Document

¿Recuerdas qué es…?
Razón
Es el cociente indicado entre dos
números.
Proporción
Es toda igualdad entre dos
razones.
Constante de
proporcionalidad
Es el cociente de cualquiera de las
razones que intervienen en una
proporción.
Magnitudes directamente
proporcionales
Dos magnitudes son
directamente proporcionales
si al multiplicar una de ellas
por un número, la cantidad
correspondiente de la otra
queda multiplicada
por el mismo número.
Magnitudes inversamente
proporcionales
Dos magnitudes son
inversamente proporcionales
si al multiplicar una de ellas
por un número, la cantidad
correspondiente de la otra queda
dividida por el mismo número.
MAT4A_U5.indd 84
20/2/08 13:49:59
5
PROPORCIONALIDAD
El estudio de la proporcionalidad permite
establecer comparaciones entre magnitudes.
Los resultados que se obtienen mediante la
proporcionalidad se suelen expresar en
forma de porcentaje para que la información
sea más fácil de comprender. Así, por
ejemplo, si en un colectivo de 800 personas,
240 practican algún deporte los fines de
semana, se tiene una idea más clara de la
proporción si se dice que 30 personas
de cada 100 practican algún deporte.
La proporcionalidad se utiliza
habitualmente en disciplinas como la
geometría, la medicina, la sociología,
la estadística, la economía, etc., es decir,
forma parte de las actividades cotidianas
de la sociedad, y su estudio es fundamental
para trabajar en estos campos.
Los objetivos de esta Unidad son:
• Reconocer relaciones entre magnitudes.
• Aplicar los procedimientos adecuados para
resolver problemas de proporcionalidad,
cálculo de porcentajes, repartos
proporcionales y problemas de interés
bancario.
MAT4A_U5.indd 85
20/2/08 13:50:14
5
1
PROPORCIONALIDAD DIRECTA.
REGLA DE TRES DIRECTA
En la tabla se recoge la relación entre el número de litros de agua por minuto que vierte un grifo en un depósito y la cantidad de agua recogida:
Tiempo en minutos
 5
10
15
  20
Litros de agua recogida
25
50
75
100
Si se calcula el cociente entre el tiempo y la cantidad de agua vertida, se
obtienen razones iguales:
5
10
15
20
=
=
=
= 0,2
25 50 75 100
La constante de proporcionalidad directa es 0,2.
El tiempo y la cantidad de agua vertida en el depósito son dos magnitudes
directamente proporcionales.
CD
En la pestaña Actividades/
Unidad 5, encontrarás la
actividad Relación 1 unidad
5, para repasar el cálculo de
proporciones.
WEB
http://platea.pntic.mec.es/
anunezca/ayudas/magnitudes/
magnitudes_proporcionales.
htm
En esta página se puede
encontrar un repaso teórico de
los contenidos con ejemplos
resueltos.
http://descartes.cnice.mecd.
es/materiales_didacticos/
proporcionalidad_numerica/
proporcionalidad1.htm
Se explica la proporcionalidad
directa y la regla de tres simple.
Se proponen ejercicios para
cuya resolución los estudiantes
pueden solicitar ayuda
interactiva. Permite generar una
batería de ejercicios.
Si se quiere saber cuántos litros de agua hay en el depósito al permanecer el
grifo abierto durante una hora, se puede utilizar el procedimiento de la regla
de tres directa:
Si en 5 minutos el grifo vierte 25 L
en 60 minutos el grifo vierte x L
  5 25
60 x
Como son magnitudes directamente proporcionales, se tiene la proporción:
5
60
=
25
x
5 · x = 60 · 25
x =
1500
= 300 L
5
Otro procedimiento para resolver este problema es por reducción a la unidad.
Calculamos la cantidad de agua vertida en 1 minuto:
Si en 5 minutos se vierten 25 L, en 1 minuto se vierten 5 L.
Si en 1 minuto se vierten 5 L, en 60 minutos se vierten 300 L.
Dos magnitudes son directamente proporcionales si al multiplicar una
de ellas por un número, la cantidad correspondiente de la otra queda multiplicada por el mismo número.
Ejercicios
1 Si cuatro entradas para el fútbol cuestan
140 €, ¿cuánto valen 7 entradas?
2 Si la impresora del instituto imprime 8 hojas
por minuto, ¿cuánto tiempo tardará en imprimir
150 hojas?
3 Para cercar un campo A de 420 m de perímetro se necesitan 168 postes colocados a la misma
distancia. ¿Cuántos postes son necesarios para
cercar otro campo B, de 550 m de perímetro, si
hay que colocar los postes a la misma distancia
que en el campo A?
86
MAT4A_U5.indd 86
20/2/08 13:50:16
2
PROPORCIONALIDAD INVERSA.
REGLA DE TRES INVERSA
Una empresa para el control de calidad tiene que analizar 300 productos. En
la tabla se recoge el número de técnicos encargados del control de calidad y
el número de controles que cada técnico realiza:
Número de técnicos
  2
  3
 4
Número de controles
150
100
75
Se observa que al multiplicar la primera magnitud por un número cualquiera, la segunda magnitud queda dividida por el mismo número. Son magnitudes inversamente proporcionales.
Al multiplicar en cada caso el número de técnicos por el número de controles,
el producto que resulta es constante y se llama constante de proporcionalidad
inversa.
