conjuntos y relaciones binarias

UNIVERSIDAD CATÓLICA ANDRÉS BELLO
FACULTAD DE INGENIERÍA
ESCUELA DE INGENIERÍA INFORMÁTICA
CÁTEDRA DE LÓGICA COMPUTACIONAL
CONJUNTOS Y RELACIONES BINARIAS
INTRODUCCIÓN
Intuitivamente, un conjunto es una lista o colección bien definida de objetos, que designaremos con letras mayúsculas A, B, X, Y, . . . Los elementos que componen el conjunto se llaman
sus elementos o miembros y los designaremos por letras minúsculas (a menos que dichos elementos sean, a su vez, conjuntos). La proposición “a ∈ A” se lee “a pertenece a A”, o bien, “el
elemento a pertenece al conjunto A”. Su negación es “a ∈
/ A”. Si el conjunto A está formado
por los elementos a, b y c, escribiremos: A = {a, b, c} y su diagrama de Venn correspondiente
será
DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS
⋆ Por Extensión: Cuando se nombran o enumeran todos los elementos que constituyen al
conjunto.
Ejemplos: A = {2, 3, 7, 8}, B = {a, e, i, o, u}, C = {Venezuela, Colombia, Brasil}.
⋆ Por Comprensión: Cuando se da la propiedad que caracteriza los elementos del conjunto.
Ejemplos:
A = {x ∈ R : x es solución de x2 − 3x + 2 = 0}
B = {x ∈ N : x ≤ 5}
C = {x ∈ N : x es par}
CONJUNTOS ESPECIALES
⋆ Conjuntos Numéricos:
N = {0, 1, 2, 3, . . .}
Z Conjunto de los
Q Conjunto de los
I Conjunto de los
R Conjunto de los
C Conjunto de los
Conjunto de los números naturales
números enteros
números racionales
números irracionales
números reales
números complejos
Z+ , Q+ , I+ , R+
Z− , Q− , I− , R−
Z∗ , Q∗ , I∗ , R∗ , C∗
Conjunto de los números (enteros, racionales, irracionales, reales)
positivos
Conjunto de los números (enteros, racionales, irracionales, reales)
negativos
Conjunto de los números (enteros, racionales, irracionales, reales,
complejos) sin el cero
⋆ Conjunto Universal: Depende de lo que se estudie en el momento, es fijado de antemano y está formado por todos los elementos que intervienen en el tema de interés. Se
denotará como U.
⋆ Conjunto Vacı́o: Es aquel que carece de elementos. Se denotará por ∅.
CARDINAL DE UN CONJUNTO FINITO
Es el número de elementos distintos que posee el conjunto. Si A es un conjunto finito con n
elementos distintos, escribiremos card(A) = |A| = n.
Ejemplos:
El cardinal del conjunto A = {x, y} es |A| = 2.
El cardinal del conjunto B = {a, a, b, c, c, c} es |B| = 3.
INCLUSIÓN DE CONJUNTOS
Sean A y B dos conjuntos. Si todo elemento de A pertenece a B diremos que A está incluido
en B o que A es un subconjunto de B y escribiremos A ⊆ B. Simbólicamente, tendremos que:
A ⊆ B ⇔ (∀x)(x ∈ A ⇒ x ∈ B)
Ejemplos:
Si A = {2, 4} y B = {2, 3, 4, 5}, entonces A ⊆ B, dado que todo elemento de A pertenece
también a B.
Si A = {p, q, r} y B = {m, n, p, q}, entonces A * B, dado que r ∈ A, pero r ∈
/ B.
IGUALDAD DE CONJUNTOS
Dos conjuntos A y B son iguales si contienen los mismos elementos y escribiremos A = B.
Simbólicamente, tendremos que:
A = B ⇔ (∀x)(x ∈ A ⇔ x ∈ B)
⇔ A⊆B ∧ B⊆A
Ejemplos:
Si A = {7, 8, 9} y B = {8, 9, 7}, entonces A = B, dado que ambos conjuntos contienen los
mismos elementos.
