q(x) y r(x) escritos más abajo, calcula:
a) p(x)·q(x);
b) p(x)·r(x);
c) q(x)·r(x).
p(x) = x 4 − x 2 + 3 ; q(x) = 2x 4 + 3x 2 − 5 ; r(x) = x 2 − 16 .
Solución:
a) p(x)·q(x) = 2 x 8 + x 6 − 2 x 4 + 14 x 2 − 15;
b) p(x)·r(x) = x 6 − 17 x 4 + 19 x 2 − 48;
c) q(x)·r(x) = 2 x 6 − 29 x 4 − 53 x 2 + 80.
4
)
17 Dados los polinomios p(x), q(x) y r(x) escritos más abajo, calcula:
a) p(x) + q(x);
b) p(x) - q(x);
c) p(x) + q(x) - r(x);
d) p(x) - q(x) -r(x).
p(x) = 4x 3 + 3x 2 − 5x + 6 ; q(x) = x 3 − 6x 2 + 2x − 7 ; r(x) = x 3 − 7.
Solución:
a) p(x) + q(x) = 5 x 3 − 3 x 2 − 3 x − 1;
b) p(x) − q(x) = 3 x 3 + 9 x 2 − 7 x − 13;
c) p(x) + q(x) − r(x) = 4 x 3 − 3 x 2 − 3 x + 6;
d) p(x) − q(x) − r(x) = 2 x 3 + 9 x 2 − 7 x − 6.
18 Efectúa las siguientes divisiones usando la Regla de Ruffini. ¿Cuál es exacta?
a) x 3 − 5x 2 + 7 : (x + 3 ) ; b) 7x 3 − 19x 2 − 91x + 105 : (x − 5 ) ; c) x 8 − 1 : (x − 1).
(
)
(
)
(
Solución:
a) c(x) = x 2 − 8 x + 24 ; r(x) = −65;
b) c(x) = 7 x 2 + 14 x − 21 ; r(x) = 0 ⇒ exacta;
c) c(x) = x 7 + x 6 + x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 ; r(x) = 0 ⇒ exacta .
19 Dados los polinomios p(x) y q(x) escritos más abajo, calcula:
a) p(x) + q(x);
b) p(x) - q(x);
c) p(x)·q(x).
p(x) = 7x 4 − 5x 2 + 1 ; q(x) = 3x 4 + 5x 2 − 1 .
Solución:
a) p(x) + q(x) = 10 x 4 ;
b) p(x) − q(x) = 4 x 4 − 10 x 2 + 2;
c) p(x)·q(x) = 21 x 8 + 20 x 6 − 29 x 4 + 10 x 2 − 1.
20 Dados los polinomios p(x), q(x) y r(x) escritos más abajo, calcula:
a) p(x)·q(x);
b) p(x)·r(x);
c) q(x)·r(x).
p(x) = 4x 3 − 9x + 8 ; q(x) = 5x 3 + 3 ; r(x) = 2x 3 − x 2 + 1 .
Solución:
a) p(x)·q(x) = 20 x 6 − 45 x 4 + 52 x 3 − 27 x + 24;
b) p(x)·r(x) = 8 x 6 − 4 x 5 − 18 x 4 + 29 x 3 − 8 x 2 − 9 x + 8;
c) q(x)·r(x) = 10 x 6 − 5 x 5 + 11 x 3 − 3 x 2 + 3.
5
)
21 Dados los polinomios p(x) y q(x) escritos más abajo, calcula:
a) p(x) + q(x);
b) q(x) - p(x);
c) p(x)·q(x).
p(x) = 5x 3 − 3x 2 + 7x − 1 ; q(x) = 3x 3 + 3x 2 + 3x + 1 .
Solución:
a) p(x) + q(x) = 8 x 3 + 10 x;
b) q(x) − p(x) = −2 x 3 − 6 x 2 − 4 x − 2;
c) p(x)·q(x) = 15 x 6 + 6 x 5 + 27 x 4 + 14 x 3 + 15 x 2 + 4 x − 1.
