Semana N

MA231 CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE UNA VARIABLE
UPC 2009-2
Unidad N°5: MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES A LA FÍSICA
:
Semana N°: 11
Logro de la Unidad: El alumno, al término de la treceava semana del ciclo, integra funciones utilizando los diferentes métodos de
integración, apoyándose en las herramientas aprendidas en la unidad anterior.
Habilidades a trabajar: Terminado el proceso de aprendizaje vinculado a la semana 11, los estudiantes deben ser capaces de:
 Integrar expresiones que contienen combinaciones de funciones trigonométricas.
 Calcular integrales indefinidas aplicando, en forma combinada, las técnicas de sustitución elementales, la integración por partes y
las transformaciones trigonométrica.
 Aplicar la sustitución trigonométrica para el cálculo de ciertas integrales que contienen radicales.
 Aplicar sustituciones algebraicas para racionalizar integrando con raíces de expresiones de primer grado.
 Calcular integrales de funciones racionales mediante la descomposición fracciones más simples.
 Calcular integrales que se resuelven mediante sustitución trigonométrica, sustitución para racionalizar y por fracciones parciales.
 Identificar y aplicar las técnicas estudiadas en los módulos anteriores para calcular integrales.
Recursos disponibles en el Aula Virtual UPC:
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Diapositivas PPTs.
Tarea N°12.
Practica Calificada PC4 de ciclos anteriores.
1
MA231 CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE UNA VARIABLE
UPC 2009-2
Clase N° 28: Integrales Trigonométricas.
Habilidad
Sesión: N° 11.1
Metodología
Descripción y materiales
Fase
Apertura de sesión:
Empiece mostrando, mediante la solución de los ejemplos 1 y 2, la
forma de integrar potencias impares de seno y coseno, la cual consiste
en separar un factor y convertir la potencia par restante a su respectiva
cofunción.
2 n 1
2n
 sen x dx   sen x (sen x dx )   f (cos x) sen x dx

1. Integra
expresiones que
contienen
combinaciones de
funciones
trigonométricas.
 cos
 sen

2 n 1
x dx   cos 2 n x (cos x dx )
2 n 1
x dx   sen 2 n x (sen x dx )   f (cos x) sen x dx



la cual permite
convertir de una
parte a otra entre
potencias pares de
seno y coseno.
Luego mediante la solución de los ejemplos 3 y 4 haga ver la
aplicación de estas formas en la integración de expresiones que
contienen potencias pares de seno y cosenos.
Presente la estrategia para integrar expresiones del tipo.
n
x cos
m
x dx .
Resuelva los ejemplos 5 y 6 de las páginas 462 y 463 u otros
análogos.
Presente las estrategias para integrar las expresiones del tipo.
 tan
A/T
Se hace uso de la
identidad
trigonométrica :
sen2 x +cos2 x = 1
1  cos2 x 
1  cos2 x 
y cos2 x 
2
2
 sen

Observaciones y
recomendaciones
Plantee las fórmulas trigonométricas del ángulo doble.
sen 2 x 
A/T
  f (sen x) cos x dx
Tiempo
n
x sec n x dx
de la página 463 y resuelva los ejemplos 7 y 8 de la pagina 464 u otros
similares.
Se hace uso de la
identidad
trigonométrica :
1  tan2 x  sec2 x
2
MA231 CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE UNA VARIABLE

