Tema 3. MATRICES Y DETERMINANTES 3.1 Conceptos generales

32
Tema 3. MATRICES Y DETERMINANTES
3.1 Conceptos generales
3.2 Operaciones matriciales
3.3 Tipos de matrices
3.4 Determinantes
3.5 Matriz inversa
3.6 Rango y traza
3.7 Matrices particionadas
3.8 Sistemas de ecuaciones lineales
¶ticas
Matema
3
Matrices y determinantes
33
MATRICES Y DETERMINANTES
3.1
3.1.1
CONCEPTOS GENERALES
¶
DEFINICION
Una matriz de m ¯las y n columnas sobre un cuerpo IK es una
aplicaci¶on:
A : f1; : : : ; mg £ f1; : : : ; ng
(i; j)
¡! IK
7¡! aij :
La matriz A suele representarse por
0
A = (aij )
1·i·m
1·j·n
B a11 a12 ¢ ¢ ¢ a1n
B
B
B a21 a22 ¢ ¢ ¢ a2n
=B
B
B ..................
B
@
am1 am2 ¢ ¢ ¢ amn
y se dice que es de orden m £ n .
1
C
C
C
C
C
C
C
C
A
² La ¯la i-¶esima de la matriz A es la formada por los elementos
ai1; ai2 ; : : : ; ain.
² La columna j-¶esima de la matriz A es la formada por los
elementos a1j ; a2j ; : : : ; amj .
² El t¶ermino (i; j) de la matriz A es aij .
Se denota por Mm£n (IK) el conjunto de las matrices
de orden m £ n con elementos en IK .
¶
NOTACION:
¶ticas
Matema
Matrices y determinantes
Sean A; B 2 Mm£n(IR); A = (aij )
1·i·m
1·j·n
34
; B = (bij )
1·i·m
1·j·n
.
Se dice que A y B son iguales si y s¶olo si 8i 2 f1; : : : ; mg
8j 2 f1; : : : ; ng aij = bij .
3.2
3.2.1
OPERACIONES MATRICIALES
SUMA DE MATRICES
Sean A; B 2 Mm£n(IK); A = (aij )
1·i·m
1·j·n
; B = (bij )
de¯ne A + B = C 2 Mm£n(IK) , con C = (cij )
1·i·m
1·j·n
1·i·m
1·j·n
. Se
tal que
8i 2 f1; : : : ; mg 8j 2 f1; : : : ; ng cij = aij + bij :
3.2.2
PROPIEDADES DE LA SUMA DE MATRICES
1. 8A; B; C 2 Mm£n (IK) (A + B) + C = A + (B + C).
2. 9 O = (0ij )
1·i·m
1·j·n
2 Mm£n (IK) (matriz nula), tal que
8A 2 Mm£n(IK) A + O = O + A = A.
3. 8A 2 Mm£m (IK) 9 ¡ A 2 Mm£n(IK) tal que
A + (¡A) = (¡A) + A = O:
(¡A = (¡aij )
1·i·m
1·j·n
).
¶ticas
Matema
Matrices y determinantes
35
4. 8A; B 2 Mm£n(IK) A + B = B + A.
3.2.3
PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ
Sean A 2 Mm£n(IK); A = (aij )
1·i·m
1·j·n
¸A = C 2 Mm£n(IK) , con C = (cij )
, y ¸ 2 IK. Se de¯ne
1·i·m
1·j·n
, tal que
8i 2 f1; : : : ; mg 8j 2 f1; : : : ; ng cij = ¸aij :
3.2.4
PROPIEDADES DEL PRODUCTO POR ESCALARES
8A; B 2 Mm£n(IK) 8¸; ¹ 2 IK
1. ¸(A + B) = ¸A + ¸B.
2. (¸ + ¹)A = ¸A + ¹A.
3. (¸¹)A = ¸(¹A).
4. 1A = A (1 es la unidad del cuerpo IK).
3.2.5
¶
OBSERVACION:
(Mm£n (IK); +; ¢) es un espacio vectorial sobre IK de dimensi¶on
mn.
