U.P.R.
MATE 4009
Departamento de Ciencias Matemáticas
RUM
Primer Examen Parcial
15 de septiembre de 2011
Nombre: ________________________________ Sección:_______
Instrucciones: Lea cada pregunta minuciosamente. No se permite el uso de
libros, libretas, solo puede usar el papel especi…cado en clase. Está prohibido
consultar con otro(a) estudiante durante el examen o copiar.
1.
Conteste las siguientes preguntas:
(a)
(4 puntos) Escriba una ecuación diferencial no lineal de orden 4 y no
homogénea.
Por ejemplo: y (4) + yy 0 = sin x
(b)
(7 puntos) Resuelva la ecuación diferencial
y0 =
dy p
dx = x
+y
Considere: z = x + y ) dz = dx + dy y dy = dz dx; sustituyendo en la ED se obtiene:
p
p
dz dx
dz
= z ) dx
= 1 + z ED en variables separables.
dx
R dz
R
Integrando: 1+pz = dx + c;
R
p
p
1
para integrar 1+dzpz considere: u = 1 + z ) du = 2p
dz ) dz = 2 zdz = 2 (u 1) du
z
R u 1
R dz
p
p
p =2
2 ln u = 2 (1 + z) 2 ln (1 + z)
u du = 2u
1+ z
p
p
2 (1 + z) 2 ln (1 + z) = x + c sustituyendo por las variables originales:
p
p
2 (1 + x + y) 2 ln (1 + x + y) = x + c
(c)
(7 puntos) Halle la ecuación diferencial cuya solución general es y = c1 sin (2x + c2 )
y = c1 sin (2x + c2 )
y 0 = 2c1 cos (2x + c2 )
y 00 = 4c1 sin (2x + c2 ) =
(d)
4y
4y
(8 puntos) Determine sui la función y = e2x
diferencial y00 y0 2y = 0
y = e2x 3e x
y 0 = 2e2x + 3e x
y 00 = 4e2x 3e x
(e)
y 00 =
y 00
y0
2y = 4e2x
3e
3e
x
es solución de la ecuación
2e2x + 3e
x
x
2 e2x
3e
x
=0
(5 puntos) Determine si el teorema de existencia y unicidad se cumple
p
para el problema de valor inicial y0 = x 1 + xy;
y(1) = 1
3
Para que el teorema de existencia y unicidad se cumpla, debe satisfacerse: f (x; y) y
continuas en un rectángulo, R, que contiene al punto (1; 1) :
p
f (x; y) = x 3 1 + xy si es continua en R.
@f
@y
=
x2
3(1+xy)2=3
no es continua en R.
Por el tanto el teorema no se cumple.
1
@f
@y
deben ser
(f)
(5 puntos) A continuación se muestra el campo direccional de la ecuación
diferencial y0 = x + y; trace dos curvas soluciones que pasen por los puntos
(1; 0) y ( 1; 1)
y
2
1
x
−2
−1
1
2
3
−1
−2
−3
2.
(10 puntos) Resuelva la ecuación diferencial con coe…cientes homogéneos
xdy = 2xe
y=x
+ y dx
Dividiendo por x : dy = 2e y=x +
en la ecuación original se tiene:
vdx + xdv = (2e
v
y
x
dx y considere: v =
y
x
) y = vx y dy = vdx + xdv, sustituyendo
v
+ v) dx = 2e
dx + vdx simpli…cando:
R dv
R dx
xdv = 2e dx EDVS, integrando:
e v =2
x + c; o
R v
R dx
v
e dv = 2 x + c ) e = 2 ln x + c sustituyendo por las variables originales:
v
ey=x = 2 ln x + c
3.
(13 puntos) Resuelva la ecuación diferencial no exacta 1
determinando su factor integrando y luego resuélvala.
M = 1 x2 y
) My = x2
N = x2 (y x) ) Nx = 2xy 3x2
My Nx
N
Analizamos:
=
x2
3x2 )
x)
(2xy
x2 (y
=
la ED no es exacta
2xy+2x2
x2 (y x)
R
2
=
2x(y x)
x2 (y x)
Por lo tanto el factor integrando es: u (x) = e x dx = e
f = x 2 y ) My = 1
M
la ED es exacta
e =y x
N
) Nx = 1
R
f (x; y) =
x 2 y dx + g(y) = x1 xy + g(y)
@f
@y
=
x + g 0 (y) = y
f (x; y) =
1
x
x ) g 0 (y) = y ) g(y) = 12 y 2
xy + 12 y 2 = c
2
2 ln x
=
=x
2
x
2
= z (x)
x2 y dx+x2 (y
x) dy = 0;
4.
