Problema 501. Probar o refutar las siguientes proposiciones: (a) En

Problema 501. Probar o refutar las siguientes proposiciones:
(a) En todo triángulo ABC, al menos uno de los radios de las circunferencias
exinscritas ra , rb , rc es mayor o igual que una de sus alturas ha , hb , hc y
recı́procamente.
(b) En todo triángulo ABC se pueden elegir, al menos, dos radios de las
circunferencias exinscritas ra , rb , rc cuyo producto sea mayor o igual que
el producto de dos de sus alturas ha , hb , hc .
Propuesto por Vicente Vicario Garcı́a, I.E.S. El Sur, Huelva
Soluzione di Ercole Suppa.
Adottiamo le notazioni usuali, ossia denotiamo con a, b, c i lati BC, CA, AB,
con A, B, C gli angoli, con R il raggio della circonferenza circoscritta, con r
il raggio della circonferenza inscritta, con ri , hi , mi , wi , (i = a, b, c) i raggi
delle circonferenze exinscritte, le altezze, le mediane, le bisettrici interne, con s
il semiperimetro e con ∆ l’area del triangolo 4ABC.
Per dimostrare le proposizioni (a), (b) utilizzeremo le seguenti formule, la cui
dimostrazione viene lasciata per esercizio.
R=
abc
4∆
(1)
∆2 = s(s − a)(s − b)(s − c) = rra rb rc
wa =
A
2bc
cos
b+c
2
(2)
(3)
(a) Tenuto conto della (1), della (2) e della nota disuguaglianza R ≥ 2r abbiamo:
ha hb hc =
2∆ 2∆ 2∆
4∆
2r
·
·
=
rra rb rc = ra rb rc ≤ ra rb rc
a
b
c
abc
R
(4)
A questo punto la validità della proposizione (a) si può dimostrare per assurdo;
infatti se la (a) fosse falsa si avrebbe:
ra < ha
,
rb < hb
,
rc < hc
=⇒
ra rb rc < ha hb hc
contraddicendo la (4). Pertanto la proposizione (a) è dimostrata.
(b) Dalla (3), usando la disugualianza tra la media aritmetica e la media geometrica (GM ≤ AM), discende che:
r
2bc
A
2bc
s(s − a) p
wa =
cos ≤ √
= s(s − a)
(5)
b+c
2
bc
2 bc
1
ed analoghe disuguaglianze valgono per wb , wc . Dalla (5) e dalla disuguaglianza
GM ≤ AM, tenuto conto che ha ≤ wa , hb ≤ wb , hc ≤ wc , abbiamo:
X p
ha hb + hb hc + hc ha ≤ wa wb + wb wc + wc wa =
s (s − a)(s − b) ≤
cyclic
X 2s − a − b
X c
≤s
=s
= s2
2
2
cyclic
(6)
cyclic
D’altra parte le formule sui raggi delle circonferenze exinscritte implicano che:
∆
∆
∆
∆
∆
∆
·
+
·
+
·
=
s−a s−b s−b s−c s−c s−a
= s(s − c) + s(s − a) + s(s − b) = s2
ra rb + rb rc + rc ra =
(7)
Dalla (6) e la (7) otteniamo che:
ha hb + hb hc + hc ha ≤ ra rb + rb rc + rc ra
(8)
Ora, come abbiamo fatto per la proposizione (a), possiamo dimostrare la proposizione (b) ragionando per assurdo; se la (b) fosse falsa si avrebbe:
ra rb < ha hb
,
rb rc < hb hc
,
rc ra < hc ha
=⇒
ra rb + rb rc + rc ra < ha hb + hb hc + hc ha
contraddicendo la (8). Pertanto la proposizione (b) è dimostrata.
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