III. El filtro de III. El filtro de Kalman

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Constituye en el principal procedimiento para estimar
sistemas dinámicos representados en la forma de
estado-espacio, los cuales tienen muchas aplicaciones
econométricas de interés. Tiene su origen en el
documento de Kalman (1960) donde describe una
solución recursiva para el problema del filtrado lineal
de datos discretos.
Es un procedimiento matemático que opera por medio
de un mecanismo de predicción y corrección. En
esencia este algoritmo pronostica el nuevo estado a
partir de su estimación previa añadiendo un término de
corrección proporcional al error de predicción, de tal
forma que este último es minimizado estadísticamente.
La representación estado-espacio es una notación
conveniente para la estimación de modelos
estocásticos donde se asumen errores en la medición
del sistema, lo que permite abordar el manejo de un
amplio rango de modelos de series de tiempo.
Consideremos el sistema general:
$ t +1 = F ' $ t + vt +1
( r "1)
( r "r )(r "1)
( r "1)
yt = A' xt + H ' $ t + wt
( n"k ) ( k "1) ( n"r ) ( r "1) ( n"1)
( n"1)
#Q si t = #
E vt v# = "
!0 si t ! #
( )
'
# R si t = #
E wt w# = "
!0 si t ! #
(
'
)
Esta representación se llama de estado-espacio. La
primera es la ecuación de estado. Y la segunda la de
medida u observación.
Algunos ejemplos para motivar:
1) Sea el proceso AR(p):
yt +1 % µ = '1 ( yt % µ ) + '2 ( yt %1 % µ ) + ...
+ ' p ( yt % p +1 % µ ) + & t +1 ,
)( 2 para t = # &
E (& t & # ) = '
$
(0 en otro caso%
Entonces, la ecuación de estado será:
) yt +1 % µ &
'y % µ
$
' t
$
'!
$
'
$
'( yt % p + 2 % µ $%
)'1 '2 "' p %1 ' p &
$ ) yt % µ & )& t +1 &
'
'1 0 " 0 0 $ ' y % µ $ '0 $
t %1
'
$+' $
$
'
= 0 1" 0 0
$ '! $
$ '!
'
$ ' $
'! ! " ! ! $ ' y
'0 0 " 1 0 $ '( t % p +1 % µ $% (0 %
%
(
Y la ecuación de medida u observación será:
) yt % µ &
'y % µ $
t %1
'
$
yt = µ + [1 0 " 0]
' !
$
'
$
'( yt % p +1 % µ $%
Lo que implica que:
) yt % µ &
'y % µ $
t %1
'
$
$t =
' !
$
'
$
'( yt % p +1 % µ $%
)& t +1 &
'0 $
vt = ' $
'! $
' $
(0 %
yt = yt
A' = µ
)'1 '2 "' p %1 ' p &
'
$
'1 0 " 0 0 $
F = '0 1 " 0 0 $
'
$
'! ! " ! ! $
'0 0 " 1 0 $
(
%
)( 2 0 " 0 0 &
'
$
0 0 " 0 0$
'
Q=
'! ! " ! ! $
'
$
'(0 0 " 0 0$%
xt = 1 H = [1 0"0] wt = 0 R = 0
Representación de un MA(1):
yt = µ + & t + )& t %1
La ecuación de estado:
)& t +1 & )0 0& )& t & )& t +1 &
'& $ = '1 0 $ '& $ + ' $
% ( t %1 % (0 %
( t % (
La ecuación de observación:
)& t &
yt = µ + [1 ) ]' $
(& t %1 %
Esto implica que:
)& t +1 &
$ t +1 = ' $
(& t %
)& t +1 &
)0 0 &
F ='
vt +1 = ' $
$
(1 0 %
(0 %
)( 2 0 &
Q='
$ yt = yt A' = µ
0%
(0
H = [1 ) ] wt = 0 R = 0
xt = 1
CUIDADO: La representación de estado-espacio de
un proceso no es única. Por ejemplo el MA(1) puede
representarse como:
Ecuación de estado:
)& t +1 + )& t & )0 1 & )& t + )& t %1 & )& t +1 &
')&
$ = '0 0$ ')&
$ + ')& $
%( t
( t +1
% (
% ( t +1 %
Ecuación de observación:
)& t % )& t %1 &
yt = µ + [1 0]'
$
()& t
%
La idea fundamental es calcular la predicción MC lineal
del vector de estado ! basándonos es los datos
observados de y y x hasta el momento t:
$ˆt +1/ t = E ($ t +1 / !t )
(
)
donde !t = yt' ,..., y1' , xt' ,..., x1' ' . El filtro de Kalman
calcula esta predicción recursivamente, generando
$ˆ1/ 0 , $ˆ2 /1 ,..., $ˆT / T %1
y su error cuadrático medio:
Pt +1/ t
'
)
ˆ
ˆ
= E $ t +1 % $ t +1/ t $ t +1 % $ t +1/ t &
'(
$%
(
)(
)
¿Cómo comenzamos? Necesitamos valores iniciales
de $ˆ
. En el momento 0 no tenemos observaciones
1/ 0
de y por lo que usaremos la esperanza incondicional:
$ˆ1/ 0 = E ($1 )
Y su error cuadrático medio asociado:
[
'
P1/ 0 = E ($1 % E ($1 ))($1 % E ($1 ))
]
Por ejemplo, con un MA(1) el vector de estado es:
)& t &
$t = ' $
(& t %1 %
Entonces:
$ˆ1/ 0
y
)& 1 & - 0 +
= E ' $ = ,, **
(& 0 % / 0 .