Si se desea saber el número de controles que deben realizar seis técnicos, se
puede utilizar el procedimiento de la regla de tres inversa.
Si 2 técnicos hacen 150 controles
6 técnicos hacen x controles
2 150
6 x
Al ser magnitudes inversamente proporcionales, se puede escribir:
2 150 = 6 x
x =
2 150
= 50 controles
6
Otro procedimiento para resolver este problema es por reducción a la unidad:
Si 2 técnicos hacen 150 controles, 1 técnico hace 300 controles.
Si 1 técnico hace 300 controles, 6 técnicos hacen
300
= 50 controles.
6
Dos magnitudes son inversamente proporcionales si al multiplicar una
de ellas por un número la otra queda dividida por el mismo número.
CD
En la pestaña Actividades/
Unidad 5, encontrarás la
actividad Respuesta múltiple
unidad 5, para repasar si dos
magnitudes son directamente o
inversamente proporcionales.
WEB
http://descartes.cnice.mecd.
es/materiales_didacticos/
proporcionalidad_numerica/
proporcionalidad3.htm
Se explica la proporcionalidad
inversa y la regla de tres. Se
proponen ejercicios para cuya
resolución los estudiantes
pueden solicitar ayuda
interactiva. Permite generar una
batería de ejercicios.
Ejercicios
4 Para cercar un campo se han instalado un
total de 140 postes con una separación entre ellos
de 3 metros. Si se instalan con una separación de
4 metros, ¿cuántos postes son necesarios para
cercar el campo?
6 Si cinco amigos alquilan una casa, cada uno
tiene que pagar 270 € por el alquiler. Pero si se
agregan a la casa tres amigos más, ¿cuánto tendrán que pagar cada uno por el alquiler de la misma casa?
5 Un montacargas puede elevar 15 cajas
de 25 kg de peso cada una. Si las cajas pesaran
40 kg, ¿cuántas cajas podría elevar el montacargas?
7 En el viaje de fin de curso, los alumnos de
4.º ocupan 32 habitaciones triples en un hotel.
¿Cuántas habitaciones ocuparían si las habitaciones fueran cuádruples?
87
MAT4A_U5.indd 87
20/2/08 13:50:17
5
3
APLICACIONES
DE LA PROPORCIONALIDAD
La proporcionalidad entre magnitudes permite resolver problemas sobre
repartos, porcentajes, incrementos, descuentos o interés bancario.
A
REPARTOS DIRECTAMENTE PROPORCIONALES
Ejemplo 1
Una comunidad de vecinos tiene que arreglar el tejado de la casa. El importe de las
obras es 7 920 €. Esta cantidad deberá ser
aportada por los vecinos de forma proporcional a la superficie de sus viviendas. Si
en cada planta del edificio hay tres viviendas cuyas superficies son 60 m 2, 90 m 2 y
180 m 2 y el edificio tiene cuatro plantas,
¿cuánto dinero tiene que aportar cada tipo
de vivienda y qué cantidad deberá abonar
cada vecino?
La cantidad de dinero que debe aportar
cada tipo de vivienda es proporcional a la
superficie:
Las viviendas de 60 m2 aportan x €.
Las viviendas de 90 m2 aportan y €.
Las viviendas de 180 m2 aportan z €.
La suma de las cantidades aportadas es el
importe total de la reparación:
x + y + z = 7 920 €
Como las cantidades aportadas son directamente proporcionales a las superficies,
se tiene:
x
y
z
=
=
=c
60
90
180
x = 60 · c
y = 90 · c
z = 1 80 · c
Para obtener la constante c de proporcionalidad se resuelve la ecuación:
60c60c
+ 90
+ 180c
60c
==77 920
+
920
90 c + 180c
330c===77 920
7920
920
+ c90c
+ 180c
330c
c 24
==
247 920
c330c
=
c = 24
Las cantidades que tienen que aportarse son:
Cantidad
que aportan
Cantidad
por propietario
4 pisos de 60 m2
60 · 24 = 1 440 €
1 440 : 4 = 360 €
4 pisos de 90 m2
90 · 24 = 2 160 €
2 160 : 4 = 540 €
4 pisos de 180 m2
180 · 24 = 4 320 €
4 320 : 4 = 1 080 €
Viviendas
88
MAT4A_U5.indd 88
20/2/08 13:50:19
B
REPARTOS INVERSAMENTE PROPORCIONALES
Ejemplo 2
Una empresa realiza un proyecto y obtiene 18 000 € de beneficio, que decide repartir entre las
tres categorías de trabajadores que han colaborado en el mismo. El reparto se hace de forma
inversamente proporcional al sueldo base que percibe cada categoría de trabajadores. Las
cantidades percibidas mensualmente por cada categoría son:
Personal de administración
Personal técnico
Responsables de departamento
1 000 €
1 200 €
1 500 €
¿Qué beneficio le corresponde a cada sector de trabajadores?
Los beneficios que recibe cada sector de trabajadores son:
— El personal de administración recibe x, cantidad inversamente proporcional a 1 000.
— El personal técnico recibe y, cantidad inversamente proporcional a 1 200.
— Los responsables de departamento reciben z, cantidad inversamente proporcional a 1 500.