¶ticas
Matema
3.2.6
Matrices y determinantes
36
PRODUCTO DE MATRICES
Sean A 2 Mm£n(IK); B 2 Mn£p (IK) , donde A = (aij )
B = (bij )
(cij )
1·i·n
1·j·p
1·i·m
1·j·p
tal que:
n
X
k=1
aik bkj :
PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE MATRICES
1. 8A 2 Mm£n(IK); 8B 2 Mn£p (IK); 8C 2 Mp£q (IK)
(AB)C = A(BC):
2. 8A; B; C 2 Mn£n(IK)
A(B + C) = AB + AC
(B + C)A = BA + CA:
3. 9 In 2 Mn£n(IK), tal que 8A 2 Mn£n(IK)
AIn = InA = A;
donde:
,
. Se de¯ne A ¢ B = C 2 Mm£p (IK); con C =
8i 2 f1; : : : ; mg 8j 2 f1; : : : ; pg cij =
3.2.7
1·i·m
1·j·n
0
1
B 1 0 ¢¢¢ 0 C
B
C
B
C
B 0 1 ¢¢¢ 0 C
B
C:
In = B
C
B .......... C
B
C
@
A
0 0 ¢¢¢ 1
¶ticas
Matema
Matrices y determinantes
37
4. 8A 2 Mm£n(IK); 8B 2 Mn£p (IK); 8¸; ¹ 2 IK
(¸A)(¹B) = (¸¹)(AB):
3.2.8
¶ DE MATRICES
TRASPOSICION
Sea A 2 Mm£n(IK), con A = (aij )
1·i·m
1·j·n
. Se de¯ne matriz tras-
puesta de A, y se denota por At 2 Mn£m (IK), como At =
¶
µ
0
tal que
aij
1·j·n
1·i·m
8i 2 f1; : : : ; mg 8j 2 f1; : : : ; ng a0ij = aji:
3.2.9
¶ DE MATRICES
PROPIEDADES DE LA TRASPOSICION
Sean A 2 Mm£n (IK) y ¸ 2 IK.
1. (In)t = In.
t
2. (At ) = A.
3. (¸A)t = ¸At.
4. Si B 2 Mm£n(IK), entonces (A + B)t = At + B t.
5. Si B 2 Mn£p (IK), entonces (AB)t = B t At.
¶ticas
Matema
3.3
3.3.1
Matrices y determinantes
38
TIPOS DE MATRICES
DEFINICIONES
1. Matriz ¯la: posee una u¶nica ¯la.
(a11a12 : : : a1n) 2 M1£n(IK):
2. Matriz columna: posee una u¶nica columna.
0
B a11
B
B
B a21
B
B
...
B
B
@
am1
1
C
C
C
C
C
C
C
C
A
2 Mm£1 (IK):
3. Matriz cuadrada de orden n : tiene el mismo n¶umero de ¯las
que de columnas, m = n .
0
1
B a11 a12 ¢ ¢ ¢ a1n C
C
B
C
B
B a21 a22 ¢ ¢ ¢ a2n C
C:
B
A=B
C
B ................ C
B
C
@
A
an1 an2 ¢ ¢ ¢ ann
² aii ; i = 1; : : : ; n, se denominan elementos diagonales.
² A es una matriz diagonal si y s¶olo si los elementos no diagonales son nulos: i 6= j ) aij = 0.
² Una matriz es escalar si y s¶olo si es diagonal y todos los
elementos diagonales son iguales entre s¶³.
² Una matriz es triangular inferior si y s¶olo si los elementos
por encima de la diagonal son nulos: i < j ) aij = 0.
¶ticas
Matema
Matrices y determinantes
39
² Una matriz es triangular superior si y s¶olo si los elementos
por debajo de la diagonal son nulos: i > j ) aij = 0.
4. A 2 Mn£n(IK) es idempotente si y s¶olo si A2 = A.
5. A 2 Mn£n(IK) es nilpotente si y s¶olo si existe m 2 IN tal
que Am = O.