22 Dados los polinomios p(x), q(x) y r(x) escritos más abajo, calcula:
a) p(x)·q(x);
b) p(x)·r(x);
c) q(x)·r(x).
p(x) = 4x 3 + 3x 2 − 5x + 6 ; q(x) = x 3 − 6x 2 + 2x − 7 ; r(x) = x 3 − 7.
Solución:
a) p(x)·q(x) = 4 x 6 + 27 x 5 − 15 x 4 + 14 x 3 − 67 x 2 + 47 x − 42;
b) p(x)·r(x) = 4 x 6 + 3 x 5 − 22 x 3 − 21 x 2 + 35 x − 42;
c) q(x)·r(x) = x 6 − 6 x 5 + 2 x 4 − 14 x 3 + 42 x 2 − 14 x + 49.
23 Efectúa las siguientes divisiones usando la Regla de Ruffini. ¿Cuál es exacta?
a) 1 − x 6 : (1 + x ) ; b) 4x 3 + 3x 2 − 5x + 6 : (x − 2 ) ; c) 2x 4 + 3x 2 − 5 : (x + 3 ).
(
)
(
)
(
)
Solución:
a) c(x) = − x 5 + x 4 − x 3 + x 2 − x + 1 ; r(x) = 0 ⇒ exacta;
b) c(x) = 4 x 2 + 11 x + 17 ; r(x) = 40;
c) c(x) = 2 x 3 − 6 x 2 + 21 x − 63 ; r(x) = 184.
24 Dados los polinomios p(x), q(x) y r(x) escritos más abajo, calcula:
a) p(x)·q(x);
b) p(x)·r(x);
c) q(x)·r(x).
p(x) = 3x 4 + 4x 3 − 2x 2 + 5 ; q(x) = x 4 − 3x 3 + 2x 2 − 1 ; r(x) = x 4 + x 2 + 1.
Solución:
a) p(x)·q(x) = 3 x 8 − 5 x 7 − 8 x 6 + 14 x 5 − 2 x 4 − 19 x 3 + 30 x 2 − 5;
b) p(x)·r(x) = 3 x 8 + 4 x 7 + x 6 + 4 x 5 + 6 x 4 + 4 x 3 + 3 x 2 + 5;
c) q(x)·r(x) = x 8 − 3 x 7 + 3 x 6 − 3 x 5 + 2 x 4 − 3 x 3 + x 2 − 1.
25 Efectúa las siguientes divisiones usando la Regla de Ruffini. ¿Cuál es exacta?
a) 7x 4 − 5x 2 − 2 : (x + 1) ; b) x 5 + 1 : (x − 1) ; c) 2x 3 − x 2 + 2 : (x + 2 ).
(
)
(
)
(
)
6
Solución:
a) c(x) = 7 x 3 − 7 x 2 + 2 x − 2 ; r(x) = 0 ⇒ exacta;
b) c(x) = x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 ; r(x) = 2;
c) c(x) = 2 x 2 − 5 x + 10 ; r(x) = −18.
26 Dados los polinomios p(x), q(x) y r(x) escritos más abajo, calcula:
a) p(x) + q(x);
b) p(x) - q(x);
c) p(x) + q(x) - r(x);
d) p(x) - q(x) - r(x).
p(x) = 4x 3 − 9x + 8 ; q(x) = 5x 3 + 3 ; r(x) = 2x 3 − x 2 + 1 .
Solución:
a) p(x) + q(x) = 9 x 3 − 9 x + 11;
b) p(x) − q(x) = − x 3 − 9 x + 5;
c) p(x) + q(x) − r(x) = 7 x 3 + x 2 − 9 x + 10;
d) p(x) − q(x) − r(x) = −3 x 3 + x 2 − 9 x + 4.
27 Calcula:
a) 3 x − y 3 x + y ;
b) (10a + 3b )(10a − 3b );
(
)(
)
1 ⎞⎛ 4
1 ⎞
⎛4
c) ⎜ h − z ⎟⎜ − h − z ⎟.
