Respuesta a Tarea 2.

Tarea II, Sección 1.3, Soluciones
1. Calcule C(6, 2) y verifique su respuesta enumerando todas las selecciones
de tamaño dos que se pueden hacer con las letras a,b,c,d,e y f.
C(6, 2) =
6·5·4·3·2·1
= 15.
2·2·3·4
Las combinaciones son : ab, ac, ad, ae, af, bc, bd, be, bf, cd, ce, cf, de, df,
ef.
2. Como Diana debe hacer un viaje de cuatro horas en autobús de regresso
a su escuela, decide llevar consigo cinco revistas de las 12 que su hermana
Ana Marı́a acaba de adquirir. ¿De cuántas formas puede Diana hacer su
selección?
Como no importa el orden, se trata de combinaciones:
C(12, 15) =
12 · 11 · 10 · 9 · 8 · 7!
= 792.
1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 7!
3. Evalúe los siguientes casos:
a)
C(10, 4) =
10 · 9 · 8 · 7 · 6!
= 210.
1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6!
b)
12
2
= 792.
c)
C(14, 12) =
14 · 13 · 12!
= 91.
12! · 14 · 13
d)
15
10
=
15 · 14 · 13 · 12 · 11 · 10!
= 3003.
10!5 · 4 · 3 · 2
4. En el sistema Braille, un sı́mbolo, como una letra minúscula, un signo
de puntuación. un sufijo, etc., se escriben resaltando al menos uno de los
puntos de la disposición de seis puntos que aparece en la parte a) de la
figura 1.8.
1
a) ¿Cuántos sı́mbolos diferentes podemos representar en el sistema Braille? considerando cuando se resalta un punto, dos puntos, etc., se
tienen:
C(6, 1) + C(6, 2) + C(6, 3) . . . + C(6, 6) = 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1 = 63.
b)
C(6, 3) = 20.
c)
C(6, 2) + C(6, 4) + C(6, 6) = 15 + 15 + 1 = 31.
d)
C(6, 4+ C(6, 5) + C(6, 6) = 15 + 6 + 1 = 22.
5
a) ¿Cuántas permutaciones de tamaño 3 se pueden hacer con las letras
m,r,a,f, y t?
5!
P (5, 3) =
! = 60.
(5 − 3
b) Enumere todas las combinaciones de tamaño 3 que resultan de las
letras m,r,a,f,y t.
5!
C(5, 3) =
= 10.
3! · 2!
12 Al ordenar la comida del dı́a, un cliente puede elegir entre tres entradas y
dos de seis verduras disponibles,
a) ¿Cuántes comidas diferentes puede elegir si:
i) Debe seleccionar dos verduras diferentes? (a,b,c) entradas
(1,2,3,4,5,6) verduras. Debemos elegir dos de ellas.
Calculamos primero C(6, 2) = 15 formas de combinar verduras.
Ahora multiplicamos el número de entradas por las 15 formas de
combinar verduras, obteniendo 3 · C(6, 2) = 45 comidas diferentes.
ii) Se le permite tener dos porciones de la misma verdura.
En este caso se trata de C(6, 1) = 6 dos veces (corresponde a las
tres entradas con las mismas 2 verduras). Ahora multiplico por
las tres entradas, obteniendo 3·62 = 108 comidas con 2 porciones
de la misma verdura y tres entradas.
b) Responda la primera parte tomando en cuenta de que puede elegir
entre jugo de tomate, jugo de naranja o sopa de lentejas como aperitivo.
i) 3 entradas, 3 aperitivos, 6 verduras (seleccionando dos de ellas):
3 · 3 · C(6, 2) = 135 comidas.
ii) 3 entradas, 3 aperitivos, 6 verduras (ahora las dos verduras se
pueden repetir):
3 · 3 · 6 · 6 = 324 comidas..
2
14 En la pizzerı́a de Pedro, las pizzas se sirven en cuatro tamaños: pequeña,
mediana, grande y colosal. Un cliente puede ordenar una pizza sencilla
de queso, o pedir cualquier combinación de los siete ingredientes adicionales: anchoas, pepinillos, champiñones, aceitunas, cebolla, pepperoni y
salchicha. Determine la cantidad de pizza diferentes
a) de tamaño mediano y que tengan exactamente dos ingredientes adicionales.
Como es un tamaño fijo, solamente considero los siete ingredientes:
C(7, 2) = 21.
b) exactamente con dos ingredientes adicionales.
