CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

2011
CÁLCULO
DIFERENCIAL E
INTEGRAL
EJERCICIOS PRIMERA FASE
CONCEPTOS CLAVE: FUNCIONES, GRAFICA DE UNA FUNCIÒN,
COMPOSICIÒN DE FUNCIONES, INVERSA DE UNA FUNCIÒN, LIMITE
DE UNA FUNCIÒN, LIMITES LATERALES, TEOREMAS PARA EL
CALCULO DE LIMITES, LIMITES TRIGONOMETRICOS, EL NÙMERO
“e”, CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÒN, PUNTOS DE DISCONTINUIDAD
EN FUNCIONES ÀLGEBRAICAS RACIONALES
ING. ROBERTO MERCADO DORANTES
UNIVERSIDAD AUTONOMA DELESTADO DE MÈXICO
PLANTEL DE LAESCUELA PREPARATORIA “IGNACIO RAMIREZ CALZADA
24/03/2011
Relaciones y funciones
Ejercicio1
Determina si los siguientes conjuntos de pares ordenados corresponden a una función o una
relación:
A= {(-2,4), (3,9), (4,16), (5,25)}
B= {(3,2), (3,6), (5,7), (5,8)}
C= {(2,4), (3,4), (5,4), (6,4)}
D= {(2,4), (6,2), (7,3), (4,12), (2,6)}
Ejercicio2
Determina si los siguientes diagramas representan una función o una relación:
1)
A
B
2
4
3
9
4
16
2)
A
4
8
6
3
7
2
Ejercico3
Determina si las siguientes graficas representan una relación o una función.
a)
B
b)
Nota: Las funciones y relaciones pueden tener una representación grafica en el plano
cartesiano. Para distinguir si se trata de una función o una relación basta trazar una recta
paralela al eje “y” sobre la grafica; si esta intercepta en dos o más puntos es una relación, si
solo intercepta un punto será una función.
Valor de una función
El valor real f (x) de una función es aquel que toma “y” cuando se asigna a “x” un
determinado valor real
Ejemplo1
Obtén f ( 3) para
f ( x)
3x 2
5x 2
Solución:
Para obtener f ( 3) se sustituye x=-3 en la función y se realizan las operaciones
indicadas,
f ( 3)
( 3) 2
5( 3) 2
Por lo tanto f ( 3)
27 15 2
40
40 , es decir y=40 cuando x=-3 o lo que es lo mismo la curva pasa
por el punto (-3,40) en el plano cartesiano.
Ejercicios 4
Obtén el valor de las siguientes funciones:
a)
3x 1
5 x
f ( x)
Para f
3
4
b) s (t )
t
5
Para s (4)
c) f ( x)
x
x 2
Para f ( 2)
d) f ( x )
2x 2
Para f
1
2
3
Dominio y rango de una función
Ejemplo1
Determina el dominio de la función f ( x)
x 3
x 6
Solución: La función es racional, el denominador debe ser distinto de cero, ya que la división
entre cero no esta definida, por lo tanto, se busca el valor para el cual x+6=0 obteniendo x=-6,
por lo tanto el dominio es: D f
(- , 6)
( 6, )
Ejemplo2
Determina el dominio de la función f ( x)
x 6
Solución: El radicando debe ser mayor o igual que cero es decir
x 6 0
De donde x
6 , por lo tanto el dominio es: 6, )
Ejercicio 5
Determina el dominio de las siguientes funciones:
a)
f ( x)
b)
f ( x)
c)
f ( x)
d)
f ( x)
e)
f ( x)
f)
f ( x)
g)
f ( x)
x2
4
x
x 3
3
2
x 16
1
2
x 7 x 10
1
3
x x
x 1
2
x
Ejercicio 6
Determina el rango de las siguientes funciones:
a)
x2
f ( x)
1
x2
b) f ( x )
9
c) f ( x)
10 x 1
3 5x
d ) f ( x)
x2 1
e) f ( x )
4 x2
Ejercicio 7
Obtén la grafica de las siguientes funciones:
a) f ( x)
b) f ( x )
c) f ( x)
3
x
1
x
d ) f ( x)
x
e) f ( x )
x
f ) f ( x)
1
x 1
2
Operaciones con funciones
Sean “f” y “g” dos funciones con dominios D f y D g respectivamente:
a) f ( x)
g ( x)
(f
g )( x)
b) f ( x) g ( x) ( f g )( x)
c) f ( x) g ( x) ( f g )( x)
d)
f ( x)
g ( x)
f
( x), g ( x)
g
0
Dominio de f(x)+g(x)=Dominio D f