3
7
3
7
⎝
⎠⎝
⎠
Solución:
a) 3 x 2 − y 2 ;
b) 100 a 2 − 9 b 2 ;
c) −
16 2 1 2
h +
z .
49
9
28 Calcula:
a) (4a + 6b)(4a − 6b );
b) (−5x + 8y)(−5x − 8y);
(
)
c) ( 5h − 3) 5h + 3 .
Solución:
a) 16 a 2 − 36 b 2 ;
b) 25 x 2 − 64 y 2 ;
c) 5 h 2 − 9.
7
29 Calcula:
a) (7x + 2y) 2 ;
b) (a − 5b) 2 ;
c) (4 + 3x) 2 .
Solución:
a) 49 x 2 + 28 xy + 4 y 2 ;
b) a 2 − 10 b+ 25 b 2 ;
c) 16 + 24 x + 9 x 2 .
30 Calcula:
2
a) (4a − 6b ) ;
b) (−5x + 8y) 2 ;
c) (2 + 8h) .
2
Solución:
a) 16 a 2 − 48 ab + 36 b 2 ;
b) 25 x 2 − 80 xy + 64 y 2 ;
c) 4 + 32 h+ 64 h 2 .
31 Calcula:
(
)
2
a) 3 x + y ;
b) (10a − 3b ) ;
2
c) (− 2h − 3z ) .
2
Solución:
a) 3 x 2 + 2 3 xy+ y 2 ;
b) 100 a 2 − 60 ab+ 9 b 2 ;
c) 4 h 2 + 12 hz + 9 z 2 .
32 Calcula:
a)(− 3x − 4y ) ;
2
b) (2a − 7b ) ;
2
c) (− 3h + 12m ) .
2
Solución:
a) 9 x 2 + 24 xy + 16 y 2 ;
b) 4 a 2 − 28 ab + 49 b 2 ;
c) 9 h 2 − 72 hm+ 144 m 2 .
8
33 Calcula:
a) (7x + 2y)(7x − 2y);
b) (−a + 5b)(a + 5b);
7 ⎞⎛ 2
7 ⎞
⎛2
c) ⎜ a + b ⎟⎜ a − b ⎟.
3 ⎠⎝ 5
3 ⎠
⎝5
Solución:
a) 49 x 2 − 4 y 2 ;
b) − a 2 + 25 b 2 ;
c)
4 2 49 2
a −
b .
25
9
34 Calcula:
a) (a − 2b) 3 ;
b) (3x + 2y) 3 ;
c) (−1 + 4h) 3 .
Solución:
a) a 3 − 6 a 2 b+ 12 ab 2 − 8 b 3 ;
b) 27 x 3 + 54 x 2 y + 36 xy 2 + 8 y 3 ;
c) − 1 + 12 h− 48 h 2 + 64 h 3 .
35 Calcula:
⎛ 3
⎞⎛ 3
⎞
a)⎜
m − 5h ⎟⎜
m + 5h ⎟;
⎜ 2
⎟⎜ 2
⎟
⎝
⎠⎝
⎠
2
4 ⎞
⎛3
b) ⎜ x − y ⎟ ;
5 ⎠
⎝7
c) (5h + 2z ) .
3
Solución:
3
a) m 2 − 25 h 2 ;
4
9 2 24
16 2
b)
x −
xy +
y ;
49
35
25
c) 125 h 3 + 150 h 2 z+ 60 hz 2 + 8 z 3 .
9
36 Calcula:
3 ⎞⎛ 1
3 ⎞
⎛1
a)⎜ x + y ⎟⎜ x − y ⎟;
4 ⎠⎝ 2
4 ⎠
⎝2
b)
( 7 − 3z )( 7 + 3z );
c) (− 5h + 3m)(− 5h − 3m).
Solución:
1
9 2
y ;
a) x 2 −
4
16
b) 7 − 9 z 2 ;
c) 25 h 2 − 9 m 2 .