6. A 2 Mn£n(IK) es sim¶etrica si y s¶olo si At = A , es decir, si
A = (aij )
:
1·i·n
1·j·n
8i; j 2 f1; : : : ; ng aij = aji :
7. A 2 Mn£n (IK) es antisim¶etrica si y s¶olo si At = ¡A , es
decir, si A = (aij )
:
1·i·n
1·j·n
8i; j 2 f1; : : : ; ng aij = ¡aji :
3.4
DETERMINANTES
El determinante es una aplicaci¶on
det : Mn£n(IK)
A
¡! IK
7¡! det A
tal que
² Para n = 1 y A = (a) : det A = a.
¶ticas
Matema
Matrices y determinantes
0
a11 a12
@
² Para n = 2 y A = B
a21 a22
0
1
C
A
40
: det A = a11 a22 ¡ a12 a21 .
B a11 a12 a13
B
B a21 a22 a23
² Para n = 3 y A = B
B
@
a31 a32 a33
1
C
C
C
C
C
A
:
det A = a11 a22 a33 +a21 a32a13 +a31 a23 a12 ¡a13 a22 a31 ¡a23a32 a11 ¡a33 a21 a12:
3.4.1
DEFINICIONES
² Los menores de una matriz cuadrada son los determinantes de
las submatrices que se obtienen eliminando varias ¯las y el
mismo n¶umero de columnas.
² Se llama menor complementario del elemento aij de una matriz cuadrada, que denotamos por Mij , al determinante de la
matriz resultante de suprimir la ¯la i y la columna j.
² Se denomina adjunto del elemento aij a Aij = (¡1)i+j Mij .
² Se llama matriz adjunta de A 2 Mn£n(IK) a la matriz A? 2
Mn£n (IK) que tiene por elementos los adjuntos de los elementos de A .
3.4.2
DESARROLLO DE DETERMINANTES POR LOS ELEMENTOS DE
UNA FILA O COLUMNA
Sea A = (aij )
1·i·n
1·j·n
viene dado por:
2 Mn£n(IK). Para n > 3 el determinante
¶ticas
Matema
Matrices y determinantes
² Desarrollo por los elementos de la ¯la i : det A =
41
n
X
k=1
² Desarrollo por los elementos de la columna j : det A =
3.4.3
aik Aik .
n
X
k=1
akj Akj .
PROPIEDADES
Sean A; B 2 Mn£n(IK).
1. det(A) = det(At).
2. Si se intercambian entre s¶³ dos ¯las (o columnas), el determinante cambia de signo.
3. Si una matriz tiene dos ¯las (columnas) iguales, su determinante es cero.
4. Si se multiplica a una ¯la (o columna) de A por un escalar
¸ , el determinante de la matriz resultante es igual a ¸ por
det A.
5. Si ¸ 2 IK, entonces det(¸A) = ¸n det A.
6. El determinante de una matriz no var¶³a si a una ¯la (o columna)
se le suma una combinaci¶on lineal de las restantes.
7. Si una matriz tiene una ¯la (o columna) nula, su determinante
es nulo.
8. det(AB) = det A det B.
NOTA:
Habitualmente, det(A + B) 6= det A + det B.
¶ticas
Matema
3.5
3.5.1
Matrices y determinantes
42
MATRIZ INVERSA
¶
DEFINICION
Sea A 2 Mn£n(IK). Se dice que A es inversible o regular si existe
B 2 Mn£n(IK) de forma que AB = BA = In. En ese caso, B
se llama matriz inversa de A y se denota por A¡1.
Si tal B no existe, se dice que A no es inversible o que es singular.
3.5.2
PROPIEDADES
Sean A; B 2 Mn£n(IK).
1. A es inversible si y s¶olo si det A 6= 0.
1
.
det A
es u¶nica y viene dada por
2. Si A es inversible, entonces det(A¡1 ) =
3. Si A es inversible, entonces A¡1
1
A¡1 =
(A?)t .
det A
4. In es inversible y In¡1 = In.
¡1
5. Si A es inversible, entonces A¡1 es inversible y (A¡1 )
= A.
6. Sea ¸ 2 IK ¡ f0g . Si A es inversible, entonces ¸A es
inversible y (¸A)¡1 = ¸¡1A¡1.
7. Si A y B son inversibles, entonces AB es inversible y
(AB)¡1 = B ¡1 A¡1 .
¡1
8. Si A es inversible, entonces At es inversible y (At )
t
(A¡1 ) .
