Adición y sustracción de fracciones algebraicas

Materia: Matemática de Octavo
Tema: Adición y sustracción de fracciones algebraicas
¿Y si tuvieras dos fracciones algebraicas como
y
con diferentes
denominadores?¿Cómo harías para sumarlas o restarlas? Después de terminar esta lección,
serás capaz de sumar o restar fracciones algebraicas con igual o distinto denominador.
Marco teórico
Como las fracciones numéricas, las fracciones algebraicas también representan una parte de
un todo. Recuerda que antes de sumar o restar fracciones debemos asegurarnos que tienen
el mismo denominador. Una vez que ambas fracciones tienen el mismo denominador,
podemos realizar una suma o resta cualquiera de los numeradores.
Sumar y restar fracciones algebraicas con mismo denominador
Las fracciones con denominadores comunes se combinan de la siguiente manera:
Ejemplo A
Realiza las siguientes operaciones y simplifica.
a)
b)
c)
Solución
a) Ya que los denominadores son iguales, sumamos los numeradores:
b)
c) Ya que los denominadores son iguales para este caso también, unimos los numeradores.
Encontrar el mínimo común múltiplo de dos polinomios
Para sumar y restar fracciones con diferentes denominadores, primero debemos conseguir
un denominador común entre ellas. En general, debemos encontrar el mínimo común
múltiplo. Recuerda que el mínimo común múltiplo de dos o más números es el
menor número que es múltiplo de todos ellos.
El procedimiento para encontrar el mínimo común múltiplo para fracciones algebraicas es
muy similar. Factorizamos los polinomios de los denominadores y formamos el mcm a través
de una multiplicación sencilla y en caso de repetirse un factor, tomamos la potencia más alta.
Veamos algunos ejemplos.
Ejemplo B
Encuentra el mcm de
Solución
y
.
Primero reescribe los enteros como factores primos.
Las dos expresiones pueden escribirse como:
Para encontrar el mcm, toma la mayor potencia de cada factor que aparece en cada uno de
los términos.
Ejemplo C
Encuentra el mcm de
y
.
Solución
Factoriza los polinomios por completo:
Si tomamos los factores con mayor potencia de ambas expresiones nos queda:
Es costumbre dejar el mcm en forma factorizada, ya que así se pueden encontrar factores
que se cancelan y soluciones que se excluyen de la función.
Sumar y restar fracciones algebraicas con distinto denominador
Ahora estamos listos para sumar y restar fracciones algebraicas con distinto
denominador. Utilizamos el siguiente procedimiento.
1. Encuentra el mínimo común múltiplo (mcm) de los denominadores.
2. Expresa cada fracción como una fracción equivalente con el nuevo denominador común.
3. Suma o resta las fracciones.
Ejemplo D
Realiza la siguiente operación y simplifica:
Solución
Los denominadores no se puede factorizar más, por lo que el mcm es simplemente el
producto de los denominadores:
. Eso significa que la primera fracción tiene
que ser multiplicada por el factor
y la segunda fracción tiene que ser multiplicada
por el factor
:
Ejemplo E
Realiza la siguiente operación y simplifica:
.
Solución
Ten en cuenta que los denominadores son casi iguales, solo se diferencian por un factor -1.
Ejercicios resueltos
a) Calcula el mcm de
y
b) Realiza la siguiente operación y simplifica:
.
.
Solución:
a) Primero factorizamos los dos polinomios por completo para verificar si existen factores
comúnes.
y
Dado a que los dos polinomios no tienen ningún factor común, significa que el mcm de los
dos polinomios es su producto:
b.) Ambas fracciones tienen el mismo denominador, por lo tanto unimos los numeradores.
Ejercicios
Lleva a cabo las siguientes operaciones y simplifica al máximo. Deja el denominador en
forma factorizada.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.