37 Calcula:
3
⎛2
⎞
a)⎜ m + 5h ⎟ ;
⎝5
⎠
⎛1
⎞⎛ 1
⎞
b) ⎜ a + 2b ⎟⎜ − a + 2b ⎟;
3
3
⎝
⎠⎝
⎠
c) (− 7x + 8y ) .
2
Solución:
8
12 2
a)
m3 +
m h+ 30 mh 2 + 125 h 3 ;
125
5
1
b) − a 2 + 2 b 2 ;
9
c) 49 x 2 − 112 xy + 64 y 2 .
38 Calcula el cuadrado del siguiente trinomio utilizando las identidades notables y con la definición de
potencia y comprueba que se obtiene el mismo resultado:
(x + y + z )2
Solución:
((x + y ) + z )2 = (x + y )2 + 2(x + y ) z+ z 2 = x 2 + 2 xy+ y 2 + 2 xz+ 2 yz+ z 2 = x 2 + y 2 + z 2 + 2 xy+ 2 xz+ 2 yz
(x + y + z )(x + y + z ) = x 2 + xy+ xz+ yx+ y 2 + yz+ zx+ zy+ z 2 = x 2 + y 2 + z 2 + 2 xy+ 2 xz+ 2 yz
39 Calcula el cuadrado del siguiente trinomio utilizando las identidades notables y con la definición de
potencia y comprueba que se obtiene el mismo resultado:
(x − y + z )2
Solución:
((x − y ) + z )2 = (x − y )2 + 2(x − y ) z+ z 2 = x 2 − 2 xy+ y 2 + 2 xz− 2 yz+ z 2 = x 2 + y 2 + z 2 − 2 xy+ 2 xz− 2 yz
(x − y + z )(x − y + z ) = x 2 − xy+ xz− yx+ y 2 − yz+ zx− zy+ z 2 = x 2 + y 2 + z 2 − 2 xy+ 2 xz− 2 yz
10
40 Calcula:
3
5 ⎞
⎛3
a)⎜ a + b ⎟ ;
3 ⎠
⎝5
2
1 ⎞
⎛ 1
b) ⎜ − h + m ⎟ ;
2 ⎠
⎝ 4
c)
( 17m −
5h
)( 17m +
)
5h .
Solución:
27 3 9 2
125 3
a)
a + a b+ 5 ab 2 +
b ;
125
5
27
1 2 1
1
b)
h − hm+ m 2 ;
16
4
4
c) 17 m 2 − 5 h 2 .
41 Calcula:
a) h + 7 z h − 7 z ;
(
)(
)
2
2 ⎞
⎛1
b) ⎜ x + y ⎟ ;
5
3 ⎠
⎝
2
1 ⎞
⎛ 3
c) ⎜ − h + m ⎟ .
3 ⎠
⎝ 4
Solución:
a) h 2 − 7 z 2 ;
1 2 4
4
b)
x +
xy + y 2 ;
25
15
9
9 2 1
1
c)
h − hm+ m 2 .
16
2
9
42 Calcula:
3
a)(3h − 4m) ;
3
1 ⎞
⎛1
b) ⎜ x + y ⎟ ;
3 ⎠
⎝2
c) (9m − 7h)(9m + 7h).
Solución:
a) 27 h 3 − 108 h 2 m+ 144 hm 2 − 64 m 3 ;
1
1
1
1 3
b) x 2 + x 2 y + xy 2 +
y ;
8
4
6
27
c) 81m 2 − 49 h 2 .
11
43 Calcula:
a) 5 − 15 z − 5 − 15 z ;
(
)(
)
2
7 ⎞
⎛6
b) ⎜ x + y ⎟ ;
7
6 ⎠
⎝
2
⎛4
⎞
c) ⎜ h − z ⎟ .
3
⎝
⎠
Solución:
a) − 25 + 15 z 2 ;
36 2
49 2
b)
x + 2 xy +
y ;
49
36
16 2 8
c)
h − hz + z 2 .