Si A = {a, a, b} y B = {a, b, b, b}, entonces A = B, dado que ambos conjuntos contienen los
mismos elementos (aún cuando un conjunto contenga elementos repetidos, éstos se consideran
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como uno solo).
INCLUSIÓN PROPIA
A es un subconjunto propio de B si y sólo si A ⊆ B y A 6= B. En este caso, escribiremos
A ⊂ B.
Ejemplos:
Si A = {1, 2} y B = {1, 2, 3}, entonces A ⊂ B, dado que A ⊆ B y A 6= B.
Si A = {q, e, t} y B = {q, t, e}, entonces A 6⊂ B, porque aún cuando A ⊆ B se tiene que
A = B.
PROPIEDADES DE LA INCLUSIÓN
1. Para todo conjunto A se cumple que A ⊆ A. (Reflexividad)
2. Si A ⊆ B y B ⊆ A, entonces A = B. (Antisimetrı́a)
3. Si A ⊆ B y B ⊆ C, entonces A ⊆ C. (Transitividad)
4. ∅ ⊆ A, para todo conjunto A.
OPERACIONES CON CONJUNTOS
1. Unión: La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos que
pertenecen a A o a B. Simbólicamente:
A ∪ B = {x ∈ U : x ∈ A ∨ x ∈ B}
x∈A∪B ⇔ x∈A ∨ x∈B
2. Intersección: La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por los
elementos que pertenecen a A y a B. Simbólicamente:
A ∩ B = {x ∈ U : x ∈ A ∧ x ∈ B}
x∈A∩B ⇔ x∈A ∧ x∈B
3. Diferencia: La diferencia de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos
que pertenecen a A pero que no pertenecen a B. Simbólicamente:
A − B = {x ∈ U : x ∈ A ∧ x ∈
/ B}
x∈A−B ⇔ x∈A ∧ x∈
/B
4. Diferencia Simétrica: La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es la unión de
los conjuntos A − B y B − A. Simbólicamente:
A∆B = (A − B) ∪ (B − A)
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Ejemplo: Si consideramos los conjuntos A = {w, x, y} y B = {y, z}, entonces
A∪B
A∩B
A−B
B−A
A△B
=
=
=
=
=
{w, x, y, z}
{y}
{w, x}
{z}
{w, x, z}
COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO
Sea A ⊆ U, el complemento de A, que denotaremos por Ac , es el conjunto formado por los
elementos de U que no pertenecen a A.
Ejemplo: Si consideramos los conjuntos U = {1, 2, 3, 4, 5} y A ⊆ U tal que A = {1, 3},
entonces Ac = {2, 4, 5}.
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PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON CONJUNTOS
1. A ⊆ B ⇒ A ∩ C ⊆ B ∩ C ; A ⊆ B ⇒ A ∪ C ⊆ B ∪ C
2. A ⊆ B ∧ C ⊆ D ⇒ A ∩ C ⊆ B ∩ D ; A ⊆ B ∧ C ⊆ D ⇒ A ∪ C ⊆ B ∪ D
3. (Ac )c = A
4. A ⊆ B ⇔ B c ⊆ Ac
5. A ∩ A = A ; A ∪ A = A
6. A ∩ B = B ∩ A ; A ∪ B = B ∪ A
7. (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) ; (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
8. A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) ; A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
9. (A ∩ B)c = Ac ∪ B c ; (A ∪ B)c = Ac ∩ B c
10. A ∩ B ⊆ A ⊆ A ∪ B
11. A ⊆ B ⇔ A ∩ B = A ; A ⊆ B ⇔ A ∪ B = B
12. A ∪ (A ∩ B) = A ; A ∩ (A ∪ B) = A
13. A ∩ ∅ = ∅ ; A ∪ U = U ; A ∩ U = A ; A ∪ ∅ = A ; A ∪ Ac = U ; A ∩ Ac = ∅
14. A ∩ B = ∅ ⇔ A ⊆ B c ; A ∪ B = U ⇔ Ac ⊆ B
15. A − B = A ∩ B c
16. A ∪ B = (A − B) ∪ B
17. A ∩ (B − C) = (A ∩ B) − (A ∩ C)
18. A△B = (A ∪ B) − (A ∩ B)
19. A△B = B△A
20. A△∅ = A
21. A△U = Ac
22. A△A = ∅
23. (A△B)△C = A△(B△C)
24. A△B = A△C ⇒ B = C
25. (A△B) ∩ C = (A ∩ C)△(B ∩ C)
26. (A△B) ∪ C = (A ∪ C)△(B ∪ C)
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CONJUNTOS DISJUNTOS
Diremos que dos conjuntos A y B son disjuntos si A ∩ B = ∅.