E
Proponga a los estudiantes los ejercicios 2, 10, 14, 16, 27, 30, 36, 39,
43, 44, de las páginas 465 y 466.
UPC 2009-2
Orientar la
Tarea 11.
Si el tiempo lo permite
 Plantee a los estudiantes los problemas 65 (Pág. 466) y 68 (Pág. 467).
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Clase N° 29: Sustitución para racionalizar.
Fase
M/T
2. Aplica la sustitución
trigonométrica para
el cálculo de ciertas
integrales que
contienen radicales
3. Aplicar sustituciones
algebraicas para
racionalizar.
T/A
A
T
A
Sesión: N° 11.2
Metodología
Descripción y materiales
Apertura de la sesión:
Motive la clase con el hecho de que en la determinación del área de un
círculo o una elipse surge de modo natural el cálculo de integrales del
tipo  a 2  x 2 dx .
Sustitución trigonométrica.
 Haga ver cómo en estos casos la sustitución x  asen  permite
eliminar el radical.
 Se pueden usar los ejemplos 1 y 2 de la página 468 u otros similares
para ilustrar el método.
 A continuación presente la tabla de sustitución trigonométrica de la
página 467 y comente en detalle.
 Oriente a los alumnos la solución de los ejercicios de la sección 7.3
(pp. 472 – 473) los problemas 2, 5, 11, 19, 21, 31 y 33
Racionalización de sustituciones
 Indicar que, en algunas integrales, aparecen raíces de expresiones de
primer grado, las cuales pueden ser racionalizadas mediante
sustituciones más sencillas. Muestre algún ejemplo como:
x2
 x  1 dx
 Ver ejemplo resuelto 9 Pág. 481.

Recomendar ejemplos parecidos 39 – 46, Pág. 482.
 Seleccione algunos ejercicios (uno o dos) del tipo de los ejercicios 39
a 46 de la página 482, tratando de que los mismos no conduzcan a
fracciones simples.
 Hacer un resumen resaltando los aspectos más relevantes de la clase.
Se orienta la tarea 12.
Tiempo
Observaciones y
recomendaciones
Una vez que hace la
sustitución la integral
se reduce a una
trigonométrica.
Relacione la
sustitución
x  asen  con la
regla de sustitución
vista anteriormente
en la ecuación
(5.5.4) página 401.
Recuerde que el
diferencial de la
variable x no se puede
olvidar.
Este tema se aborda
en el Stewart después
de fracciones simples.
4
MA231 CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE UNA VARIABLE
UPC 2009-2
Oriente tarea previa
de fracciones
parciales.
Si el tiempo lo permite
 Oriente a los alumnos resolver de la sección 7.3 (Pág. 473) problemas
38, 41 y 43
Clase N°30: Integración de funciones racionales por fracciones parciales.
Metodología
Habilidad
Fase
Descripción y materiales
Apertura de sesión:
Revise la tarea previa y haga hincapié en el hecho que las integrales
que vamos a evaluar una vez aplicado el método son las resueltas en la
tarea previa.
 Se concluye a través del procedimiento inductivo, que las integrales
siguientes siempre aparecen en el proceso:
a
ax
a
a
 bx  c dx ;  bx  c 2 dx ;  1  x 2 dx ;  b 2  x 2 dx
 Desarrolle un ejemplo ilustrativo del método y muestre que
descomponiendo una función racional en una suma de fracciones más
simples se puede calcular la integral de la función mucho más
fácilmente. Luego defina una función racional de la forma
f(x) = P(x) /Q(x) y como se clasifican según los grados de los
polinomios (propias e impropias).
 Explique cómo se descompone una fracción propia en fracciones
simples e indique las condiciones que debe cumplir para poder utilizar
el método, ver los casos (I, II y III) como aparece en las Pág. 475479. Se sugiere resolver uno o dos ejemplos parecidos a los ejemplos
de 1 al 8.
 Ponga énfasis en el concepto de “fracción simple” para evitar el
frecuente error de alumnos que tratan de descomponer una fracción
que ya es simple en otras fracciones simples.
 Proponga a los estudiantes ejercicios 10, 18, 22, 28 y 34 de la página
481.
Si el tiempo lo permite
 Seleccione otros ejercicios de la sección 7.4 página 481.

M
4. Calcular integrales
de funciones
racionales mediante
la descomposición
fracciones más
simples
T/E
E
Sesión: N° 11.3
Tiempo
Observaciones y
recomendaciones
Es importante
comenzar la clase
haciendo una
exploración de
conocimientos previos
sobre las fracciones
parciales (TAREA
previa).
Recuerde también,
que es una función
polinómicas, racional
y el método de
división sintética para
los casos cuando la
fracción es impropia.
El caso IV no se debe
realizar en clase
(página 479).
Para encontrar los
coeficientes, se
recomienda usar el
principio de identidad.
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