1
c
1 000
1
y=
c
1 200
1
z =
c
1 500
x=
x
y
z
=
=
=c
1
1
1
1 000
1 200
1 500
La suma de las cantidades que cada uno recibe es igual a la cantidad que hay que repartir:
x + y + z = 18 000 €
Para obtener la constante de proporcionalidad se plantea la ecuación:
c
cc
c
+
++ c =+ 18c000 = 18 000
1 000
11200
1
500
000
1 200
1 500
6c
5c
6 · c 6 c6 ·5c· c5 c 5 ·4c4· c
6·c
5·c
4·c
6 c + 45cc = 184000
c
418· 000
c
+ + +++
+
+
= 18 000
== 18
000 = 18 000 +
+
+ 6 000 +
= 18 000
6 · 1 0006 000
5
·
1
200
4
·
1
500
6
000
6
000
6 · 1 000
5 · 1 200 4 · 1 500
6
000
6
000
6 · 1 000
5 · 1 200 4 · 1 500
6 000
6 000
6 000
15c
6 000 186000
15c
6 000 18 000
15c
000 =18
000 000
c =
7 200
18
000 = 18 000
c =
= 7=200
000
= 18 000
c 15
=
= 7 200 000
6 000
15
6 000
15
6 000
c
c
c
+
+
= 18 000
1 000
1 200
1 500
Las cantidades que debe recibir cada categoría de trabajadores son:
x =
7 200 000
= 7 200 €
1 000
y =
7 200 000
= 6 000 €
1 200
z =
7 200 000
= 4 800 €
1 500
Ejercicios
8 Para la puesta en marcha de un negocio, tres
socios aportan respectivamente 5 000 €, 8 000 € y
7 000 €. Cuando los beneficios llegan a 140 000 €,
deciden liquidar el negocio. ¿Qué cantidad de dinero recibirá cada socio?
9 En una competición de tiro al plato los tres
primeros clasificados se reparten 12 000 € de forma inversamente proporcional a los fallos cometidos. Si los fallos son 2, 3 y 6 respectivamente, ¿qué
dinero recibe cada uno?
89
MAT4A_U5.indd 89
20/2/08 13:50:20
5
C
PORCENTAJES
La proporcionalidad entre magnitudes expresada en porcentajes da una información más fácil de comprender. Determinadas informaciones se expresan
en porcentajes porque de esa forma adquieren un carácter más general.
Así, por ejemplo, si la publicidad de un centro comercial anuncia que los
productos están rebajados y en otro centro se especifica que todas las mercancías están rebajadas un 20 %, es evidente que en el segundo centro podemos conocer el precio de cualquier producto, mientras que la información
proporcionada por la publicidad del primer centro es incompleta.
Cálculo de porcentajes
Se sabe que en las últimas elecciones generales, en la ciudad A el 74 % de los
habitantes con derecho a voto acudieron a votar, mientras que en la ciudad
B, sobre un total de 15 250 electores, ejercieron su derecho al voto 10 370
personas. Si queremos comparar el grado de participación en ambas ciudades, hay que calcular el porcentaje de participación en la ciudad B.
WEB
http://descartes.cnice.mecd.
es/materiales_didacticos/
proporcionalidad_numerica/
proporcionalidad2.htm
Primero se explica qué es
un reparto proporcional y se
resuelve un ejercicio. Luego
se proponen ejercicios para
cuya resolución se puede
solicitar ayuda interactiva.
Permite generar una batería de
ejercicios.
http://descartes.cnice.mecd.
es/materiales_didacticos/
proporcionalidad_numerica/
proporcionalidad4.htm
Primero se explica qué es
un reparto proporcional y se
resuelve un ejercicio. Luego
se proponen ejercicios para
cuya resolución se puede
solicitar ayuda interactiva.
Permite generar una batería de
ejercicios.
http://descartes.cnice.mecd.
es/materiales_didacticos/
Fracciones_decimales_
porcentajes/Fracciones_5.htm
A través de una escena
interactiva se resuelven
cuestiones y ejercicios
relacionados con los
porcentajes
http://www.mamutmatematicas.
com/ejercicios/porcentaje.php
Este generador hace hojas de
ejercicios con porcentajes.
Presenta problemas en palabras
y se puede configurar la
terminología a sus requisitos
particulares.
90
MAT4A_U5.indd 90
Si de 15 250 personas acuden a votar 10 370 personas,
De 100 personas acuden a votar x.
Es decir:
15 250 100
=
10 370
x
x =
10 370
100 = 68 %
15 250
Esto significa que en la ciudad B, de cada 100 electores han votado 68. La
participación en la ciudad B fue menor que en la ciudad A.
Se puede comparar el índice de participación porque, al estar expresadas las
cantidades en porcentajes, la referencia en ambas ciudades es la misma:
100 electores.
La información de la ciudad A no precisa conocer el número de electores ni
el número de personas que acudieron a votar. Es una información en términos relativos. Sin embargo, la información de la ciudad B, más complicada
de retener, está dada en términos absolutos y no se puede utilizar para establecer comparaciones.
Aumento y disminución porcentuales
Se considera que hay un aumento porcentual si una cantidad se incrementa un determinado porcentaje; por el contrario, se dice que hay una disminución porcentual si la cantidad disminuye un determinado porcentaje.