Ejemplo: Los conjuntos A = {1, 3} y B = {2, 4, 5} son disjuntos ya que A ∩ B = ∅.
FAMILIA DE CONJUNTOS
Es un término que se emplea en lugar de “conjunto de conjuntos”.
CONJUNTO POTENCIA O CONJUNTO DE PARTES DE UN CONJUNTO
Sea A ⊆ U. El conjunto potencia de A, que denotaremos por P(A) (o 2A ), es la familia de
todos los subconjuntos del conjunto A. En sı́mbolos,
P(A) = {X ⊆ U : X ⊆ A}
Ejemplo: El conjunto de partes del conjunto A = {a, b, c} es
P(A) = {∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, A}
Propiedades:
1. Si A es un conjunto finito tal que |A| = n, entonces |P (A)| = 2n .
2. P(A ∩ B) = P(A) ∩ P(B).
Nota: En general, no siempre es cierto que P(A ∪ B) = P(A) ∪ P(B). ¿Podrı́as encontrar
un contraejemplo?
PARTICIÓN DE UN CONJUNTO
Sea A = {Ai }i∈I una familia no vacı́a de subconjuntos de un conjunto A. Diremos que A
es una partición de A si y sólo si se cumplen las siguiente condiciones:
[
(a) A =
Ai , donde Ai 6= ∅, para todo i ∈ I.
i∈I
(b) Ai ∩ Aj = ∅, para todo i, j ∈ I con i 6= j.
Ejemplo: La familia de conjuntos A = {{a, e}, {d}, {b, c}} es una partición del conjunto
A = {a, b, c, d, e} ya que
(a) A = {a, e} ∪ {d} ∪ {b, c}, donde {a, e} =
6 ∅, {d} =
6 ∅ y {b, c} =
6 ∅.
(b) {a, e} ∩ {d} = ∅, {a, e} ∩ {b, c} = ∅ y {d} ∩ {b, c} = ∅.
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PARES ORDENADOS
Intuitivamente, un par ordenado consta de dos elementos, a y b, por ejemplo, que en el
par se designan como primera y segunda componentes, respectivamente. Un par ordenado se
simboliza por (a, b). Diremos que dos pares ordenados (a, b) y (c, d) son iguales si y sólo si a = c
y b = d.
Observación: Rigurosamente, se suele definir a un par ordenado (a, b) como
(a, b) = {{a}, {a, b}}
PRODUCTO CARTESIANO
Dados dos conjuntos A y B, llamaremos producto cartesiano de A y B al conjunto de
todos los pares ordenados (a, b) con a ∈ A y b ∈ B. A este producto se le denota por A × B.
Simbólicamente:
A × B = {(a, b) : a ∈ A, b ∈ B}
Ejemplo: Si se consideran los conjuntos A = {a, b, c} y B = {2, 4}, entonces
A × B = {(a, 2), (a, 4), (b, 2), (b, 4), (c, 2), (c, 4)}
Propiedades:
1. Si A y B son conjuntos finitos tales que |A| = m y |B| = n, entonces |A × B| = m · n.
2. A × ∅ = ∅ × A = ∅.
3. (A ∪ B) × C = (A × C) ∪ (B × C).