=
¶ticas
Matema
3.5.3
Matrices y determinantes
43
¶
DEFINICION
A 2 Mn£n(IK) es ortogonal si y s¶olo si es inversible y A¡1 = At.
3.6
3.6.1
RANGO Y TRAZA
¶
DEFINICION
Sean A 2 Mm£n(IK); con A = (aij )
1·i·m
1·j·n
; i 2 f1; : : : ; mg;
j 2 f1; : : : ; ng . Se consideran los vectores f¹i = (ai1 ; ai2; : : : ; ain);
vector ¯la i-¶esima de A y c¹j = (a1j ; a2j ; : : : ; amj ); vector columna
j-¶esima de A.
Se denomina rango de A por ¯las al n¶umero m¶aximo de vectores
¯la linealmente independientes.
An¶alogamente se denomina rango de A por columnas al n¶umero
m¶aximo de vectores columna linealmente independientes.
3.6.2
TEOREMA DEL RANGO
En cualquier matriz el rango por ¯las es igual al rango por columnas.
NOTA:
3.6.3
El rango de una matriz A , se denota por rg(A).
TEOREMA (Caracterizaci¶
on del rango mediante determinantes)
El rango de una matriz es el orden del mayor menor no nulo.
¶ticas
Matema
3.6.4
Matrices y determinantes
44
COROLARIO
Sean u¹1 ; : : : ; u¹n 2 IKn.
1. u¹1 ; : : : ; u¹k , con k · n, son linealmente independientes si
y s¶olo si rg(A) = k, donde A tiene como vectores ¯la (o
columna) a u¹1; : : : ; u¹k .
2. u¹1 ; : : : ; u¹k , con k · n, son linealmente dependientes si y s¶olo
si rg(A) < k, donde A tiene como vectores ¯la (o columna)
a u¹1; : : : ; u¹k .
3. u¹1 ; : : : ; u¹n son vectores linealmente dependientes si y s¶olo si
det A = 0 , donde A tiene como vectores ¯la (o columna) a
u¹1 ; : : : ; u¹n.
3.6.5
PROPIEDADES
1. Cambios en una matriz que no var¶³an el rango:
(a) Intercambiar ¯las entre s¶³ (columnas).
(b) Suprimir una ¯la (columna) cuyos elementos sean nulos.
(c) Suprimir una ¯la (columna) que sea combinaci¶on lineal de
otras.
(d) Multiplicar todos los elementos de una ¯la (columna) por
un n¶umero distinto de cero.
(e) Sumar a una ¯la (columna) una combinaci¶on lineal de las
restantes.
2. Si A 2 Mm£n (IK), entonces rg(A) · minfm; ng.
¶ticas
Matema
Matrices y determinantes
45
3. Si A 2 Mn£n(IK) y A es inversible entonces rg(A) = n.
4. rg(In) = n.
5. rg(O) = 0.
6. Si A 2 Mm£n (IK); entonces rg(A) = rg(At).
7. Si A 2 Mm£n (IK) y B 2 Mn£p (IK), entonces
rg(AB) · minfrg(A); rg(B)g:
3.6.6
¶
DEFINICION
Sea A 2 Mn£n (IK), donde A = (aij )
1·i·n
1·j·n
. Se de¯ne traza de
A, y se denota por tr(A), a la suma de los elementos de la diagonal
de A, es decir,
tr(A) =
3.6.7
n
X
i=1
aii :
PROPIEDADES
Sean A; B 2 Mn£n(IK) y ¸ 2 IK.
1. tr(At ) = tr(A).
2. Si ¸ 2 IK, entonces tr(¸A) = ¸ tr(A).
3. tr(A + B) = tr(A) + tr(B).
4. tr(AB) = tr(BA).
¶ticas
Matema
3.7
Matrices y determinantes
46
MATRICES PARTICIONADAS
r
X
Sean A 2 Mm£n(IK) , m1; : : : ; mr ; n1; : : : ; ns 2 IN con
y
s
X
j=1
i=1
nj = n. La matriz A puede representarse como:
A=
0
B
B
B
B
B
@
A11 ¢ ¢ ¢ A1s
¢¢¢ ¢¢¢ ¢¢¢
Ar1 ¢ ¢ ¢ Ars
1
C
C
C
C
C
A
donde Aij 2 Mmi£nj (IK).