Por ejemplo, los precios de los productos tienen aumentos porcentuales si
se les añade el IVA (impuesto del valor añadido). En las rebajas, los precios
de los productos tienen disminuciones porcentuales.
Si un objeto tiene un precio N y el IVA que se aplica es el 16 % del precio,
entonces:
— El aumento porcentual es el 16 % de N
16
N = 0,16 N
100
— El valor final del objeto es N + 0,16 · N = (1 + 0,16) · N = 1,16 · N
20/2/08 13:50:22
Si un producto con un precio N está rebajado un 20 %, se tiene:
20
N = 0,20 · N
100
— El valor final del producto es N – 0,20 · N = (1 – 0,20) · N = 0,80 · N
— La disminución porcentual es el 20 % de N
Si se incrementa un p % una cantidad N se obtiene:
N+N
p
p
= N 1+
100
100
WEB
http://descartes.cnice.mecd.
es/materiales_didacticos/
Fracciones_decimales_
porcentajes/Fracciones_5.htm
A través de una escena
interactiva se resuelven
cuestiones y ejercicios
relacionados con
aumentos, disminuciones y
encadenamientos porcentuales.
Si se disminuye un p % una cantidad N se obtiene:
N
N
p
=N 1
100
p
100
Ejemplo 3
Un empleado tiene un sueldo bruto de 1 500 €, pero a principio
de año la nómina subirá el 3 %. Si el IRPF (impuesto sobre la
renta de las personas físicas) es del 12 %, ¿cuál es el sueldo neto
que percibirá el año que viene?
Aumento porcentual:
3 % de 1 500
3
100
1 500 = 0,03 1 500 = 45 €
El sueldo bruto será 1 500 + 45 = 1 545 €.
Disminución porcentual:
12 % del IRPF
12
100
1 545 = 0,12 1 545 = 185,40 €
El sueldo neto será 1 545 – 185,40 = 1 359,60 €.
Sueldo
inicial
Sueldo con el aumento
del 3 %
Sueldo con el descuento
del 12 % de IRPF
S
(1 + 0,03)S
(1 – 0,12) · (1 + 0,03)S
1 500 €
1,03 · 1 500 = 1 545 €
0,88 · 1 545 = 1 359,60 €
Ejercicios
10 Si tres de cada cinco personas usan gafas,
¿cuál es el porcentaje de personas que no usan
gafas? ¿Y cuál es el porcentaje de personas que
usan gafas?
11 El 2,5 % de las piezas que fabrica una máquina son defectuosas. Si un día salieron 135 piezas
defectuosas, ¿cuántas piezas se fabricaron en ese
día?
91
MAT4A_U5.indd 91
20/2/08 13:50:24
5
D
INTERÉS BANCARIO
Si una entidad bancaria presta un capital, la entidad recibe como beneficio
un tanto por ciento del capital prestado. De igual forma, si una persona
deposita en un banco una cantidad de dinero, recibe a cambio un determinado porcentaje de beneficio. El beneficio que se recibe por préstamos o
depósitos de dinero se llama interés, y el tanto por ciento al que se presta o
deposita se denomina tipo de interés.
WEB
http://descartes.cnice.mecd.
es/materiales_didacticos/
proporcionalidad_numerica/
proporcionalidad6.htm
Esta página explica qué es
y cómo se calcula el interés
simple. Luego propone
ejercicios para resolver y
solicitar ayuda interactiva.
Permite generar una batería de
ejercicios.
El interés bancario es el beneficio que se obtiene por prestar una cierta
cantidad de dinero o capital.
Interés simple
Al prestar o depositar un capital, si el interés que se obtiene cada año no se
añade al capital para producir nuevos intereses durante el siguiente año,
se dice que el depósito o préstamo es a interés simple.
Ejemplo 4
¿Qué beneficio se obtiene si se deposita en un banco durante tres años un capital de 8 000 € al
2,5 % de interés simple anual? El 2,5 % de interés simple significa que, por cada 100 € depositados durante un año, se obtiene un beneficio de 2,50 €. De esta forma, por reducción a la unidad se tiene:
100 €
en 1 año producen un interés de 2,50 €
2,5
= 0,025 €
100
1€
en 1 año
produce un interés de
1€
en 3 años
produce un interés de 0,025 · 3 = 0,075 €
8 000 €
en 3 años
producen un interés de 0,075 · 8 000 = 600 €
Si se generaliza el resultado se puede obtener una expresión que permite el cálculo del interés de una forma más sencilla:
100 €
en 1 año
1€
en 1 año
1€
en t años
C€
en t años
producen un interés de r €
r
 €
produce un interés de
100 r
· t € 100
r
producen un interés de I = C ·
· t  100
produce un interés de El beneficio producido por un capital C prestado durante t años al r % de
r
interés simple es I = C
t.
100
Ejercicios
12 Calcula el interés que se obtiene colocando 3 000 € al 3,5 % durante: a) 1 año. b) 3 años.
92
MAT4A_U5.indd 92
20/2/08 13:50:26
Interés compuesto
Al prestar o depositar un capital, si el interés que se obtiene cada año se
añade al capital para producir nuevos intereses durante el siguiente año,
se dice que el depósito o préstamo es a interés compuesto.
Ejemplo 5
¿Cuál es el beneficio que se obtiene si se deposita en un banco durante tres años un capital de 8 000 € al 2,5 % de interés compuesto?