4. (A ∩ B) × C = (A × C) ∩ (B × C).
RELACIONES BINARIAS
Sean A y B dos conjuntos. Una relación R entre A y B es un subconjunto del producto
cartesiano A × B, en sı́mbolos, R ⊆ A × B. Si A = B, diremos que R es una relación binaria
definida en A y se identifica como un subconjunto de A2 = A × A.
Para indicar que un par ordenado (a, b) pertenece a la relación R suele escribirse aRb, lo
que equivale a (a, b) ∈ R.
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DOMINIO Y RANGO DE UNA RELACIÓN
Sea R una relación de A en B. El dominio de R es el conjunto de todas las primeras
componentes de los pares ordenados que pertenecen a R, en sı́mbolos:
DR = Dom(R) = {a ∈ A : (a, b) ∈ R para algún b ∈ B}
El rango de R es el conjunto de todas las segundas componentes de los pares ordenados que
pertenecen a R, en sı́mbolos:
RR = Rgo(R) = {b ∈ B : (a, b) ∈ R para algún a ∈ A}
Ejercicios: Determine el dominio y el rango de las siguientes relaciones R entre los conjuntos A y B dados:
⋄ R = {(1, 2), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 4)}, donde A = {1, 2, 3, 4} y B = {2, 3, 4}.
⋄ R = {(x, y) ∈ A × B : |x · y| ≤ 6}, donde A = B = Z∗ .
PROPIEDADES DE LAS RELACIONES BINARIAS
Sea R una relación binaria definida en A, es decir, R ⊆ A2 . Dicha relación puede clasificarse
de acuerdo con las siguientes propiedades:
1. Reflexividad: R es reflexiva ⇔ ∀x ∈ A : (x, x) ∈ R.
2. Irreflexividad: R es irreflexiva ⇔ ∀x ∈ A : (x, x) ∈
/R
3. Simetrı́a: R es simétrica ⇔ ∀x, y ∈ A : (x, y) ∈ R ⇒ (y, x) ∈ R.
4. Asimetrı́a: R es asimétrica ⇔ ∀x, y ∈ A : (x, y) ∈ R ⇒ (y, x) ∈
/ R.
5. Antisimetrı́a: R es antisimétrica ⇔ ∀x, y ∈ A : (x, y) ∈ R ∧ (y, x) ∈ R ⇒ x = y.
6. Transitividad: R es transitiva ⇔ ∀x, y, z ∈ A : (x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ R ⇒ (x, z) ∈ R.
Ejercicios: Para cada una de las siguientes relaciones, determine si la relación es reflexiva,
irreflexiva, simétrica, asimétrica, antisimétrica o transitiva.
1. R ⊆ Z × Z, donde aRb si y sólo si a ≤ b.
2. R es la relación binaria sobre A = {1, 2, 3, 4} donde R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)}.
3. R es la relación binaria sobre A = {1, 2, 3} donde R = {(1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1)}.
4. R es la relación binaria sobre A = {a, b, c} donde R = {(a, a), (b, c), (c, c)}.
5. R es la relación binaria sobre A = {1, 2, 3, 4} donde R = {(1, 1), (2, 3), (3, 4), (2, 4)}.
6. R es la relación binaria sobre Z tal que aRb si y sólo si a|b.
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7. R es la relación binaria sobre Z+ tal que aRb si y sólo si a|b.
