Potencia compleja de un complejo. Dados z1 , z2 ∈ C, se llama potencia de base z1 y exponente z2 al conjunto de números complejos dados por exp(z2 ln z1 ). Escribiendo z1 en forma exponencial (z1 = ρ1 e θ1 i ) y z2 en forma binómica (z2 = a2 + b2 i) la expresión general resulta: a2 ln ρ1 − b2 (θ1 + 2kπ) e[a2 (θ1 + 2kπ) + b2 ln ρ1 ] i z1z2 = e(a2 + b2 i) [ln ρ1 + (θ1 + 2kπ)i] = e | {z }| {z } ∞ argumentos ∞ módulos Esta expresión se simplifica en algunos casos particulares: 1. z2 ∈ R (b2 = 0). El exponente es un número real, por lo que hay un único valor para 2 el módulo ρa 1 . El exponente puede ser p a) Racional: z2 ∈ Q (a2 = q ; p ∈ Z, q ∈ N). µ ¶ p a2 θ1 + 2kπ i z (a ln ρ ) q 2 2 ϕi 2 1 z1 = e e = ρa 1 e k = 0 =⇒ ϕ = a2 θ1 k = 1 =⇒ ϕ = a2 θ1 + .. . k = q =⇒ ϕ = a2 θ1 + p q 2π p q¢ 2π q¢ El argumento para k = q es el de k = 0, incrementado en un número entero de veces 2π, por lo que determina el mismo número complejo. El de k = q + 1 determina el mismo complejo que el de k = 1, etc. Ası́ pues, la potencia racional (p/q) de un complejo da como resultado q complejos de igual módulo1 . µ ¶ 9π i πi √ π i 1/2 1/2 Ejemplo. (1 + i) = 2e 4 =⇒ z1 = 21/4 e 8 ; z2 = 21/4 e 8 . b) Irracional: z2 ∈ R \ Q (a2 ∈ / Q). Al ir dando valores a k, no se repiten los complejos a partir de uno dado, por lo que √ se obtienen infinitas soluciones de igual µ ¶ 3 √ π √ √ √3 √3 π +√3 2πk i i 3 4 módulo. Ejemplo. (1 + i) = 2e 4 = 2 e , k ∈ Z. 2. z2 ∈ C \ R (b2 6= 0). El exponente es un número complejo no real. En este caso el módulo vale e a2 ln ρ1 − b2 (θ1 + 2kπ) , k ∈ Z, expresión que toma infinitos valores. Además, según el valor de a2 , tendremos –como en el apartado 1– distintos casos para el argumento: a) a2 = 0 (exponente imaginario puro). Hay un sólo argumento de valor b2 ln ρ1 , por lo que los afijos de las infinitas soluciones están situados en la misma recta. b) a2 = p/q . Hay q argumentos que no difieren en un número entero de veces 2π. En este caso, los afijos de las infinitas soluciones están distribuidos en q rectas. c) a2 ∈ / Q . Hay ∞ argumentos, cada uno correspondiente a un valor del módulo. 1 1 1 2kπ Ejemplo. 1( 3 +i) = e[ 3 0−1(0+2kπ)] e[ 3 (0+2kπ)+1·0]i = e−2kπ e 3 i , k ∈ Z. 4π Resultan infinitos módulos y tres argumentos (θ1 = 0, θ2 = 2π 3 , θ3 = 3 ). Los afijos 4π están situados en tres rectas, que forman ángulos de 0, 2π 3 y 3 radianes con OX. 1 ¡ ¢a La potencia entera da un único resultado: z a = ρeθi = ρa eaθi . Ejemplo: z −2 = 12 = 12 e−2θi . z ρ