Como el interés es compuesto, los intereses se acumulan al capital al final de cada año de la siguiente forma:
Año
Capital al
principio
del año
Interés
2,5 %
Capital
al final del año
1.°
8 000 €
8 000 · 0,025 = 200 €
8 000 + 200 = 8 200 €
2.°
8 200 €
8 200 · 0,025 = 205 €
8 200 + 205 = 8 405 €
3.°
8 405 €
8 405 · 0,025 = 210,13 €
8 405 + 210,13 = 8 615,13 €
El interés acumulado durante los tres años es:
8 615,13 – 8 000 = 615,13 €
Observa que en los ejemplos 4 y 5 los intereses obtenidos son distintos. En
este segundo caso el interés obtenido es mayor porque el capital se incrementa cada año, cosa que no ocurre si el interés es simple.
El cálculo del interés después de tres años se puede realizar teniendo en cuenta que se aplica un incremento porcentual tres veces consecutivas, es decir:
8 000 · (1 + 0,025)3 = 8 615,13 €
Año
Capital al
principio del
año
1.°
C
2.°
C 1+
...
n
Se incrementa el capital
un r %
C 1+
r
100
C 1+
r
100
...
C 1+
r
100
r
100
1+
C 1+
r
100
...
n 1
C 1+
r
100
Capital al
final del año
C 1+
r
100
r
100
WEB
2
...
n 1
1+
r
100
C 1+
r
100
n
El capital final que se obtiene al prestar o depositar un capital C a un r % de
interés compuesto durante n años se calcula mediante la expresión:
n
r
CF = C 1 +
100
MAT4A_U5.indd 93
http://descartes.cnice.mecd.
es/materiales_didacticos/
proporcionalidad_numerica/
proporcionalidad7.htm
Esta página explica qué es
y cómo se calcula el interés
compuesto. Luego propone
ejercicios para resolver y
solicitar ayuda interactiva.
Permite generar una batería de
ejercicios.
93
20/2/08 13:50:28
5
EJERCICIOS RESUELTOS
1 ¿Encuántotiemposeincrementaun20%uncapitalcolocadoal
3,5%deinteréscompuesto?
Datosconocidos
Tipo de interés: 3,5%.
Capital: C.
Incógnita
Tiempo: t.
Los intereses en n años son el 20 % del capital inicial C, es decir, los intereses
son: 0,20 C. Como el capital inicial más los intereses producidos en n años es
el capital final, se tiene:
C + 0,20C = (1 + 0,20)C = 1,20C
El capital final viene dado por la expresión:
CF = C 1 +
Sustituyendo: 1,20C = C 1 +
3,5
100
r
100
n
n
1,20 = 1,035n
La determinación de n se obtiene por tanteo utilizando la calculadora de la
siguiente forma:
1,035 SHIFT x y 5 = 1,187686
1,035 SHIFT x y 5,5 = 1,208292
y
1,035 SHIFT x 5,3 = 1,200007
Como n = 5,3 años, el capital inicial se incrementa un 20 % en 5 años y
108 días.
2 Sereparten60000€entretrespersonas,demodoquelaprimera
recibeun30%menosquelasegundayéstaun10%másquelatercera.
¿Quécantidadrecibecadauna?
Datosconocidos
Cantidad de dinero que hay que repartir: 60 000 €.
Porcentajes que perciben:
— La primera persona: 70 % de lo que recibe la segunda persona.
— La segunda persona: 10 % más que la tercera persona.
Incógnita
94
MAT4A_U5.indd 94
Cantidad de dinero que recibe la tercera persona: x.
20/2/08 13:50:33
Los porcentajes que cada persona recibe se pueden expresar en la tabla:
Personas
Cantidad que reciben
3.ª
x
2.ª
x +  0,10 x =  1,10 x
1.ª
0,70  ·  1,10 x = 0,77 x
Para determinar el valor de x, planteamos la ecuación:
0,77x + 1,10x + x = 60000
2,87x = 60000
60000
x =
= 20 905,92
2,87
Las cantidades que reciben son:
Personas
Cantidad que reciben
1.ª
16 097,56 €
2.ª
22 996,52 €
3.ª
20 905,92 €
Total
60 000,00 €
3 SidebidoalIPC(índicedepreciosalconsumo),elpreciodeunartículodeconsumoaumentaun3%yenlasrebajasdeenerosupreciobajaun
15%,¿sepuededecirqueenrealidadsóloseharebajadoel12%?
Para resolver este problema es más cómodo organizar los datos en una tabla
y realizar las operaciones en el orden que se detallan en el enunciado del
mismo.
Precio inicial
Subida IPC
3%
Precio
incrementado
Rebaja
15 %
Precio final
x
0,03  · x
x   +  0,03  · x =  1,03 x
0,15  ·  1,03 x =  0,1545 x
1,03 x   –  0,1545 x =  0,8755 x
El precio final de este artículo es 0,8755 x, que expresado en porcentaje es el
87,55 % de x.
La rebaja del 12 % significa que el precio final es 0,88 x o el 88 % de x. Luego
no es correcto afirmar que el artículo sólo se ha rebajado el 12 %.
MAT4A_U5.indd 95
95
20/2/08 13:50:34
5
EJERCICIOS PROPUESTOS
Proporcionalidaddirectaeinversa
1
Un depósito de agua se vacía si se llenan 200
botellas de 1,5 L. ¿Cuántas botellas de 2 L se pueden
llenar con el contenido del depósito?