RELACIONES INVERSAS
Sea R una relación de A en B. La relación inversa de R es el subconjunto de B × A definido
por:
R−1 = {(b, a) ∈ B × A : (a, b) ∈ R}
COMPOSICIÓN DE RELACIONES
Sean las relaciones R ⊆ A × B y S ⊆ B × C, definiremos una relación de A en C, llamada
composición entre R y S, mediante
R ◦ S = {(a, c) ∈ A × C : (a, b) ∈ R y (b, c) ∈ S, para algún b ∈ B}
Propiedades:
1. Si R ⊆ A × B, S ⊆ B × C y T ⊆ C × D son relaciones, entonces (R ◦ S) ◦ T = R ◦ (S ◦ T ).
2. Si R ⊆ A × B y S ⊆ B × C son relaciones, entonces (R ◦ S)−1 = S −1 ◦ R−1 .
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Sea R una relación binaria en un conjunto A. Diremos que R es una relación de equivalencia
si R es reflexiva, simétrica y transitiva.
CLASES DE EQUIVALENCIA Y CONJUNTO COCIENTE
Sea R una relación de equivalencia sobre un conjunto A. Para cualquier x ∈ A, la clase de
equivalencia de x, que se denotará por [x], se define como [x] = {y ∈ A : yRx}.
El conjunto formado todas estas clases de equivalencias se llama conjunto cociente de A por
la relación de equivalencia R. A este conjunto lo denotaremos por A/R.
Ejemplo: Si consideramos el conjunto A = {a, b, c, d, e} y la relación de equivalencia sobre
A determinada por
R = {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (e, e), (a, d), (d, a), (b, c), (c, b), (b, e), (e, b), (c, e), (e, c)}
se tiene que las clases de equivalencia que esta relación determina son:
[a] = [d] = {a, d}
[b] = [c] = [e] = {b, c, e}
y el conjunto cociente A/R viene dado por {{a, d}, {b, c, e}}.
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Propiedades: Si R es una relación de equivalencia sobre un conjunto A, y x, y ∈ A,
entonces :
1. x ∈ [x].
2. xRy ⇔ [x] = [y].
3. [x] = [y] ó [x] ∩ [y] = ∅.
TEOREMA FUNDAMENTAL DE LAS RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Si A es un conjunto, entonces
(a) toda relación de equivalencia R sobre A induce una partición de A; y
(b) toda partición de A da lugar a una relación de equivalencia R sobre A.
Ejemplo ilustrativo: Nótese que, si retomamos el ejemplo previo, es claro que el conjunto
cociente A/R = {{a, d}, {b, c, e}} es una partición del conjunto A = {a, b, c, d, e}.
Por otro lado, si consideramos otra partición de A como, por ejemplo, {{a, b}, {c, e}, {d}},
se tiene que ésta representa al conjunto cociente A/R̄, donde R̄ es la relación de equivalencia
sobre A determinada por
R̄ = {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (e, e), (a, b), (b, a), (c, e), (e, c)}
RELACIONES DE ORDEN
Sea R una relación binaria definida sobre un conjunto A. Diremos que R es una relación
de orden
⋄ parcial: si R es reflexiva, antisimétrica y transitiva.
⋄ total: si R es una relación de orde parcial y si para todo x, y ∈ A se cumple que (x, y) ∈ R
o (y, x) ∈ R.
⋄ estricto: si R es irreflexiva, asimétrica y transitiva.
Ejemplos: Si consideramos al conjunto A = {1, 2, 3} y las relaciones
(a) R1 = {(a, b) ∈ A2 : a| b} = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 2), (3, 3)} es reflexiva, antisimétrica y
transitiva, por lo que R1 es una relación de orden parcial. Sin embargo, como 2, 3 ∈ A,
pero (2, 3) ∈
/ R1 y (3, 2) ∈
/ R1 , entonces R1 no es una relación de orden total.
(b) R2 = {(a, b) ∈ A2 : a 6 b} = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 3)} es reflexiva, antisimétrica y transitiva, por lo que R2 es una relación de orden parcial. Además, para todo
x, y ∈ A se cumple que (x, y) ∈ R2 o (y, x) ∈ R2 , por lo que R2 es una relación de orden
total.
(c) R3 = {(a, b) ∈ A2 : a < b} = {(1, 2), (1, 3), (2, 3)} es irreflexiva, asimétrica y transitiva,
por lo que R3 es una relación de orden estricto.
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