(13 puntos) Resuelva la ecuacion diferencial no lineal
2xy 0 + 2y = xy 3 .
Dividiendo por 2x : y 0 + x1 y = 12 y 3 , ED de Bernoulli con n = 3; considere:
u = y1
y +
2
xu
R
0
d
dx
2
2y
3
y=
y , multiplicando la ED por:
1
2
3
2y
y3 )
2y
2
2
xy
3 0
y
3
2y
=
1 realizando las sustituciones:
=e
2 ln x
=
x
2
x3 u
u =
x
2
x
u dx =
2
2
2
=x
y la ED se puede expresar:
que es equivalente a :
integrando con respecto a x :
R
x 2 dx + c ) x 2 u = x1 + c
La solución general es: y
5.
3 0
2y
1 la cuale es una ED lineal, se halla el factor integrando:
u
x
1
x
) u0 =
2
x dx
2 0
d
dx
R
2
=
v=e
x
=y
3 0
2y
u
n
2
= x + cx2
(12 puntos) Según la ley de Newton, la velocidad de de enfriamiento de un
cuerpo en el aire es proporcional a la diferencia de la temperatura T del
cuerpo y la temperatura M del del aire.: Si la temperatura del aire es de
20 C y el cuerpo se enfrín en 20 minutos desde 100 C a 60 C . Determine el
tiempo en que la temperatura desciende hasta 30 C . :
Sea T (t) la temperatura en el tiempo t: La ED asociada a este problema es:
dT
dt
= k (T
20) ; T (0) = 100; T (20) = 60
R dT
R
Resolviendo la ED se obtiene:
kdt + c ) ln(T
T 20 =
20) = kt + c
y la temperatura es: T (t) = 20 + cekt donde:
T (0) = 20 + ce0 = 100 ) c = 80
T (t) = 20 + 80ekt
T (20) = 20 + 80e20k = 60 ) e20k =
1
2
)k=
ln 2
20
=
0:034657
Por lo tanto la temperatura en el tiempo t es: T (t) = 20 + 80e
para hallar el tiempo en que la temperatura alcanza los
20 + 80e
6.
0:034657t
= 30 ) e
0:034657t
=
1
8
30 C ,
ln 8
0:034657
)t=
0:034657t
;
se resuelve la ecuación:
= 60 minutos.
(11 puntos) Si el 45% de una sustancia radioactiva se desintegra en 200
años, determine su vida media..
Sea A(t) la sustancia radioactiva que queda en el tiempo t: La ED asociada a este problema es:
dA
dt
= kA; A(0) = 1; A(200) = :55
R
Resolviendo la ED se obtiene:
dA
A
=
R
kdt + c ) ln A = kt + c
y la sustancia radioactiva que queda en el tiempo es: A (t) = cekt donde:
A (0) = ce0 = 1 ) c = 1
A (t) = ekt
A (200) = e200k = :55 ) k =
ln :55
200
=
0:0029892
Por lo tanto la sustancia radioactiva que queda en el tiempo t es: A (t) = e
para hallar el tiempo en que la vida media, se resuelve la ecuación:
e
0:029892t
= :5 ) t =
ln :5
0:0029892
= 231:88 años
3
0:0029892t
;
7.
(9 puntos) Un tanque contiene incialmente 200 galones de agua salada cuya
concentración es 3 lb/gal. Agua salada cuya concentración es 2lb/gal. entra
al tanque a una razón de 4 gal/min. El agua bien mezclada sale a una
razón de 2 gal/min. Escriba, pero no resuelva, una ecuación diferencial
que le permita encontrar la concentración de sal en el tanque en el tiempo
t.
Sea x(t) la cantidad de sal en el tiempo t: La ED asociada a este problema es:
dx
dt
= ri ci
dx
dt
=8
r0 c0 ; x(0) = 3
x
2 200+2t
=8
200 = 600; ri = 4; ci = 2; r0 = 2; c0 =
x
100+t ; x(0)
= 600
4
x
V0 +(ri r0 )t
=
x
200+2t
0