Estudia si hay relación de proporcionalidad en 2
tre la longitud del lado de un cuadrado y su área.
Estudia si hay relación de proporcionalidad en 3
tre la longitud del lado de un cuadrado y su perímetro.
Una fábrica de productos lácteos envasa la pro 4
ducción de yogures de un día en 1 500 paquetes de
6 unidades cada uno. Si los paquetes constan de 8 unidades, ¿en cuántos paquetes se envasa la producción de
ese día?
Paco tarda 15 minutos en recorrer la distancia
8
desde su casa al instituto si da 70 pasos por minuto. Un
día que no le suena el despertador tiene sólo 12 minutos para llegar. ¿Cuántos pasos por minuto tiene que dar
para llegar sin retraso a clase?
Para realizar unas obras en la vía del tren, se
9
calcula que 120 trabajadores tardarán 40 días. Si se contrata a 30 trabajadores más, ¿en cuánto tiempo se terminarán las obras?
Un grupo de 50 excursionistas contrata un
10
autobús para hacer una excursión, y cada uno debe abonar 6,5 € para pagar el alquiler del autobús. Si se apuntan
a la excursión 5 personas más, ¿cuánto debe pagar ahora cada excursionista?
En las despensas de un barco hay alimentos
11
suficientes para dar de comer a 60 personas durante
40 días. Si tienen que recoger a los 30 tripulantes de un
barco averiado, ¿durante cuántos días podrán alimentarse todas las personas que ahora viajan en el barco?
12
Analiza si hay proporcionalidad entre los radios
de dos círculos y sus áreas.
Repartosproporcionales
Una máquina embotelladora coloca 4 500 ta 5
pones en 5 horas de funcionamiento:
a) ¿Cuántos tapones colocará si la máquina funciona
6 horas?
b) ¿Y si funciona 7 horas y media?
6
Un ciclista corre a una velocidad media de
22 km/h y tarda 2 horas en hacer un determinado recorrido. Si la velocidad media es de 24 km/h, ¿cuánto tiempo tarda en hacer el mismo recorrido?
96
El diámetro de las ruedas de la bicicleta de Fran
7
mide 60 cm y el diámetro de las ruedas de la bicicleta de
Aitor 80 cm. Si las ruedas de la bicicleta de Aitor dan 150
vueltas para recorrer una distancia, ¿cuántas vueltas dan
las ruedas de la bicicleta de Fran para recorrer la misma
distancia?
MAT4A_U5.indd 96
13
En la campaña electoral, un canal de televisión
ofrece a los partidos políticos 140 minutos para informar
sobre sus programas electorales.
Si la distribución del tiempo tiene que ser directamente
proporcional al número de concejales obtenidos en las
últimas elecciones, calcula el tiempo que corresponde
a cada partido si el número de concejales es el que aparece en la tabla:
Partido
Número
de concejales
A
12
B
10
C
 5
D
 8
20/2/08 13:50:36
Cuatro amigos acuden a un comercio para com 14
prar CD. María compra 4, Marta compra 6, Jorge 8 y Cristina 5. Si todos los compactos tienen el mismo precio y
el importe total de la compra es 345 €, ¿cuánto debe
pagar cada uno?
En el bote de las propinas de un bar hay 300 €,
15
que se tienen que repartir de forma proporcional entre
los tres camareros. Si han trabajado 10, 6 y 9 horas respectivamente, ¿cuánto dinero recibirá cada camarero?
Porcentajes
20
Calcula mentalmente:
a) El 20 % de 400.
b) El 25 % de 1 200.
c) El 80 % de 600.
d) El 75 % de 500.
16
Dos amigos compran una motocicleta valorada
en 2 200 € para emplearla en sus respectivos negocios.
Si uno de ellos utilizará la moto 4 días a la semana y el
otro 3 días, ¿qué cantidad deberá aportar cada uno para
pagar la motocicleta?
Escribe las siguientes fracciones en forma de
21
porcentaje:
a)
1
2
b)
1
4
c)
2
5
17
Dos ganaderos alquilan unos terrenos de pastos
por 2 800 €. El primero tiene 60 vacas y el segundo 45 novillos. Si una vaca come tanta hierba como tres novillos,
¿cuánto debe pagar cada ganadero por el alquiler de los
terrenos para que el importe sea proporcional a la cantidad de pasto consumido por sus reses?
d)
1
10
e)
3
10
f)
6
20
Para paliar los daños ocasionados por una ria 18
da en una comarca se destinan 3 000 000 €. Las poblaciones afectadas son cuatro, y la ayuda económica se
va a distribuir proporcionalmente al número de viviendas afectadas. Determina la cantidad de dinero que se
asigna a cada población si la distribución de viviendas
afectadas es:
Escribe en forma de porcentaje:
a) 0,5
b) 0,75
c) 0,03
d) 0,8
e) 0,2
f) 1,5
En el entrenamiento de los porteros de un equi 23
po de fútbol se anotan los resultados de los lanzamientos de penalti como se expresa en la tabla:
Portero
Penaltis
lanzados
Penaltis
parados
Población
Número de viviendas
afectadas
A
24
10
A
  70
B
15
 5
B
250
C
18
 7
C
  85
D
300
19
Tres trabajadores reciben 1 000 € para repartirse de forma directamente proporcional al número de
horas que cada uno ha trabajado. Si el primero ha trabajado 7 horas, el segundo 5 horas y el tercero 8 horas,
¿qué cantidad de dinero recibirá cada trabajador?