9
3
44 Calcula:
a)(10a + 3b ) ;
3
b) (3h − 2z ) ;
3
c) (− 3x − y ) .
3
Solución:
a) 1000 a 3 + 900 a 2 b+ 270 ab 2 + 27 b 3 ;
b) 27 h 3 − 54 h 2 z+ 36 hz 2 − 8 z 3 ;
c) − 27 x 3 − 27 x 2 y − 9 xy 2 − y 3 .
45 Calcula las siguientes potencias de polinomios:
a) (x + 2y )
3
b) (4x − 5y )
3
c) (1 − xy )
3
Solución:
a) x 3 + 6 x 2 y + 12 xy 2 + 8 y 3
b) 64 x 3 − 240 x 2 y + 300 xy 2 − 125 y 3
c) 1 − 3 xy+ 3 x 2 y 2 − x 3 y 3
46 Factoriza los siguientes polinomios e indica cuáles son sus raíces:
a) x 3 + 6x 2 − 31x − 36;
b) x 3 − 9x 2 − 5x + 33;
c) x 3 − 2x 2 − 45x + 126.
Solución:
a) (x + 1)(x + 9)(x − 4) ; b) (x + 3)(x − 11)(x − 1) ; c) (x + 7)(x − 6)(x − 3).
Raíces: a) -9, -1, 4
b) -3, 1, 11
c) -7, 3, 6
12
47 Obtén dos polinomios diferentes cuyas únicas raíces sean -6, 0, 1.
Solución:
Por ejemplo: x(x+ 6)(x − 1) = x 3 + 5 x 2 − 6 x
y
− x(x+ 6)(x − 1) = − x 3 − 5 x 2 + 6 x
48 Al descomponer factorialmente un polinomio se obtiene (x - 13)(x + 1)(x - 7)(x + 6).
a) ¿De qué grado es el polinomio?
b) ¿Cuánto vale el término independiente?
Solución:
a) El grado es 4.
b) El término independiente vale -13·1·(-7)·6 = 546.
49 Halla la descomposición factorial de los siguientes polinomios e indica cuáles son sus raíces:
a) x 3 − 13x 2 + 42x;
b) 4x 3 − 32x 2 + 4x + 168;
c) x 3 − 3x 2 − 88x − 240.
Solución:
a) x(x− 7)(x − 6) ; b) 4(x + 2)(x − 7)(x − 3) ; c) (x + 5)(x − 12)(x + 4).
Raíces: a) 0, 6, 7
b) -2, 3, 7
c) -5, -4, 12
50 Halla la descomposición factorial de los siguientes polinomios e indica cuáles son sus raíces:
a) 2x 3 + 6x 2 − 50x + 42;
b) 3x 3 − 15x 2 − 3x + 15;
c) x 3 − 9x.
Solución:
a) 2(x − 3)(x − 1)(x + 7) ; b) 3(x − 1)(x + 1)(x − 5) ; c) x(x− 3)(x + 3).
Raíces: a) -7, 1, 3
b) -1, 1, 5
c) -3, 0, 3
51 Obtén un polinomio que tenga únicamente las siguientes raíces:
a) -5, 3, 8
b) 0, 3, 6
Solución:
a) (x + 5 )(x − 3 )(x − 8 ) = x 3 − 16 x 2 + 79 x − 120
b) x (x − 3 )(x − 6 ) = x 3 − 9 x 2 + 18 x
52 Halla la descomposición factorial de los siguientes polinomios e indica cuáles son sus raíces:
a) x 3 − 2x 2 − 11x + 12;
b) 7x 3 + 7x 2 − 119x + 105;
c) x 4 − 6x 3 − 69x 2 + 154x.
13
Solución:
a) (x − 4)(x − 1)(x + 3) ; b) 7(x − 1)(x − 3)(x + 5) ; c) x(x− 11)(x + 7)(x − 2).
