Sigma-álgebras - Apuntes y ejercicios de matemáticas, Egor

Sigma-álgebras
Objetivos. Definir la noción de σ-álgebra y estudiar sus propiedades básicas. Definir la
noción de σ-álgebra generada por un conjunto de conjuntos.
Requisitos. Operaciones con conjuntos, operaciones con familias de conjuntos.
1. Notación (conjunto potencia, conjunto de los subconjuntos). Sea X un conjunto. Entonces denotemos por 2X al conjunto de todos los subconjuntos de X.
2. Definición (σ-álgebra). Sea X un conjunto. Un conjunto F ⊂ 2X se llama σ-álgebra
sobre X si cumple con las siguientes condiciones:
1. X ∈ F.
2. F es cerrado bajo complementos: si A ∈ F, entonces X \ A ∈ F.
3. F es cerrado bajo uniones numerables: si Ai ∈ F para todo i ∈ N y B =
entonces B ∈ F.
S
i∈N
Ai ,
3. Propiedades elementales de σ-álgebras. Sea F una σ-álgebra sobre X. Entonces:
1. ∅ ∈ F.
2. F es cerrada bajo intersecciones numerables:
T
si Ai ∈ F para todo i ∈ N, entonces i∈N Ai ∈ F.
3. F es cerrada bajo uniones finitas:
S
si Ai ∈ F para todo i ∈ {1, . . . , m}, entonces m
i=1 Ai ∈ F.
4. F es cerrada bajo intersecciones finitas:
T
si Ai ∈ F para todo i ∈ {1, . . . , m}, entonces m
i=1 Ai ∈ F.
5. F es cerrada bajo la operación de diferencia de conjuntos:
si A, B ∈ F, entonces A \ B ∈ F.
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Ejemplos de σ-álgebras
4. Ejemplo de una σ-álgebra: conjunto potencia. Sea X un conjunto. Entonces 2X
es una σ-álgebra sobre X.
5. Propiedades de conjuntos finitos o numerables (repaso). Recuerde cómo se
demuestran las siguientes proposiciones:
Sea (Ak )k∈N una sucesión de conjuntos a lo más numerables. Entonces la unión
S
k∈N Ak también es un conjunto a lo más numerable.
Sea B un conjunto a lo más numerable y sea C ⊂ B. Entonces que C también es a
lo más numerable.
6. Ejemplo de una σ-álgebra: subconjuntos a lo más numerables y sus complementos. Sea X un conjunto no numerable. Denotemos por N al conjunto de todos
los subconjuntos finitos o numerables de X:
N := Y ⊂ X : Y es finito o numerable .
Denotemos por F al conjunto que consiste en todos los subconjuntos finitos o numerables
de X y todos subconjuntos de X cuyos complementos son finitos o numerables:
F := Y ⊂ X : Y ∈ N ∨ Y c ∈ N .
Entonces F es una σ-álgebra.
Indicación acerca de la demostración. En la demostración de la propiedad 3 hay que considerar dos casos: 1) Ai ∈ N para todo i ∈ N; 2) Acj ∈ N para algún j ∈ N.
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Sigma-álgebra generada por un conjunto de conjuntos
7. Proposición (intersección de un conjunto de σ-álgebras es una σ-álgebra).
Sea Ψ un conjunto de σ-álgebras sobre X. Denotemos por H a la intersección de las
σ-álgebras pertenecientes a Ψ:
\
H :=
A = Y ⊂ X : ∀A ∈ Ψ Y ∈ A .
A∈Ψ
Entonces H es una σ-álgebra sobre X.
Demostración incompleta. Probemos solamente que H es cerrada bajo uniones numerables. Sea (Bj )j∈N ∈ HN y sea
[
C :=
Bj .
j∈N
Para cada j ∈ N tenemos que Bj ∈ H. Por la construcción de H esto significa que
∀j ∈ N
∀A ∈ Ψ
Bj ∈ A.
Podemos intercambiar el orden de cuantificadores ∀:
∀A ∈ Ψ
∀j ∈ N
Bj ∈ A.
En otras palabras, para cada A ∈ Ψ la sucesión (Bj )j∈N toma valores en A. Como A es
una σ-álgebra, esto implica que C ∈ A. Recordando que A ∈ Ψ era arbitraria concluimos
que C ∈ H.
8. Proposición (sigma-álgebra generada por un conjunto de subconjuntos de
X). Sea G ⊂ 2X . Entonces existe una única σ-álgebra F que contiene G y es mı́nima entre
todas las σ-álgebras que contienen G:
1. G ⊂ F.
2. Si H es una σ-álgebra sobre X y G ⊂ H, entonces F ⊂ H.
Se dice que F es la σ-álgebra generada por G.
Demostración. Denotemos por Ψ al conjunto de todas las σ-álgebras sobre X que contienen a G:
Ψ := {A ⊂ 2X : A es una σ-álgebra ∧ G ⊂ A}.
Definimos F como la intersección de los elementos de Ψ:
\
A.
F := ∩Ψ =
A∈Ψ
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En otras palabras, F consiste de todos aquellos subconjuntos de X que pertenecen a
cualquier σ-álgebra que contiene a G.
Por la Proposición 7, F es una σ-álgebra sobre X. Si Y ∈ G, entonces Y ∈ A para
cualquier A ∈ Ψ y por lo tanto Y ∈ F. Hemos demostrado que F ∈ Ψ. De la definición
de intersección se sigue que si H ∈ Ψ, entonces F ⊂ H. Por lo tanto, F es el elemento
mı́nimo de Ψ.
9. Ejercicio: σ-álgebra generada por los subconjuntos unipuntuales de un conjunto no numerable. Sea X un conjunto no numerable y sea G el conjunto de los
subconjuntos unipuntuales de X:
G := {t} : t ∈ X .
Describa la σ-álgebra F generada por G. Indicación: determine qué conjuntos se obtienen
de los conjuntos unipuntuales al aplicar las operaciones de σ-álgebra.
10. Definición (σ-álgebra de Borel de un espacio topológico). Sea (X, τ ) un
espacio topológico. La σ-álgebra B generada por la topologı́a τ se llama la σ-álgebra de
Borel. En esta situación los elementos de B se llaman conjuntos de Borel o conjuntos
borelianos.
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Generadores de la sigma-álgebra de Borel del eje real
11. Proposición (la sigma-álgebra de Borel del eje real está generada por los
rayos derechos). La σ-álgebra BR está generada por {(a, +∞) : a ∈ R}.
Demostración. Denotemos por F a la σ-álgebra generada por
G = {(a, +∞) : a ∈ R}.
\
1
1. [b, +∞) =
b − , +∞ ∈ F.
n
n∈N
2. (a, b) = (a, +∞) \ [b, +∞) ∈ F.
3. Sea A un conjunto abierto en R. Se sabe que A se puede representar como la unión
de una sucesión de intervalos de la forma (an , bn ), donde an , bn ∈ R. Por lo tanto
A ∈ F.
4. F es una σ-álgebra que contiene a la topologı́a τ de R, y BR es la mı́nima σ-álgebra
con esta propiedad. Por lo tanto BR ⊂ F.
5. BR es una σ-álgebra que contiene a G, y F es la mı́nima σ-álgebra con esta propiedad.
Por lo tanto F ⊂ BR .
12. Proposición (la sigma-álgebra de Borel del eje real extendido está generada
por los rayos derechos). La σ-álgebra BR está generada por {(a, +∞] : a ∈ R}.
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