MAT4A_U5.indd 97
22
¿Cuál es el porcentaje de paradas de cada portero?
Juan hace una limonada con 5 litros de agua y
24
3 litros de zumo de limón. ¿Qué porcentaje de zumo
tiene la limonada?
25
Una epidemia en la granja mató el 20 % de las
aves y quedaron 420 sanas. ¿Cuántas aves murieron?
97
20/2/08 13:50:38
5
EJERCICIOS PROPUESTOS
El equipo campeón de la liga de fútbol ha ga 26
nado 28 partidos, ha empatado 8 encuentros y sufrió
4 derrotas. ¿Cuál es el porcentaje de victorias, empates
y derrotas?
33
Una ciudad tiene 3 428 500 habitantes. Si en el
mes de agosto la población se reduce un 35 %, ¿cuántos
habitantes tiene la ciudad durante ese mes?
78
de
22
cobre y estaño. Si la lámpara de bronce de un palacio
pesa 450 kilogramos:
34
El bronce es una aleación en proporción
a) ¿Qué porcentaje de cada metal tiene la lámpara?
b) ¿Cuántos kilogramos de cobre y estaño se han empleado en la fabricación de la lámpara?
27
Un artículo de consumo tiene un precio N.
a) Calcula por qué número hay que multiplicar N si se
rebaja un 12 % y luego se encarece un 5 %.
b) Calcula el porcentaje de aumento o disminución del
precio del artículo.
En una prueba de velocidad de mecanografía,
28
de las 200 palabras dictadas 60 llevaban tilde.
En la prueba, Cristina tuvo un 30 % de errores, de los
cuales 12 eran palabras que debían llevar tilde. Aitor cometió un 35 % de errores, de los cuales 15 eran palabras
que debían llevar tilde:
a) Calcula cuántas palabras erróneas sin tilde escribieron
Cristina y Aitor.
b) Calcula el tanto por ciento de palabras mal escritas
por cada uno de ellos, excluyendo las que llevan tilde
y las escriben con error.
En un examen de 80 preguntas se puede fallar
29
hasta el 5 % de ellas. ¿Cuántas preguntas se pueden contestar mal?
35
Un equipamiento deportivo costaba al comenzar la temporada 120 € y su precio sufrió las siguientes
variaciones: en Navidad el precio subió el 20 %, en las
rebajas su precio descendió un 15 % y con la proximidad
del verano subió un 5 %. ¿Cuál es el precio del equipamiento deportivo al comienzo del verano?
En un comercio cierto artículo que tiene un
36
precio de venta de 60 € no tiene aceptación por parte
de los consumidores. El responsable del comercio baja
el precio de ese artículo un 15 % para incentivar la venta.
Como la medida no ha dado resultado, decide rebajarlo
un 5 % más:
a) Calcula el precio del artículo después de la segunda
rebaja.
b) Razona si se obtiene el mismo precio si lo hubiera
rebajado directamente un 20 %.
37
A un agricultor le pagan por un kilogramo de
patatas 0,20 €. Si en la tienda vale 1,50 € el kilogramo,
¿cuál es el incremento del precio? Expresa el resultado
en porcentaje.
30
Un electrodoméstico cuesta 220 € rebajado y
242 € sin rebaja. ¿Qué tanto por ciento se aplica en la
rebaja?
31
Reparte 15 000 € entre tres personas, de modo
que la primera reciba un 20 % más que la segunda y
ésta un 15 % más que la tercera.
98
En un comercio un artículo está rebajado un
32
18 % y su precio es 30,50 €. ¿Cuál es el precio inicial del
artículo?
MAT4A_U5.indd 98
20/2/08 13:50:41
El intestino tiene una longitud total de 7,5 me 38
tros. Si el intestino grueso mide 1,5 m, ¿qué porcentaje
de longitud corresponde al intestino delgado?
Interésbancario
¿A qué tipo de interés simple debe colocarse
39
un capital de 12 500 € para que se obtenga un interés de
800 € en dos años?
45
Un coche cuesta 22 600 €. Si se paga como en3
trada los
del precio y el resto en 10 mensualidades
5
con un interés simple del 6 %:
a) ¿Cuál será la cuota mensual?
b) ¿Cuál es el precio que finalmente se ha pagado por
el coche?
Estudia la evolución de un capital de 6 000 €
40
depositado en el banco al 5,5 % de interés compuesto
durante cuatro años.
¿Qué beneficio produce un capital de 20 000 €
41
en 1 000 días si se le aplica un interés simple del 6 %?
42
Diego abre una cuenta en un banco con 300 €,
y el banco le ofrece un 2,5 % de interés anual sobre la
cantidad que hay al principio de cada año.
a) ¿Qué beneficios obtiene en un año?
b) ¿Y en tres años?
¿En cuánto tiempo hay que colocar 12 000 € al
46
2 % de interés simple para obtener unos intereses de
1 680 €?
47
Calcula el interés producido por un capital de
2 000 € al 2,6 % de interés compuesto durante cuatro
años.