Raíces: a) -3, 1, 4
b) -5, 1, 3
c) -7, 0, 2, 11
53 Obtén un polinomio que tenga únicamente las siguientes raíces:
a) 0, 4, 5
b) 3, 4
Solución:
a) x (x − 4 )(x − 5 ) = x 3 − 9 x 2 + 20 x
b) (x − 3 )(x − 4 ) = 9 x 2 − 7 x + 12
54 Halla la descomposición factorial de los siguientes polinomios e indica cuáles son sus raíces:
a) x 3 − 4x 2 − 37x + 40;
b) x 3 + 13x 2 + 42x;
c) x 3 − 7x 2 + 7x + 15.
Solución:
a) (x + 5)(x − 8)(x − 1) ; b) x(x+ 7)(x + 6) ; c) (x − 5)(x + 1)(x − 3).
Raíces: a) -5, 1, 8
b) -7, -6, 0
c) -1, 3, 5
55 Obtén un polinomio que tenga únicamente las siguientes raíces:
a) -5, -4, 1, 2
b) -1, 0, 1
Solución:
a) (x + 5 )(x + 4 )(x − 1)(x − 2) = x 4 + 6 x 3 − 5 x 2 − 42 x + 40
b) x (x − 1)(x + 1) = x 3 − x
56 Factoriza los siguientes polinomios e indica cuáles son sus raíces:
a) x 3 + 4x 2 − 20x − 48;
b) 7x 3 − 15x 2 + 58x − 8;
c) x 3 − 6x 2 − 61x + 210.
Solución:
a) (x + 2)(x − 4)(x + 6) ; b) (7 x − 1)(x 2 − 2 x + 8) ; c) (x − 3)(x + 7)(x − 10).
Raíces: a) -6, -2, 4
b)
1
7
c) -7, 3, 10
57 Factoriza los siguientes polinomios e indica cuáles son sus raíces:
a) 9x 3 − 8x 2 − 271x − 30;
b) x 3 − 5x 2 − 138x + 792;
c) x 3 − 2x 2 − 73x − 70.
14
Solución:
a) (9 x + 1)(x − 6)(x + 5) ; b) (x − 11)(x + 12)(x − 6) ; c) (x + 1)(x − 10)(x + 7).
Raíces: a) -5, −
1
,6
9
b) -12, 6, 11
c) -7, -1, 10
58 Factoriza los siguientes polinomios e indica cuáles son sus raíces:
a) x 3 − 9x 2 − 84x + 196;
b) x 3 − 3x 2 − 97x + 99;
c) x 3 + 6x 2 − 61x − 210.
Solución:
a) (x − 2)(x + 7)(x − 14) ; b) (x − 1)(x + 9)(x − 11) ; c) (x + 3)(x − 7)(x + 10).
Raíces: a) -7, 2, 14
b) -9, 1, 11
c) -10, -3, 7
59 Factoriza los siguientes polinomios e indica cuáles son sus raíces:
a) x 3 − 5x 2 + 11x − 28;
b) 3x 4 + 16x 3 − 37x 2 − 14x;
c) 3x 3 − 22x 2 − 47x + 18.
Solución:
a) (x − 4)(x 2 − x + 7) ; b) x(3 x + 1)(x − 2)(x + 7) ; c) (3 x − 1)(x − 9)(x + 2).
Raíces: a) 4
b) -7, −
1
, 0, 2
3
c) -2,
1
,9
3
60 Factoriza los siguientes polinomios e indica cuáles son sus raíces:
a) 6x 3 + 19x 2 − 321x − 54;
b) x 3 + 3x 2 − 97x − 99;
c) x 3 + 9x 2 − 84x − 196.
Solución:
a) (6 x + 1)(x − 6)(x + 9) ; b) (x + 1)(x − 9)(x + 11) ; c) (x + 2)(x − 7)(x + 14).
Raíces: a) -9, -
1
,6
6
b) -11, -1, 9
c) -14, -2, 7
61 Factoriza los siguientes polinomios e indica cuáles son sus raíces:
a) x 3 + 6x 2 − 55x − 252;
b) x 3 + 27x 2 + 191x + 165;
c) x 3 − 12x 2 + 44x − 48.
