Primera Fecha Ambos Niveles

XIII
Primera Fecha
25 de Abril de 2015
Ambos Niveles
Grupal
Se entrega una respuesta por equipo
Solución Prueba Grupal: Dividiendo cuadrados en rectángulos
Si consideramos un cuadro de 2 × 2 es muy fácil dividirlo en dos rectángulos de 2 × 1 o de 1 × 2. Es fácil ver que
esa es la única manera de dividir un cuadrado de 2 × 2 en rectángulos menores.
Si consideramos un cuadrado de 3 × 3 podemos dividirlo de varias maneras en rectángulos menores:
1. Un rectángulo 2 × 3 y otro 1 × 3
2. Un rectángulo 3 × 2 y otro 3 × 1
3. Tres rectángulos 1 × 3
4. Tres rectángulos 3 × 1
5. Tres rectángulos 2 × 1 y uno 1 × 3
Diremos que una descomposición de un cuadrado n × n es trivial si se descompone en rectángulos y al menos
dos de ellos tienen un lado igual (ancho o largo). Todas las descomposiciones anteriores del cuadrado de 3 × 3
son triviales.
El siguiente dibujo muestra una descomposición trivial del cuadrado de 7 × 7:
5
2
R1
3
R2
2
R3
R4
5
2
3
4
R5
2
5
Sean ai , bi , los lados del rectángulo i. Observamos que se deben cumplir las siguientes ecuaciones:
1
a1 + a4
= 7
b5 + b4
= 7
b1 + b2
= 7
b4 + b3 + b2
= 7
a2 + a5
= 7
a2 + a4 − a3
= 7
a1 + a3 + a5
= 7
a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 + a4 b4 + a5 b5
= 49
Escribiendo R = (ancho, largo) tenemos
R1 = (3, 5),
R2 = (5, 2),
R3 = (2, 3),
R4 = (4, 2),
R5 = (2, 5)
Decimos que el rectángulo R1 = ( a, b) es equivalente al rectángulo R2 = (c, d) si ocurre que a = d y b = c. Vemos
que la división del cuadrado de 7 × 7 se ocupan 2 rectángulos equivalentes( a saber, R2 y R5 ).
Diremos que una descomposición del cuadrado de n × n es básica si ocurre que el cuadrado se descompone en
cinco rectángulos como en la figura.
b1
a1
b2
R1
R2
R3
a4
R4
a2
a3
b3
R5
b4
a5
b5
Aquí todos los valores ai , bi son números naturales. Notamos que se deben cumplir las siguientes relaciones.
b1 + b2
= n
a2 + a4 − a3
= n
a2 + a5
= n
a3 + a5
b4 + b5
= n
b1 + b5 − b3
= n
a1 + a4
= n
a1 + a3 + a5
= n
b2 + b3 + b4
= n
a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 + a4 b4 + a5 b5
2
=
a4
= n2
Problema 1: Presenten una descomposición básica del cuadrado de lado 12 con rectángulos de tal forma que no
son dos de ellos equivalentes.
Solución:
9
3
R1
4
R2
3
7
R3
5
8
R4
5
R5
8
4
Pregunta 2: Presenten una descomposición básica del cuadrado de lado 13 con rectángulos de tal forma que no
son de ellos equivalentes.
Solución:
9
6
4
R1
R2
3
9
R3
4
7
R4
R5
5
4
8
Diremos que una descomposición básica del cuadrado de lado n es no trivial si los lados de los rectángulos
son todos distintos entre ellos.
Pregunta 3: Presenten una descomposición básica no trivial del cuadrado de lado 15.
Solución:
3
11
6
4
R1
R2
7
9
13
R3
R4
8
2
R5
12
3
Pregunta 4: Presenten una descomposición básica no trivial del cuadrado de lado 16.
Solución:
5
11
6
R1
R2
7
10
13
R3
R4
9
R5
2
3
14
Pregunta 5: Presenten una descomposición básica no trivial del cuadrado de lado 17.
Solución:
4
5
12
6
R1
R2
7
11
13
R3
R4
10
R5
2
4
15
Pregunta 6: Presenten una descomposición básica no trivial del cuadrado de lado 18.
Solución:
5
13
R1
6
R2
8
12
14
R3
R4
11
R5
2
4
16
Hasta aquí ha sido posible encontrar soluciones al problema por inspección. O sea, dando valores. Notamos
que no hemos colocado ninguna restricción sobre qué números usar para resolver el problema. Apenas, que
no hayan dos lados iguales. Observamos que cada solución básica no trivial ocupa 10 números distintos.
Ahora vamos a solicitar mayor rigor y ocupar las ecuaciones asociadas a una descomposición básica.
Pregunta 7: Usando los valores 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10 para los lados de los rectángulos, construyan una
descomposición básica no trivial del cuadrado de lado 11. ¿Cuántas descomposiciones de este tipo existen?
Solución:
5
10
2
1
R1
3
R4
6
R3
9
R2
R5
5
8
Esta solución se obtiene de la siguiente manera.
Llamamos ( ai , bi ) el ancho y el largo del rectángulo Ri .
Se tiene que
a1 + a2
= 11
a4 + a5
= 11
b1 + b4
= 11
b2 + b5
= 11
b3 + b4
= b2
a1 + a3 + a5
= 11
Se agrupan los números dados en parejas cuya suma es 11.
{1, 10}, {2, 9}, {3, 8}, {4, 7}, {5, 6}
Entonces { a1 , a2 }, { a4 , a5 }, {b1 , b4 } y {b2 , b5 } deben ser algunas de ellas. Además, b3 satisface b3 + b4 = b2
y a3 satisface a1 + a3 + a5 = 11. Esto determina las posibles soluciones al problema.
Así, la solución encontrada es única.
6
Pregunta 8: Usando los valores 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10 para los lados de los rectángulos, construyan dos
descomposición básica distintas para el cuadrado de lado 13. ¿Cuántas descomposiciones de este tipo
existen?
Solución:
3
10
5
R1
R2
8
3 R3
8
1
R4
R5
9
5
4
En estos casos los lados de los rectángulos ( ai , bi ) satisfacen:
a1 + a2
= 13
a4 + a5
= 13
b1 + b4
= 13
b2 + b5
= 13
b3 + b4
= b2
a1 + a3 + a5
= 11
Se agrupan los números dados en parejas cuya suma sea 13.
{3, 10}, {4, 9}, {5, 8}, {6, 7}
Entonces { a1 , a2 }, { a4 , a5 }, {b1 , b4 } y {b2 , b5 } deben ser algunos de ellos. Además, b3 satisface b3 + b4 = b2
y a3 satisface a1 + a3 + a5 = 13. Esto determina las dos soluciones al problema.
7
3
10
R1
6
R2
8
2 R3
1
R4
7
R5
9
4
Divisón de preguntas:
Nivel Menor
Puntaje
Nivel Mayor
Puntaje
P1
P2
P4
P5
P7
3
3
3
3
8
P2
P3
P5
P6
P8
3
3
3
3
8
8
5