Dg
Dominio de f(x)-g(x)=Dominio D f
Dg
Dominio f(x) g(x)=Dominio D f
f ( x)
Dominio de g ( x )
Dg
Dominio D f
D g , con g (x)
0
Ejemplo1
Obtenga F+G, F-G, FG y F/G, para las siguientes funciones:
F= {(-2,-4), (-1,5),(0,-1),(1,-7),(2,10)
En este caso D f
dominios es:
Df
Dg
2, 1,0,1,2
2, 1
Por lo tanto:
F+G= {-2, (-4+ (-2), (-1, (5+ (-6))}
Esto es:
F+G= {-2,-6), (-1,-1)}
De manera similar:
F-G= {(-2,-2), (-1,11)}
FG= {(-2,8), (-1,30)}
F/G= {(-2,2), (-1,-5/6)}
y G={(-2,-2),(-1,-6),(3,-3),(5,1)}
y
Dg
2, 1,3,5
y la intersección de ambos
Ejercicio 8
Obtenga F+G, F-G, FG y F/G, para las siguientes funciones:
F= {(-2,5), (-1,-3), (0,9), (1,-7), (2,8), (3,-4), (5,10)}
G= {(-3,6), (0,-5), (-1,7), (2,-6), (3,12), (4,-1)}
Ejercicio 9
Para las funciones F y G del ejercicio anterior, obtenga lo siguiente:
a) F+2G
b) 2F-G
c) F(2G)
d) 4F/3G
Ejemplo 2
Sean las funciones F
{( x, y ) y
9 x 2 ; x [ 3,3]} y G {(x, y) y
Determina:
F+G, F-G, FG y F/G
F
G
{( x, y ) y
9 x2
x; x [ 3,3]}
F
G
{( x, y ) y
9 x2
x; x [ 3]}
FG {( x, y ) y
x 9 x 2 ; x [ 3,3]}
F
G
9 x2
; x [ 3,3] x
x
{( x, y ) y
0}
Ejercicio 10
Para las siguientes funciones determina: F+G, F-G, FG y F/G
a) f ( x)
b) f ( x )
5, g ( x)
2
2 x 5, g ( x) 2 x 5
x 2 4 x 5, g ( x) x 2
2x 1
x 2
d ) f ( x)
, g ( x)
2
3
e) f ( x )
x 3 , g ( x)
x 4
c) f ( x)
3x 2
x; x R}
COMPOSICIÒN DE FUNCIONES
f  g {(x, y) y
f ( g ( x))}
D f g
{x x
g ( x)
g f
{(x, y) y
Dg  f
{x x
Dg
Df }
g ( f ( x))}
Df
f ( x)
Dg }
Ejemplo1
Si f
{(1,2), (3,4), (5,6), (7,8)} y
g
{(3,1), ( 1,3), ( 5,5), ( 9,2)} , determina f  g
Solución: Se determinan los pares ordenados de la función " g " de tal manera que, el segundo
término, sea el primer término de los pares ordenados de la función " f " . Los primeros
términos de cada par ordenado encontrado, forman el dominio de la función composición.
Los pares ordenados de " g " que cumplen con la condición son:
(3,1), (-1,3), (-5,5)
Por lo tanto, el dominio de la función composición es:
D f  g : { 5, 1,3}
E l rango se evalúa de la siguiente manera:
Por definición f  g
f ( g ( x)), entonces el conjunto solución son todas las parejas
ordenadas de la forma: ( x, f ( g ( x))
f ( g ( 5))
f (5)
6
f ( g ( 1))
f (3)
4
f ( g (3))
f (3)
Finalmente f  g
2
{( 5,6), ( 1,4), (3,2)}
Ejemplo 2
Determina f  g y g  f , para f ( x)
x 3 y g ( x)
x
x 1
Solución
x
x
f g
f ( g ( x))
f
g f
g ( f ( x))
g ( x 3)
x 1
x 3( x 1)
x 1
x 1
x 3
x 3
( x 3) 1 x 2
3
4x 3
x 1
Ejercicio 11
Determina f  g y
g  f para las siguientes funciones:
a) F= {(2,5), (3,6), (4,7), (5,8)}
b) F= {(1,1), (2,4), (3,9), (4,16)}
y
G= {(1,2), (2.3), (3,4), (4,5)}
y
G= {(-2,1), (-1,2), (0,3), (1,4)}
Ejercicio 12
Determina f  g y g  f para las siguientes funciones
a) f ( x)
3x 2
b) f ( x)
4
y
c) f ( x)
x2
2x 1
5x 2
y
g (x)
y
g ( x)
2x 3
2
g ( x)
x 1
FUNCIÓN INVERSA
El concepto de inversa de una función presupone que el dominio y el rango se invierten, razón
por lo cual no toda función tiene inversa, ya que al invertir el dominio por el rango, puede ser
que las primeras componentes se repitan y por lo tanto deje de ser función. Para que una
función tenga inversa es necesario que la función sea inyectiva, es decir, que no se repitan los
elementos ni del dominio ni del rango.
