Calculo II Integrales Indefinidas Sustitución Trigonométrica 2012 Matías Cabrera Cancino Sustitución trigonométrica Introducción Como ya sabemos varias técnicas de integración como, por sustitución, integración por parte, y potencias de las funciones trigonométricas . Ahora conoceremos otra nueva técnica, las “sustituciones trigonométricas” que sirve para resolver integrales “mas entretenidas”, cuyo integrando contenga radicales. El propósito de estas sustituciones, es eliminar los radicales y eso se consigue con Pitágoras. Tener en mente “siempre” estas identidades trigonométricas: Sustitución Trigonométrica Profesor: Claudio del Pino 1 Calculo II Integrales Indefinidas Sustitución Trigonométrica 2012 Matías Cabrera Cancino Aplicación del triangulo rectángulo Si vemos el formulario oficial de integrales indefinidas encontraremos esto en el punto 7: Si observamos, nos damos cuenta que todas estas integrales tienen un radical ( ), el cual complica la integral. La pregunta es. ¿Cómo se resuelven estas integrales?, ¿Cómo puedo eliminar el radical? 1.0 Ejemplo: Si a > 0, hacemos u=a*sin(α), donde (-π/2 ≤ α ≤ π/2). Entonces: Sustitución Trigonométrica Profesor: Claudio del Pino 2 Calculo II Integrales Indefinidas Sustitución Trigonométrica 2012 Matías Cabrera Cancino Sustitución trigonométrica: 1.- En integrales que contienen , hacer la sustitución: x=a*sin(α) Así = a*cos(α), donde a x (-π/2 ≤ α ≤ π/2) α Notar que: ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2.-En integrales que contienen , hacer la sustitución: x=a*tan(α) Así = a*sec(α), donde (-π/2 < α < π/2) x α Notar que: a ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------3.- En integrales que contienen , hacer la sustitución: x=a*sec(α) Así =a*tan(α), donde x (0 ≤ α < π/2) o (π/2 < α ≤ π) α Notar que: a Nota: las restricciones sobre α, asegura que la función sustituida es inyectiva. Sustitución Trigonométrica Profesor: Claudio del Pino 3 Calculo II Integrales Indefinidas Sustitución Trigonométrica 2012 Matías Cabrera Cancino 1.2 Ejercicio: Resolver esta integral: Entonces tenemos: 3x 2 α La integral queda: = Luego, recordamos el cambio de variable -> y también Recordar la identidad: sin (2α)=2sin (α) cos (α) Podemos concluir : Sustitución Trigonométrica Profesor: Claudio del Pino 4 Calculo II Integrales Indefinidas Sustitución Trigonométrica 2012 Matías Cabrera Cancino 1.3 Ejercicio: Resolver: Sea 2x θ 1 La integral queda: -> Recordando que: También: Por lo tanto no queda: 1.4 Ejercicio: Resolver: x Nota: la integral se ve difícil, pero la clave es saber que tipo de sustitución es, en este caso θ con a= Sea: Sustitución Trigonométrica Profesor: Claudio del Pino 5 Calculo II Integrales Indefinidas Sustitución Trigonométrica 2012 Matías Cabrera Cancino La integral queda: Recordemos que: --> También: Por lo tanto queda : O bien = Sustitución Trigonométrica Profesor: Claudio del Pino 6 Calculo II Integrales Indefinidas Sustitución Trigonométrica 2012 Matías Cabrera Cancino Ejercicios propuestos 1. 2. 3. 4. 5. Respuestas: 1. 2. 3. 4. +C 5. Desafío 1.- 2.- Sustitución Trigonométrica Profesor: Claudio del Pino 7