Se dice que A est¶a particionada en rs bloques por
(m1; : : : ; mr ; n1 ; : : : ; ns):
3.7.1
OPERACIONES CON MATRICES PARTICIONADAS
² Suma:
Sean A; B 2 Mm£n(IK) matrices particionadas por
(m1 ; : : : ; mr ; n1; : : : ; ns) ,
A=
0
B
B
B
B
B
@
A11 ¢ ¢ ¢ A1s
¢¢¢ ¢¢¢ ¢¢¢
Ar1 ¢ ¢ ¢ Ars
Entonces, A + B =
0
B
B
B
B
B
@
1
C
C
C
C
C
A
;B =
0
B
B
B
B
B
@
B11 ¢ ¢ ¢ B1s
¢¢¢ ¢¢¢ ¢¢¢
Br1 ¢ ¢ ¢ Brs
A11 + B11 ¢ ¢ ¢ A1s + B1s
¢¢¢
¢¢¢ ¢¢¢
Ar1 + Br1 ¢ ¢ ¢ Ars + Brs
1
C
C
C
C
C
A
:
1
C
C
C
C
C
A
mi = m
¶ticas
Matema
Matrices y determinantes
47
² Producto por escalares:
Sean A 2 Mm£n(IK) matriz particionada por (m1; : : : ; mr ;
n1 ; : : : ; ns) y ¸ 2 IK , entonces
¸A =
0
B
B
B
B
B
@
¸A11 ¢ ¢ ¢ ¸A1s
¢¢¢
¢¢¢ ¢¢¢
¸Ar1 ¢ ¢ ¢ ¸Ars
1
C
C
C
C
C
A
:
² Producto de matrices:
Sean A 2 Mm£n(IK) y B 2 Mn£p (IK) matrices particionadas por (m1 ; : : : ; mr ; n1; : : : ; ns) y (n1 ; : : : ; ns; p1; : : : ; pk ) ,
respectivamente, entonces C est¶a particionada por (m1 ; : : : ; mr ;
p1; : : : ; pk )
C = AB =
donde Cij =
3.7.2
s
X
l=1
0
B
B
B
B
B
@
C11 ¢ ¢ ¢ C1k
¢¢¢ ¢¢¢ ¢¢¢
Cr1 ¢ ¢ ¢ Crk
1
C
C
C
C
C
A
;
Ail Blj .
¶
PROPOSICION
Sea A 2 Mn£n(IK) particionada por (n1 ; n2 ; n1 ; n2 ),
0
@
A=B
A11 A12
A21 A22
1
C
A
:
Si A12 = O 2 Mn1£n2 (IK) o A21 = O 2 Mn2£n1 (IK), entonces
det A = det A11 det A22.
¶ticas
Matema
3.7.3
Matrices y determinantes
48
INVERSA PARTICIONADA
Sea A 2 Mn£n(IK) particionada por (n1 ; n2 ; n1 ; n2 )
0
@
A=B
A11 A12
A21 A22
1
C
A
:
Si A22 es regular, entonces
0
@
A¡1 = B
B11 B12
B21 B22
1
C
A
;
donde:
¡1
B11 = (A11 ¡ A12A¡1
22 A21 ) ;
B21 = ¡A¡1
22 A21 B11 ;
B12 = ¡B11A12 A¡1
22 ;
¡1
B22 = A¡1
22 ¡ A22 A21 B12 :
Si A11 es regular, entonces
0
@
A¡1 = B
C11 C12
C21 C22
1
C
A
;
donde:
¡1
¡1
C11 = A¡1
11 + A11 A12 C22 A21 A11 ;
C12 = ¡A¡1
11 A12 C22 ;
C21 = ¡C22 A21A¡1
11 ;
¡1
C22 = (A22 ¡ A21 A¡1
11 A12 ) :
¶ticas
Matema
3.8
3.8.1
Matrices y determinantes
49
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
¶
DEFINICION
Se denomina sistema de m ecuaciones lineales con n inc¶ognitas a
un conjunto de ecuaciones de la forma:
a11 x1 + a12 x2 + ¢ ¢ ¢ + a1nxn = b1
a21 x1 + a22 x2 + ¢ ¢ ¢ + a2nxn = b2
¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢
am1x1 + am2x2 + ¢ ¢ ¢ + amnxn = bm
donde 8 i 2 f1; : : : ; mg 8 j 2 f1; : : : ; ng aij ; bi 2 IR .