Solución:
a) (x + 9)(x − 7)(x + 4) ; b) (x + 1)(x + 11)(x + 15) ; c) (x − 2)(x − 4)(x − 6).
Raíces: a) -9, -4, 7
b) -15, -11, -1
c) 2, 4, 6
15
62 Factoriza los siguientes polinomios e indica cuáles son sus raíces:
a) x 3 + 8x 2 − 80x − 384;
b) 11x 3 + 21x 2 − 35x + 3;
c) x 3 − 23x 2 + 135x − 225.
Solución:
a) (x + 4)(x − 8)(x + 12) ; b) (11 x − 1)(x − 1)(x + 3) ; c) (x − 3)(x − 5)(x − 15).
Raíces: a) -12, -4, 8
b) -3,
1
,1
11
c) 3, 5, 15
63 Al descomponer factorialmente un polinomio se obtiene (5x + 1)(3x - 1)(x + 6)(x - 2).
a) ¿De qué grado es el polinomio?
b) ¿Cuánto vale el término independiente?
Solución:
El grado es 4.
El término independiente vale 1·(-1)·6·(-2) = 12.
64 Factoriza los siguientes polinomios e indica cuáles son sus raíces:
a) x 3 − 4x 2 − 103x − 182;
b) x 3 − 7x 2 − 16x + 112;
c) x 3 − 4x 2 + 9x − 10.
Solución:
a) (x + 7)(x + 2)(x − 13) ; b) (x − 4)(x + 4)(x − 7) ; c) (x − 2)(x 2 − 2 x + 5).
Raíces: a) -7, -2, 13
b) -4, 4, 7
c) 2
65 Factoriza los siguientes polinomios e indica cuáles son sus raíces:
a) x 3 − 6x 2 − 6x − 7;
b) x 3 − x 2 − 89x − 231;
c) x 4 + 9x 3 − 25x 2 − 225x.
Solución:
a) (x − 7)(x 2 + x + 1) ; b) (x + 3)(x − 11)(x + 7) ; c) x(x− 5)(x + 5)(x + 9).
Raíces: a) 7
b) -7, -3, 11
c) -9, -5, 0, 5
66 Factoriza los siguientes polinomios e indica cuáles son sus raíces:
a) 6x 3 + 32x 2 − 74x − 28;
14 2 93
18
b) x 3 +
x −
x+
;
5
5
5
c) x 3 − 16x 2 − 19x + 34.
16
Solución:
1⎞
1⎞
⎛
⎛
a) 6⎜ x + ⎟(x − 2)(x + 7) ; b) ⎜ x − ⎟(x + 6)(x − 3) ; c) (x − 17)(x − 1)(x + 2).
3
5
⎝
⎠
⎝
⎠
1
1
Raíces: a) -7, - , 2
b) -6, , 3
c) -2, 1, 17
3
5
67 Factoriza los siguientes polinomios e indica cuáles son sus raíces:
a) 5x 3 + 36x 2 − 83x − 18;
b) 10x 3 + 9x 2 − 301x + 30;
c) x 3 + 3x 2 − 64x + 60.
Solución:
a) (5 x + 1)(x + 9)(x − 2) ; b) (10 x − 1)(x + 6)(x − 5) ; c) (x − 1)(x + 10)(x − 6).
Raíces: a) -9, −
1
,2
5
b) -6,
1
,5
10
c) -10, 1, 6
68 Factoriza los siguientes polinomios e indica cuáles son sus raíces:
a) 2x 3 + 5x 2 − 28x − 15;
b) x 3 + 5x 2 − 29x − 105;
c) x 3 − 7x 2 − 7x + 8.
Solución:
a) (2 x + 1)(x − 3)(x + 5) ; b) (x + 7)(x − 5)(x + 3) ; c) (x + 8)(x 2 − x + 1).
Raíces: a) -5, −
1
,3
2
b) -7, -3, 5
c) -8
17