Las Incertidumbres de las medidas y su propagación Prof. Sergio Guerra Gómez En las ciencias experimentales, buscar la respuesta a un PROBLEMA pasa casi necesariamente por una serie de medidas. Ya sea que vaya a hacer un análisis de tipo cuantitativo o cualitativo, usted generalmente necesitará dar la magnitud de la “cantidad física” de interés y para ello necesitará “medirla”. Por esa trascendencia que juega la medición en la respuesta al problema usted debe dedicar un cierto tiempo a comprender este proceso. El comprender más en detalle el proceso, le evitará errores en las conclusiones que usted va a hacer al final del trabajo. La medición puede verse como el resultado de una operación humana de observación de el mundo real. Para una bola que cae de una rampa a una cierta distancia desde la base de la mesa y que llamaremos X, no debemos decir : el valor de X es 40,2 mm sino más bien: Yo he medido la distancia X y he obtenido el valor 40,2 mm. El factor humano está en la última oración. Pero en nuestros días en que la información fluye muy rápido y necesitamos pasar nuestros datos a otros colegas u otros laboratorios, para que los comparen o los usen, surge el problema de la confianza en lo que hacemos, la probidad de nuestro trabajo, en qué grado van los otros a “CONFIAR” en nuestro trabajo. Mi medida debe ir acompañada entonces de algo que denote un cierto “nivel de confianza” de la operación de medición que he usado. Es mejor si escribo la información: 40,2 mm con un nivel de confianza de 99 % para que la medida caiga entre 40,1 y 40,3 . Podemos distinguir dos clases de medidas : las que permiten un único número como es “el número de páginas de un libro”, las personas en un salón, etc. Pero es que nosotros no subdividimos las páginas, ni las personas. “Un libro con 382,5 páginas ” es un libro maltratado. Si ahora mido mi altura y nos da 1,70 m, es decir 1metro y 0,70 metros adicionales. Y es que aquí mi altura no tiene, en este caso un número exacto de metros (el patrón de unidades ) y debo aproximar la fracción de unidad última. Pero habrá una cierta incertidumbre en mi lectura al estimar la parte fraccionaria de la unidad usada. Pero las incertidumbres en una medición tienen diferentes fuentes, entre las cuales podemos mencionar a manera de ejemplo: Incertidumbres o perturbaciones a la medida de tipo aleatorio. Por ejemplo como en el caso de la bolita si “repetimos” varias veces el lanzamiento de la bolita, nos dan valores “diferentes”. Incertidumbres de tipo SISTEMÁTICO: en este caso la perturbación afecta la medida pero siempre en el mismo sentido. Algunos cuando hicieron la experiencia de X vs h siendo “h” la altura de la bolita, sobre la mesa pudieron confundir h con h+H , siendo H la altura de la mesa y sus variables alturas h hubiesen sido sistemáticamente mayor que las reales. Si un voltímetro análogo tiene un cierto error de cero (v.g. la aguja no llega a cero) y usted no toma en cuenta su error del cero, entonces todas las medidas estarán afectadas de la misma manera (más o menos según el caso). Si su metro está 1 gastado del lado del cero, y lo usa desde el cero ese, todas las medidas estarán más chicas en cierta cantidad. Aquí cuando uno detecta este tipo de errores, hay que corregirlos, eliminarlos. Incertidumbres personales: El observador, el que lee los aparatos es una persona y tiene sus características. Imagínese viendo las rayas espectrales del átomo de hidrógeno con un espectrómetro. Usted debe ver las líneas, poner un cursor sobre la raya de interés y leer un “vernier”. Pero se necesita de un ambiente adecuado con luminosidad adecuada, para leer bien. Si usted “observador” tiene problemas de visión, a lo mejor sus medidas, a pesar que son con un buen instrumento, tienen mucha incertidumbre. Imagínese viendo el tránsito de Venus en el disco radiante del sol y que usted debe medir los tiempos de contacto, debe apretar un botón para “el tiempo” justo cuando Venus toca en la salida, el disco solar. Lo hará justo??? O habrá cierta incertidumbre. Podría haber incertidumbres misceláneas, como las vibraciones en la mesa de medición, que pudiesen afectar la lectura de un medidor análogo, bien sensible. También las escalas de los aparatos, tienen un límite de pequeñez, y esto implicará un cierto número de cifras significativas en la lectura de la cantidad física. O su PC tiene para el cronómetro un número dado de cifras significativas, dado por el procesador usado..... Si leemos la distancia X en mm lo que queremos decir es que la medida estará con una incertidumbre de +/- 0,5 mm. (debido al aparato) Pero para que una medida sea significativa debemos dar un límite de la incertidumbre de la medida. Uno debe ser realista en este aspecto. Lo más cuidadoso en la actividad. Lo más honesto. Pero cómo haremos un estimado de la tal PRECISIÓN de la medida. Veamos primero, el caso de una sola variable en una experiencia : Para una experiencia de algún valor una sola medida casi no se usa. Así que la regla que se usará es “repita varias veces la medida” Esto le dirá cuan reproducible es su experiencia. Nuestro objetivo ahora es darle a ustedes una idea de cómo se pueden anotar las incertidumbres y cómo se usan en la propagación de las incertidumbres. Primero veremos cómo lo hacemos en los cursos elementales de física y más tarde en cursos superiores se entrará más en detalle del manejo de las incertidumbres. Suponga la medida de X de la caida de la bola. Si escribimos 402 mm lo que querremos decir es: nuestra medida estará en el medio del intervalo que va de 401,5mm a 402,5mm. Estamos dando el rango del intervalo donde caerá la medida. Esta es una convención que se usa muy frecuentemente y también denota que hemos leído al mm más cercano de la escala del aparato, en este caso el metro graduado en mm. Esta convención permite escribir nuestra medida en una forma más compacta: ( valor de la medida de X) = Xmejor estimado X (1) La ecuación (1) nos indica que el mejor estimado de la cantidad física X es : 2 Xmejor estimado y que se tiene un grado razonable de confianza para que dicho valor caiga entre los valores: Xmejor estimado - X y Xmejor estimado + X. Al valor X se le suele llamar la INCERTIDUMBRE o a veces el “error de X”. Nos gusta más el nombre de INCERTIDUMBRE pues el otro a veces da margen a pensar que “las cosas están mal hechas”. Pero no olvide que en los cursos superiores se estudiará la “teoría de errores” en detalle, pero en el sentido de incertidumbre. Se acostumbra a definir la incertidumbre X siempre positiva De manera que : Xmejor estimadso + X sea el mayor valor (2a) Y Xmejor estimado - X sea el menor valor (2b) Al valor X se le llama incertidumbre absoluta o error absoluto (2c) Al valor X/ Xmejor estimado = incertidumbre relativa = error relativo (2d) multiplicada por 100 nos da el % de error de la medida. Una regla para dar las incertidumbres en nuestro curso de física experimental I: Regla No 1: Redondee las incertidumbres a una cifra significativa. Si su medida le da: X = 402,50 0,037 mm Entonces déjela como: X= 402,50 0,04 mm Regla No 2: La última cifra significativa de su valor Xmejor estimado debe estar en la misma posición decimal que la incertidumbre En trabajos de alta precisión las incertidumbres se pueden llevar hasta dos cifras Significativas. Pero puede usar la regla No 2 todavía. Ejemplo: 3 La medida : 40,56 s con incertidumbre 0,3s debe escribirse: 40,6 0,3 s y cumplimos con las dos reglas. No olviden que es una convención del laboratorio de Física experimental I y que se usa en los laboratorios tradicionalmente. Las excepciones las discutiremos más adelante. La Discrepancia: diferencia entre dos valores medidos de la misma cantidad física: Si dos estudiantes han medido una misma resistencia eléctrica y obtienen: 47 1 ohms y 52 2 ohms Entonces la diferencia de los mejores estimados de la resistencia es mayor que las incertidumbres y diremos que la discrepancia es significativa ( 5 ohms) y se debe averiguar qué ha estado equivocado en las experiencias. Generalmente estaremos interesados en COMPARAR nuestra medida con algún otro valor: un valor aceptado, con el de una teoría, o cuando comparamos datos buscando una correlación entre las medidas para establecer regularidades en los datos... Incertidumbres en el caso de suma o resta de dos medidas independientes: Suma o resta: Si X= Xmejor estimada X Y= Ymejor estimada Y Entonces : (X Y) = (Xmejor estimada Ymejor estimada) (X+Y) (3) Funciones de una variable: Si asumimos que z = f(x) dz/dx = f¨(x) (4) y reemplazando los diferenciales por las incertidumbres tenemos: z = f ´(x)x (5) 4 que podemos aplicar a: potencias: z= xn y (5) queda: z = nxn-1x (6) y z/z= n (x/x) (7) que valen tanto para las potencias como los radicales Nótese que entre más grande es la potencia mayor debe ser la precisión inicial requerida. A Funciones trigonométricas: Por ejemplo si z=cosx z= cosxx (8) dejamos de tarea las otras funciones trigonométricas senx y tanx. (ojo!!!!) A Funciones logarítmicas y exponenciales: z = logx y z = x/x (9) si z= ex z=exx (10) incertidumbre en el caso de dos o más variables: Veamos el caso de dos variables Si z= f(x,y) entonces: dz (f / x )dx (f / y)dy y pasando a incertidumbres los diferenciales z (f / x)x (f / y)y (11) 5 y en el caso del producto tenemos: z=xy y nos lleva z/z = x/x + y/y Si tiene el caso z=xayb (12) primero use logaritmos en ambos miembros luego aplique los diferenciales y luego pase los diferenciales a incertidumbres. Encontrará: z/z = ax/x + by/y (13) Cocientes z=x/y z/z =x/x +y/y (14) nótese que el error relativo de productos o cocientes siempre es la suma de los errores relativos de cada medida en el producto o cociente. Una constante por una variable: z=ax z= ax (15) estas aproximaciones nos darán por lo menos una cota superior del error en nuestras medidas en los laboratorios. Estas reglas las usaremos en los laboratorios.... Vea los ejemplos aquí: Ejemplos También vea la pequeña experiencia a realizar: Experiencia de Propagación de incertidumbres 6