Cuatro tamaños, dos ingredientes: 4 · C(7, 2) = 4 · 21 = 84.
c) grandes o colosales, exactamente con tres ingredientes adicionales.
Considero grandes y colosales (dos tamaños) con tres ingredientes
C(7, 3) = 35 . El resultado es
2 · C(7, 3) = 70.
15 ¿Cuántas disposiciones de las letras de MISSSISIPI no tienen letras consecutivas?
MISSSISIPI tiene 11 letras.
i) Quitando las S tengo 7 letras (algunas repetidas). Para calcular las
disposiciones que generan estas letras tomo en cuenta las repeticiones:
7 · 6 · 5 · 4!
7!
=
= 105.
4!2!
4!1 · 2
Ahora se cuentan los espacios entre las siete letras: son 8.
ii) Calculo por medio de combinaciones:
8
4
= 70, porque restan 11-7 = 4 letras.
El número de disposiciones que busco es el producto:
105 × 70 = 7350.
19 Esprese las siguientes sumas utilizando la notación de suma. En las partes
(b), ((e), (f) y (g), n denota un entero positivo.
P17
1
a) 1 + 12 + 13 + . . . 17
= k=1 k1 .
Pn 1
1
1
1
+ 3!
+ . . . n!
= k=2 k!
.
b) Si n ≥ 2, 2!
P7
c) 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 49 = k=1 k 2 .
P7
d) 12 − 22 + 32 − 42 + 52 − 62 + 72 = k=1 (−1)k+1 k 2 .
Pn k+1
2
3
e) n1 + n+1
+ n+2
+ . . . + n+1
k=0 k+n .
2n =
Pn n+k
n+1
n+2
n+3
2n
f) n + 2! + 4! + 6! + . . . + 2n! = k=0 (2k)!
.
P
n
n+2
n+3
n
k n+k
g) n − n+1
k=0 (−1) (2k)! .
2! + 4! − 6! + . . . + (−1) =
3
20 Para las cadenas de longitud 10 del ejemplo 1.23 (cadenas de 10 dı́gitos,
alfabeto: 0, 1 y 2: si n es entero positivo, tenemos 3n cadenas de longitud
n). El peso de una cadena se determina sumando todos sus dı́gitos.
(a) ¿cuántas tienen cuatro ceros, tres unos y tres doses?
Empiezo por calcluar las combinaciones de 10 lugares, para 4 números
0:
C(10, 4) = 210,
Luego las combinaciones de los 6 lugares restantes para los 3 nḿeros
1:
C(6, 3) = 20,
Finalizando con las combinaciones de los 3 lugares restantes para los
3 números 2:
C(3, 3) = 1.
Por la regla del producto, hay 210 · 20 · 1 = 4 200 cadenas de longitud
10 con 4 ceros, tres unos y tres números 2.
b) Al menos ¿ocho unos?
Calculo
10!
10 · 9
C(10, 8) =
=
= 45, para las cadenas con 8 unos
8!2!
2
C(10, 9) = 10 para las cadenas con 9 unos.
C(10, 10) = 1 para las cadenas con 10 unos.
El resultado final lo obtengo sumando los resultados anteriores:
45 + 10 + 1 = 56.
c) ¿De peso 4?
i) cuatro unos y seis ceros: C(10, 4) · C(6, 6) = 210.
ii) Dos números 2 y ocho ceros: C(10, 2) · C(8, 8) = 45.
iii) Dos unos, un dos y diete ceros: C(10, 2) · C(8, 1) · C(7, 7) = 361.
Obtenemos el resultado que buscamos sumando estos resultados, obteniendo 616 cadenas de peso 4.
24 a) En el desarrollo completo del producto
(a + b + c + d)(e + f + g + h)(u + v + w + x + y + z)
obtenemos la suma de términos como agw, cf x y dgv. ¿Cuántos
de esos términos aparecen una vez cada uno?
Como ninguno de los tres términos contiene a las mismas letras,
los términos agw, cf x y dgv aparecen exactamente una vez cada
uno.
b) ¿Cuáles de los términos siguientes no aparecen en el desarrollo
de la parte (a)?
Los términos tienen que contener cada uno un elemento del primer conjunto, uno del segundo y uno del tercer conjunto. Por lo
tanto bux y egu no pueden ser parte del desarrollo del producto.
4