- )& 1 &
+ )( 2 0 &
P1/ 0 = E ,, ' $[& 1 & 0 ]** = '
2$
/ (& 0 %
. '(0 ( $%
Paso siguiente es estimar $ˆ2 /1 y P2 /1 o de manera más
general, $ˆt +1/ t y Pt +1/ t usando $ˆt / t %1 y Pt / t %1 . Para ello vamos
a utilizar el error de predicción de yˆt / t %1 .
yˆt / t %1 = A' xt + H '$ˆt / t %1
Cuyo error:
yt % yˆt / t %1 = A' xt + H '$t + wt % A' xt % H '$ˆt / t %1
= H ' $ % $ˆ
+w
(
t
t / t %1
)
t
Y el ECM se demuestra que es igual a:
[
'
]
E ( yt % yˆt / t %1 )( yt % yˆt / t %1 ) = H ' Pt / t %1H + R
Ahora usamos dicha predicción de yt para corregir la
predicción de $ t , es decir que calcularemos $ˆt / t (ver
fórmula 4.5.30 de Hamilton).
{ [(
)
'
ˆ
ˆ
ˆ
$ t / t = $ t / t %1 + E $ t % $ t / t %1 ( yt % yˆ t / t %1 )
{[
'
" E ( yt % yˆ t / t %1 )( yt % yˆ t / t %1 )
]}
%1
]}
" ( yt % yˆ t / t %1 )
y esto se demuestra que es igual a:
(
%1
ˆ
ˆ
$ t / t = $ t / t %1 + Pt / t %1 H (H ' Pt / t %1 H + R ) yt % A' xt % H ' $ˆt / t %1
con MSE:
%1
Pt / t = Pt / t %1 % Pt / t %1 H (H ' Pt / t %1 H + R ) H ' Pt / t %1
)
Pero aún no tenemos lo que queremos, que es la
predicción de $ˆt +1/ t
. Para ello vamos a utilizar la
ecuación de estado, a partir de la cual resulta que:
$ˆt +1/ t = E ($ t +1 / !t )
= F .E ($ t / !t ) + E (vt +1 / !t )
= F$ˆt / t + 0
Usando lo planteado en la diapositiva anterior:
$ˆt +1/ t = F$ˆt / t %1
(
+ FPt / t %1 H (H ' Pt / t %1 H + R ) yt % A' xt % H ' $ˆt / t %1
%1
)
$ˆt +1/ t = F$ˆt / t %1
(
+ FPt / t %1 H (H ' Pt / t %1 H + R ) yt % A' xt % H ' $ˆt / t %1
%1
)
Y anotando
%1
K t = FPt / t %1 H (H ' Pt / t %1 H + R )
Se cumple que:
(
$ˆt +1/ t = F$ˆt / t %1 + K t yt % A' xt % H ' $ˆt / t %1
)
A la matriz K se le llama matriz de ganancia. Se cumple
que el MSE de esta predicción es:
Pt +1/ t
= F [P
%1
(
)
H ' Pt / t %1 ]F '+Q
t / t %1 % Pt / t %1 H H ' Pt / t %1 H + R