² aij son los coe¯cientes del sistema.
² bi son los t¶erminos independientes del sistema.
² xj son las inc¶ognitas del sistema.
Se denomina soluci¶on del sistema a todo vector (s1; s2; : : : ; sn ) que
veri¯ca las siguientes igualdades:
a11s1 + a12 s2 + ¢ ¢ ¢ + a1n sn = b1
a21s1 + a22 s2 + ¢ ¢ ¢ + a2n sn = b2
¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢
am1 s1 + am2 s2 + ¢ ¢ ¢ + amn sn = bm
Forma matricial del sistema de m ecuaciones lineales con n inc¶ognitas:
0
10
1
0
1
a
a
¢
¢
¢
a
x
b
12
1n C B 1 C
B 11
B 1 C
B
CB
C
B
C
B
CB
C
B
C
B a21 a22 ¢ ¢ ¢ a2n C B x2 C
B b2 C
B
CB
C = B
C ; o bien A¹
x = ¹b;
B
CB
C
B
C
B .................. CB ¢ C
B ¢ C
B
CB
C
B
C
@
A@
A
@
A
am1 am2 ¢ ¢ ¢ amn
xm
bm
¶ticas
Matema
Matrices y determinantes
50
donde A 2 Mm£n(IK) es la matriz de los coe¯cientes del sistema, x¹ 2 Mn£1(IK) el vector de las inc¶ognitas del sistema y
¹b 2 Mm£1(IK) el vector de t¶erminos independientes del sistema.
Clasi¯caci¶on de los sistemas de ecuaciones en funci¶on del conjunto
de soluciones:
1. Incompatible: cuando no admite soluci¶on.
2. Compatible: cuando admite soluci¶on. A su vez puede ser:
(a) Determinado: cuando admite una u¶nica soluci¶on.
(b) Indeterminado: cuando admite m¶as de una soluci¶on.
Clasi¯caci¶on de los sistemas de ecuaciones atendiendo a sus t¶erminos
independientes:
1. Homog¶eneo: el vector ¹b es nulo.
2. No homog¶eneo: al menos alguna de las componentes de ¹b es
distinta de cero.
Se denomina matriz ampliada o completa del sistema, y se representa por (Aj¹b) , a la matriz que se obtiene al aadir a la matriz A
la matriz columna ¹b. Por tanto, (Aj¹b) 2 Mm£(n+1)(IK) y toma
la forma:
0
1
a
a
¢
¢
¢
a
b
12
1n
1 C
B 11
B
C
B
C
B a21 a22 ¢ ¢ ¢ a2n b2 C
¹
B
C:
(Ajb) = B
C
B ...................... C
B
C
@
A
am1 am2 ¢ ¢ ¢ amn bm
¶ticas
Matema
3.8.2
Matrices y determinantes
51
¶
TEOREMA DE ROUCHE-FROBENIUS
Un sistema de m ecuaciones lineales con n inc¶ognitas es:
1. Compatible si y s¶olo si rg(A) = rg(Aj¹b) . Adem¶as,
(a) Si rg(A) = n, entonces el sistema es determinado.
(b) Si rg(A) < n, entonces el sistema es indeterminado.
2. Incompatible si y s¶olo si rg(A) < rg(Aj¹b) .
3.8.3
¶
OBSERVACION
Todos los sistemas homog¶eneos de la forma A¹
x = ¹0 son compatibles, rg(A) = rg(Aj¹0), y siempre admiten como soluci¶on:
x1 = 0; x2 = 0; : : : ; xn = 0;
denominada soluci¶on trivial.
El sistema homog¶eneo A¹
x = ¹0 de m ecuaciones lineales con n
inc¶ognitas:
² S¶olo tiene soluci¶on trivial si rg(A) = n.
² Admite in¯nitas soluciones si rg(A) < n.