Funciones de Autocorrelación

Funciones de Autocorrelación Luca Mar3no Apuntes no revisados Cuidado! “AutoConvolución” •  Antes de todo, para evitar confusiones, definimos una “auto-­‐
convolución” (la conv. de una señal con si misma) que SIEMPRE será CX (τ ) =
∫
+∞
*
x(t)x
(
τ
−
t)dt
=
−∞
= x(t) ∗ x * (t)
•  En frecuencia tenemos (u3lizando la propiedad de la conv. y que F { x * (t)
} = X * (−
f ) ) Nota que la definición de €
€
*
CX ( f ) = X( f )X (− f )
trasformada de Fourier de una señal x(t) 3ene sen3do si la señal es determinista. Para proceso estoc. se hablará de “Densidad espectral de potencia”. Autocorrelación para V.A. •  En términos de variables aleatorias en un proceso estocás3co estacionario RX (τ ) = E[X(t)X * (t + τ )] =
=
+∞
∫ ∫
−∞
+∞
*
*
x(t)x
(t
+
τ
)
f
(x(t),
x
(t + τ ))dx t dx t +τ
X
−∞
Densidad conjunta •  U3lizamos en este caso la X mayúscula para indicar una €
variable aleatoria. •  La integración es respecto a las “x”, el 3empo juega el papel de un parámetro. Autocorrelación temporal para E.F. •  Para una señal de energía finita (E.F.) se define una Autocorrelación TEMPORAL como RX (τ ) =
€
+∞
*
*
x(t)x
(t
+
τ
)dt
=
x(t)
∗
x
(−t)
∫ −∞
•  Aquí como en el caso de la “autoconvolución” integramos respecto a t. •  Está definición no puede ser u3lizada en el caso de los procesos estocás3cos. Luego veremos el porque. •  La transf. de Fourier de esta autocorrelación es (u3lizando la propiedad de la conv. y que F { x * (−t)
} = X * ( f ) ) Recuerda que la SX ( f ) = X( f )X * ( f ) = X( f )
Densidad espectral d€
e potencia para una señal determinista. 2
trasformada de Fourier de una señal x(t) 3ene sen3do si es determinista. Sino hay que hacer un “promedio”….. Autocorrelación temporal para P.M.F. •  Para una señal de potencia media finita (P.M.F) se define una Autocorrelación TEMPORAL como 1
RX (τ ) = lim
T → ∞ 2T
∫
+T
*
x(t)x
(t
+
τ
)dt
−T
•  Aquí como en el caso de anterior integramos respecto a t. €• 
Esta definición cobra sen3do en el caso de los procesos estocás3cos. Vamos a ver el porque en las próximas diaposi3vas. Energía •  Dada una señal determinista, la energía H se define como HX =
+∞
2
x
∫ −∞ (t)dt
•  En el caso de un proceso estocás3co: €
HX = E
∫
€
+∞
[
]
+∞
2
X
∫ −∞ (t)dt =
E
X
(t)
dt
=
[
]
−∞
2
∫
+∞
R
(0)dt
X
−∞
Energía Recordando que [
RX (0) = E X(t)
2
] ≥0
•  La única manera para que este integral no diverja es que la función dentro del integral sea nula +∞
+∞
H X = ∫ −∞ RX (0)dt = RX (0) ∫ −∞ dt ≤ +∞
€
RX (0) = 0
•  Ahora recordando que RX (0) ≥ RX (τ ) ≥ 0 ⇒ RX (τ ) = 0
€
•  esto ocurre solo se RX (τ ) = 0 ⇒ X(t) = 0
€
Es decir para procesos estocás3co No 3ene sen3do hablar de señales de energía (finita)…. En los procesos estocás3cos •  En el caso de procesos estocás3cos (estacionarios) 3ene sen3do hablar solo de señales con potencia finita, es decir la única definición de autocorrelación que 3ene sen3do es esta 1
RX (τ ) = lim
T → ∞ 2T
€
∫
+T
*
x(t)x
(t
+
τ
)dt
−T