Gráficamente, una función inyectiva se caracteriza por que toda recta horizontal intersecta a la
grafica de la función en solamente un punto.
Ejemplo
Determina la función inversa de f(x)=x3-3
Solución:
y
x3
3
x
y3
3
y3
Por lo que la función inversa de y
Grafica:
Ejercicio 13
Determina la función inversa de:
a ) f ( x)
b) f ( x )
c) f ( x)
3x 2; x
2
x ; x [0;
x; x R
R
)
x 3
x3
y
3
3 es y
x 3
3
x 3
LIMITE DE UNA FUNCIÓN
El límite de una función real de variable real con regla de correspondencia y f (x) cuando la
variable independiente x tiende a un valor fijo a, es el valor L hacia el cual tiende la función, se
denota:
lim x
a
f ( x)
L
Que se lee: el limite de f(x) cuando x
a es igual a L
Significa que cuando x esta muy cerca de a, la función y=f(x) esta muy cerca de L
Geométricamente:
L
y=f(x)
a
Ejemplo1
Considérese la siguiente grafica de una cierta función y=f(x), obtener el valor de su limite
cuando x tiende a 3.
Solución
lim x
3
f ( x) 11
Ejemplo2
Considérese la siguiente grafica de una cierta función y=f(x), obtener el valor de su limite
cuando x tiende a -2.
lim x
2
f ( x)
2
Ejercicio 14
Determine el valor de los siguientes límites, para lo cual construya una tabla en donde asigne
valores cercanos al valor hacia el cual tiende la variable x.
a ) lim x 1 (3 x 2
2 x 3)
b) lim x 1 ( x 3)( x 2
c) lim x
2
4)
(5 x 7)
LIMITES LATERALES
Al asignar valores sucesivamente cada vez más cercanos al valor al cual tiende x, tanto con
valores menores como con valores mayores, se denomina: cálculo de un limite mediante sus
limites laterales.
Teorema
El límite de una función existe, si y solo si, sus límites laterales existen y son iguales, esto es:
lim f ( x)existe
lim x
a
f ( x)
lim x
a
f ( x)
Ejercicio 15
Calcule los siguientes límites, obteniendo sus límites laterales.
a ) lim x
0
b) lim x
2
c) lim x
1
x
x3 8
x 2
x
4
x
TEOREMAS PARA EL CALCULO DE LÍMITES
Una forma directa para calcular el limite de una función, es mediante el uso de teoremas, los
más importantes son los siguientes
K es una constante
1. lim x
a
k
k
2. lim x
a
x
a
3. lim x
a
kx
ka
4. lim x
a
xn
an
5. lim[ f ( x)
6. lim x
a
7. lim x
a
8. lim x
a
g ( x)] lim x
a
[ f ( x) g ( x)] lim x
f ( x)
g ( x)
[ f ( x)]n
lim x
lim x
a
a
[lim x
f ( x) lim x
a
f ( x) lim x
f ( x)
; g ( x)
g ( x)
a
a
g ( x)
a
f(x) y g(x) son funciones reales
g ( x)
0
f ( x)]n
Cuando se aplica el teorema #7 para calcular el limite de un cociente de dos funciones se
presentan los siguientes casos:
a) Que resulte una constante dividida entre otra constante, ambas diferentes de cero,
entonces el valor del limite es el número real obtenido al dividir las dos constantes.
b) Que resulte cero entre otra constante diferente de cero, entonces el valor del limite es
igual a cero
c) Que resulte una constante diferente de cero entre cero, entonces el limite de la
función no existe porque la división entre cero no esta definida
d) Que resulte cero entre cero, entonces el limite puede existir y su valor se obtiene
simplificando la expresión y aplicando los teoremas correspondientes
Ejercicio 16
Calcular el valor de los siguientes límites utilizando los teoremas:
a ) lim x
2
(x 2
b) lim x
2
(2 x 1)( x 5)
c) lim x
2
(1 3x) 5
d ) lim x
1
5 x 4)
3
e) lim x
2
1
x
2x 3
2
4 x 5x 1
LIMITES TRIGONOMETRICOS
El limite de una función trigonométrica se obtiene utilizando los siguientes teoremas, en los
cuales se considera que u=f(x)
1. lim u
senu
sen
2. lim u
cosu
cos
0
3. lim u
0
senu
4. lim u
0
cosu 1
5. lim u
0
6. lim u
0
senu
u
u
senu
1
1
Con estos teoremas es posible obtener el limite de funciones trigonométricas. Cuando la
función dada es diferente de la función seno y coseno, primero se aplican identidades
trigonométricas y después el teorema correspondiente.