Julio y Elena abren cada uno una cuenta en dos
48
bancos diferentes. En la tabla se expresa el capital ingresado y el capital final al cabo de dos años de depósito.
43
Laura tiene 3 000 € ahorrados y estudia las ofertas de dos bancos:
— Banco A: Depósito a 3 años, al 2 % de interés compuesto anual.
— Banco B: Depósito a 2 años, al 3 % de interés simple
anual.
¿Cuál es la mejor oferta?
44
En el año 2002 una abuela dejó a su nieto como
herencia 5 000 € en una cartilla de ahorros al 4,5 % de
interés compuesto. ¿Cuánto dinero tendrá el nieto en
enero del año 2012?
MAT4A_U5.indd 99
Julio
Elena
Capital inicial
12 400 €
14 600 €
Capital a los 2 años
12 850 €
15 420 €
a) Calcula el tipo de interés simple que aplica cada entidad bancaria.
b) Si el interés es compuesto, ¿qué tipo de interés aplica
cada entidad?
49
Una entidad bancaria ofrece el 8 % de interés
si los depósitos de dinero se mantienen al menos durante un año a plazo fijo. Si se depositan 7 000 €:
a) ¿Qué beneficio se obtendrá al cabo de un año?
b) Si el depósito es durante cuatro años, ¿qué beneficios
se habrán conseguido al finalizar el cuarto año?
99
20/2/08 13:50:43
5
PARA REPASAR
EN GRUPO
Elabora con tu grupo de trabajo un esquema con los siguientes conceptos
de la Unidad y pon un ejemplo de cada uno de ellos.
CONCEPTO
Razón
Es el cociente indicado entre dos números.
Proporción
Es toda igualdad entre dos razones.
Constante
de proporcionalidad
Es el cociente de cualquiera de las razones 
que intervienen en una proporción.
Magnitudes
directamente
proporcionales
Dos magnitudes son directamente proporcionales si 
al multiplicar una de ellas por un número, la cantidad 
correspondiente de la otra queda multiplicada 
por el mismo número.
Magnitudes
inversamente
proporcionales
Dos magnitudes son inversamente proporcionales si 
al multiplicar una de ellas por un número, la cantidad 
correspondiente de la otra queda dividida 
por el mismo número.
Aplicaciones
de la proporcionalidad
Reparto directamente proporcional.
Reparto inversamente proporcional.
Porcentajes.
Interés bancario.
Interés bancario
Es el benefi cio que se obtiene al prestar una cierta 
cantidad de dinero o capital.
Tipo de interés
Es el tanto por ciento al que se presta o deposita 
un capital.
Interés simple
Es la modalidad del préstamo o depósito en la que 
los intereses que se obtienen cada año no se añaden 
al capital para producir nuevos intereses durante 
el siguiente año.
Interés compuesto
Es la modalidad del préstamo o depósito en la que 
los intereses que se obtienen cada año se añaden 
al capital para producir nuevos intereses durante 
el siguiente año.
CD
En la pestaña Actividades/
Unidad 5, encontrarás la
actividad Relación 2 unidad 5,
para repasar los conceptos más
importantes de la Unidad.
DEFINICIÓN
100
MAT4A_U5.indd 100
20/2/08 13:50:45
CURIOSIDADES,
JUEGOS Y DESAFÍOS
Actualmente sabemos que las civilizaciones más antiguas tenían actividades comerciales. Hay datos que indican que ya en
el siglo XVII a.C. había actividades bancarias en la civilización
mesopotámica.
En Grecia, a finales del siglo V a.C., se hacían pequeños préstamos de dinero en metálico. En el Antiguo Testamento hay referencias
de préstamos con y sin interés.
En Grecia y Roma para que un préstamo no fuera considerado «usura» no debía superar el 12 % de interés. A partir del siglo IV, los
abusos en los tipos de interés provocaron que los préstamos entre
cristianos fueran declarados inmorales por alterar el «precio justo».
La prohibición eclesiástica dejó en manos de judíos y sirios toda la
actividad prestamista.
Con la desaparición del Imperio Romano de Occidente, la moneda
romana fue sustituida por un gran número de monedas con valores
diferentes. Para facilitar el intercambio comercial aparecieron los
cambistas, que pasaron a llamarse banqueros por realizar sus actividades en una banca (asiento sin respaldo o mesa de cuatro pies
colocada en un sitio público).
Al establecerse el comercio con Oriente, los comerciantes acudieron
a los caballeros de la Orden del Temple para asegurar la custodia y el transporte del dinero entre los pueblos. El comerciante depositaba el dinero en
una casa de la Orden y a cambio recibía un documento con el que podía recuperar su dinero en cualquier otra casa de los templarios. Estos documentos
dieron lugar a las primeras letras de cambio.
El préstamo con interés fue aceptado poco a poco a raíz de la Reforma protestante en el siglo XVI, lo que permitió el desarrollo de las finanzas y del capitalismo.
DESAFÍO MATEMÁTICO
Un fabricante vende al público sus productos con un incremento del 30 %
sobre el precio de coste. A sus empleados decide vendérselos al precio de
coste. Para ello, les hace una rebaja del 30 % sobre el precio de venta al público. ¿Es correcta la decisión del fabricante?
MAT4A_U5.indd 101
101
20/2/08 13:51:03