Entre las identidades más usuales para el cálculo de límites, se tienen las siguientes:
tan u
cot u
sec u
cscu
senu
cosu
cosu
senu
1
cosu
1
sec u
Ejercicio17
Calcular el valor delos siguientes límites:
a) lim x
0
sen7 x
b) lim x
0
cos3x
c) lim x
0
x2
d ) lim x
0
4sen 2 x
5
e) lim x
0
2sen8 x
x
3 sen 2 x
CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN
Una función real de variable real con regla de correspondencia y=f(x), es continua en un punto
de abscisa x=a, cuando cumple la condición siguiente, llamada condición de continuidad:
f (a)
lim x
a
f ( x)
Cuando esta condición no se cumple, entonces la función es discontinua en x=a. En este caso,
el punto de abscisa “a” se denomina punto de discontinuidad de la función.
Existen tres tipos de discontinuidad de una función:
Tipos de discontinuidad
a) Discontinuidad evitable o restringible
b) Discontinuidad asintótica o infinita
c) Discontinuidad de salto o brinco
Características
f(a) no esta definida, pero el límite en ese
punto existe)
f(a) no esta definida, tampoco existe el limite
en ese punto)
f(a) esta definida, el limite en ese punto no
existe)
Ejemplo
Analizar la continuidad de la función f(x)=x3-x2-4x
en x=1, en caso de que la función sea
discontinua, indique a que tipo de discontinuidad corresponde. Trace la grafica
Solución
1. Sea evalúa la función en el punto x=1
f (1)
(1) 3
(1) 2
4(1)
4
Si esta definida
2. Se obtiene el limite de la función cuando x
lim x 1 ( x 3
Como f (a )
x2
4 x)
lim x
a
La función es continua
4
f ( x)
1
El limite si existe
Ejercicio 18
Analiza la continuidad de las siguientes s funciones en el punto indicado y traza la grafica, en
caso de que la función sea discontinua, indique a que tipo de discontinuidad pertenece.
x2
6x 9
;x
x 3
2 x 4; x 5
a) y
b) y
2
2 x; x 1
x; x 1
c) y
x2 1
;x 1
x 1
x 2; x 3
d)y
e) y
PUNTOS DE DISCONTINUIDAD EN FUNCIONES ALGEBRAICAS RACIONALES
En una función algebraica racional con regla de correspondencia de la forma y
f ( x)
g ( x)
Donde f(x) y g(x) son funciones polinomiales, los puntos en los cuales la función g(x) es
igual a cero, son puntos de discontinuidad porque la división entre cero no esta definida.
Para encontrar las abscisas de los puntos de discontinuidad de una función algebraica
racional se resuelve la ecuación obtenida al igualar con cero el denominador
Ejemplo
Encontrar los puntos de discontinuidad de la función: f ( x)
Solución
Igualando con cero el denominador
x2
3x
0
Resolviendo la ecuación por factorización
2x
x 3x
2
x( x 3)
x 0
x 3
0
0
x
3
Por lo tanto la función es discontinua en x=0 y en x=3
Calculando el limite de la función en estos dos puntos
a) para x=0
2(0)
0 3(0)
f (0)
lim x
2
0
2x
x 3x
2
0
0 , por lo que f(a) no esta definida
lim x
0
2x
x( x 3)
lim x
2
0
x 3
2
3
2
3 ; el limite si existe
Por lo que la función presenta una discontinuidad evitable en el punto
0,
2
3
b) para x=3
f (3)
lim x
2(3)
3 3(3)
6
0
2x
x 3x
lim x
2
3
2
; no esta definido
3
2x
x( x 3)
lim x
2
3
x 3
2
0
; no existe el limite
Entonces la función f(x) presenta una discontinuidad infinita en el punto de abscisa x=3
Grafica
Ejercicio 19
Hallar los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones, trace las graficas e
indique el tipo de discontinuidad que presenta.
a) f ( x)
b) f ( x )
c) f ( x)
d ) f ( x)
e) f ( x )
2x 4
x 2
1
x
2
x 3
x 2
x 1
1
x2